湖北省襄阳市第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含答案)

2022年襄阳四中高二上期末测试卷

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则“”是“直线与直线垂直”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

2．若函数在处的导数为1，则（    ）

A．2 B．3 C． D．

3．已知圆与圆，圆I与圆均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线（    ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

4．已知等比数列满足：，则的值为（    ）

A．20 B．10 C．5 D．

5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余1且被7除余4的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ）

A．103 B．107 C．109 D．105

6．直三棱柱中，，M，N分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与的距离分别为，O为坐标原点，则当最小时，（    ）

A． B． C． D．

8．已知点，P为直线上一动点，当最大时，点P的坐标是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选择的得2分，有选错的得0分．

9．已知方程，则下列说法中正确的有（    ）

A．方程可表示圆

B．当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆

C．当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线

D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10

10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（    ）

A．  B．

C．平面  D．直线与所成角的余弦值为

11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）

A．  B．

C．  D．

12．已知P为双曲线上一点，令，下列为定值的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．圆上到直线的距离为1的点的个数为___________．

14．已知，则___________．

15．已知数列满足，且（n为正整数），则___________．

16．已知点P是椭圆上任意一点，C的离心率为e，若圆上存在点A，B，使得，则的最大值为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．

17．（10分）

已知圆．

（1）求圆C关于直线对称的圆D的标准方程；

（2）当k取何值时，直线与圆C相交的弦长最短，并求出最短弦长．

18．（12分）

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求的前n项和．

19．（12分）

如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，．

（1）劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．

（2）求平面和平面夹角的余弦值．

20．（12分）

已知函数，函数．

（1）若曲线与直线相切，求a的值；

（2）若，证明：；

21．（12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为和，离心率是，直线被椭圆截得的弦长等于2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．

22．（12分）

设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若，求数列的前n项和．

参考答案：

1-5  ADBDC  6-8  DCA  9-12  BCD  CD  ACD  AC

13．3    14．  15．9    16．

11．ABD

【详解】因为，

以上n个式子累加可得：，

所以，故选项A正确；

由递推关系可知：，故选项B正确；

当，故选项C不正确；

因为，

所以

，故选项D正确；故选：ABD．

12．AC

【详解】

不妨设在第二象限，可得，即，而，

∴为定值，A正确；

由倍角正切公式及，可得，

∴不为定值，B排除；

，而，故为定值，C正确；

由C知：不为定值，D排除；故选：AC．

16．

【详解】连接，当P不为C的上、下顶点时，

设直线分别与圆O切于点M，N，设，

由题意知，即，所以，

连接，所以，所以，又因为，

所以有，即，

结合得．故答案为：．

17．（1）；（2）

（1）圆心，设，因为圆心C与D关于直线对称，所以

所以圆D标准方程为：；

（2）直线l过定点，当时，弦长最短，

∵，∴

此时最短弦长为．

18．（1）；（2）

【详解】（1）在数列中，因，则，

于是得，因此数列是首项为，公比为2的等比数列，

所以．

19．（1）存在，劣弧的长度为  （2）

【详解】（1）如图过点O作的平行线交劣弧于点D，

连接，

因为平面平面，则平面

同理可证平面，且平面平面

所以平面平面，又因为平面，所以平面

故存在点D满足题意．

因为为底面的内接正三角形，

所以，即，

又因为，

所以的半径为，

所以劣弧的长度为．

（2）如图取的中点为M，连接，以为x轴，为y轴，过M作平行线为z轴，建立空间直角坐标系，又因为，设中点为N．

故，

易知平面的法向量

设平面的法向量为，

又因为

故即，令得

易知平面和平面夹角为锐角，

所以平面和平面夹角的余弦值为

20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析：

【详解】解：（Ⅰ）设曲线在点处切线，则，

由于，所以，

由题意知：，于是；

（Ⅱ）令，

当时，，所以，即，

当时，，所以，

即，

于是在单调递减，单调递增，

其最小值是，所以，于是原不等式成立；

21．（1） （2）

（1）由，令得，解得，所以，

结合，解得，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）由解得或

不妨设，即，

所以，

原点到直线的距离为，

所以．

22．（1）证明见解析：（2）

【详解】（1）∵

当时，，∴，

当时，，

两式相减得，

∴，则，

两式相减得，即，

因为各项为正，∴，

当时，则，即，解得，满足，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列；