2022年四川省自贡市中考数学真题

四川省自贡市初2022届毕业生学业考试

数    学

本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上；答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷   选择题 （共48分）

注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂答案标号．

一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图，直线相交于点，若，则的度数是（    ）

A. 30° B. 40° C. 60° D. 150°

【答案】A

【解析】

【分析】根据对顶角相等可得．

【详解】解：∵，与是对顶角，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．

2. 自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止今年5月，共接待游客180000余人；人数180000用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．

【详解】∵180000=，

故选C．

【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．

3. 如图，将矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体示来解答．

【详解】解：矩形纸片绕边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱体．

故选：A．

【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握“面动成体”得到的几何体的形状是解题的关键．

4. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．

【详解】A.，故A错误；

B.，故B正确；

C.，故C错误；

D.，故D错误．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．

5. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．

【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，

∴A、C坐标关于原点对称，

∴C的坐标为，

故选C．

【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．

6. 剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．

【详解】∵不是轴对称图形,

∴A不符合题意；

∵不是轴对称图形,

∴B不符合题意；

∵不是轴对称图形,

∴C不符合题意；

∵是轴对称图形,

∴D符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握定义是解题的关键．

7. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（    ）

A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°

【答案】C

【解析】

【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案．

【详解】∵为⊙的直径，

∴，

又∵，

∴，

又∵四边形内接于⊙，

∴，

∴，

故答案选：C．

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．

8. 六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（    ）

A. 平均数是14 B. 中位数是14.5 C. 方差3 D. 众数是14

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可．

【详解】解：A．六位同学的年龄的平均数为，故选项错误，不符合题意；

B．六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15，

∴中位数为，故选项错误，不符合题意；

C．六位同学的年龄的方差为，故选项错误，不符合题意；

D．六位同学的年龄中出现次数最多的是14，共出现3次，故众数为14，故选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差、众数，熟练掌握平均数、中位数、方差、众数的求法是解题的关键．

9. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（    ）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

【答案】B

【解析】

【分析】这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于180°，即可求解．

【详解】解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得：

，

解得：，

即这个底角的度数为40°．

故选：B

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．

10. 为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合利用含 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．

【详解】解：连接OT，如下图．

∵与⊙相切于点，

∴ ．

∵，，

∴，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键．

11. 九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）

A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案1或方案2

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．

【详解】解：方案1，设米，则米，

则菜园的面积

当时，此时散架的最大面积为8平方米；

方案2，当∠时，菜园最大面积平方米；

方案3，半圆的半径

此时菜园最大面积平方米>8平方米，

故选：C

【点睛】本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．

12. 已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：

①c≥−2 ；

②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；

④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．

其中正确的是（    ）

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④

【答案】D

【解析】

【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．

【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，

∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，

又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，

∴C≥-2，(顶点y轴上时取“=”)，故①正确；

∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，

∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；

若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；

令y=0，则ax2+bx+c=0，

设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，

∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，

根据顶点坐标公式，，

∴，即，

∵四边形ACDB为平行四边形，

∴CD=AB=1-（-3)=4，

∴=42=16，解得a=，故④正确；

综上所述，正确的结论有①③④．

故选：D．

． 

【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．

第Ⅱ卷   非选择题 （共102分）

注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效．

二．填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

13. 计算：|﹣2|=___．

【答案】2

【解析】

【分析】根据一个正数绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即可求解

【详解】∵﹣2＜0，

∴|﹣2|=2

14. 分解因式：___________．

【答案】

【解析】

【分析】利用提公因式法进行因式分解．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】本题考查提公因式法因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键．

15. 化简： ＝____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．

【详解】

=

故答案为

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．

16. 为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）

【答案】甲

【解析】

【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论．

【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则

鱼的概率近似，解得x＝2000；

设乙鱼池鱼的总数为y条，则

鱼的概率近似，解得y＝1000；

，

可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，

故答案为：甲．

【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系．

17. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．

【答案】26

【解析】

【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．

【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，

∴BC=10厘米，

令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，

在Rt△BOC中

OC2+BC2=OB2，

∴（r-2）2+102=r2，

解得r=26．

故答案为：26．

【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．

18. 如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．

【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AD=BC=2

∴CH∥EF，

∵CH=EF=1，

∴四边形EFCH是平行四边形，

∴EH=CF，

∴G'H=EG'+EH=EG+CF，

∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，

∴AG=AG'=1

∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，

∴，

即的最小值为．

故答案为：

【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．

三．解答题（共8个题，共78分）

19. 解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．

【答案】-1＜x＜2，数轴表示见解析

【解析】

【分析】分别解两个不等式，找出其解集的公共部分即不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．

【详解】解：

解不等式①，得：x＜2，

解不等式②，得：x＞-1，

则不等式组的解集为-1＜x＜2，

将不等式的解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握解不等式组的方法是解决本题的关键．

20. 如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．

【答案】详见解析

【解析】

【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得．

【详解】证明：∵△是等边三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC(SAS)，

∴．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．

21. 学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．

【答案】张老师骑车的速度为千米/小时

【解析】

【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．

【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时，

根据题意得：，

解之得，

经检验是分式方程的解，

答：张老师骑车的速度为千米/小时．

【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．

22. 为了解学生每周参加课外兴趣小组活动累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用A、B、C、D表示；下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数 ，并将条形统计图补充完整；

（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求这2人均属D等级的概率．

【答案】（1）100，图形见解析   

（2）900    （3）

【解析】

【分析】（1）利用抽查的学生总数=A等级的人数除以对应的百分比计算，求出总人数，即可求D等级的人数，即可求解；

（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；

（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，画出树状图，即可求解．

【小问1详解】

解：根据题意得：；

∴D等级的人数为100-40-15-10=35（人），

补全条形统计图如下：

【小问2详解】

解：学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数为

（人）；

【小问3详解】

解：设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

一共有12中等可能结果，其中这2人均属D等级的有2种，

∴这2人均属D等级的概率为．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）过点作直线∥轴，过点作直线于，点是直线上一动点，若 ，求点的坐标．

【答案】（1）y＝，y＝﹣x＋1；   

（2）（2，8）或（2，﹣4）

【解析】

【分析】（1）把点A（﹣1，2）代入求出n的值，即可得到反比例函数的解析式，把B（m，﹣1）代入求得的反比例函数的解析式得到m的值，把A、B两点的坐标代入一次函数，求出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；

（2）根据已知条件确定AD长及点D的坐标，由DC＝2AD得到DC＝6，从而求得点C的坐标．

【小问1详解】

解：把点A（﹣1，2）代入得，

2＝，

解得n＝﹣2，

∴反比例函数的解析式是y＝，

把B（m，﹣1）代入y＝得，

﹣1＝，

解得m＝2，

∴ 点B的坐标是（2，﹣1），

把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入得，

，

解得，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x＋1；

【小问2详解】

解：∵直线ly轴，AD⊥l，点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，﹣1），

∴ 点D的坐标是（2，2），

∴ AD＝2－（﹣1）＝3，

∵ DC＝2DA，

∴ DC＝6，

设点C的坐标为（2，m），

则｜m－2｜＝6，

∴ m－2＝6或m－2＝﹣6，

解得m＝8或﹣4，

∴ 点C的坐标是（2，8）或（2，﹣4）

【点睛】此题是一次函数与反比例函数综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合思想的应用是解答此题的关键．

24. 如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝            ， ＝            ；

（2）进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论；

（3）已知，若 恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离．

【答案】（1）CD，AD；   

（2）见解析；    （3）EF于BC之间的距离为64cm．

【解析】

【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；

（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；

（3）由勾股定理可求BH的长，再证明△BCH∽△BGE，得到，代入数值求解EG，即可得到答案．

【小问1详解】

解：∵ 把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

∴由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，

∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，

故答案为：CD，AD；

【小问2详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，

∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，

∴BE＝CF，EF＝BC，

∴四边形BEFC是平行四边形，

∴EFBC，

∴EFAD；

【小问3详解】

解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，

∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，

∴ CH＝DH＝40cm，

在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，

BH＝（cm），

∵ EG⊥BC，

∴∠EGB＝∠BCH＝90°，

∴CHEG，

∴ △BCH∽△BGE，

∴，

∴，

∴EG＝64，

∵ EFBC，

∴EF与BC之间的距离为64cm．

【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

25. 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：

（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由．

（2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米）

（3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点 到地面的距离均为1.5米；求（用表示）．

【答案】（1）证明见解析   

（2）10.2米    （3）米

【解析】

【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；

（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；

（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含、m的式子表示出PH．

【小问1详解】

证明：∵

∴

∴

【小问2详解】

由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，，

在Rt△POQ中

tan∠POQ=

∴

∴（米）

故答案为：10.2米．

【小问3详解】

由题意得：，

由图得：

，

∴

∴

∴

∴米

故答案为：米

【点睛】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

26. 已知二次函数．

（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；

（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；

（3）若且，一元二次方程 两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小 ．

【答案】（1），；；   

（2）见详解；；   

（3）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；

（2）由题意画出图象，结合图象写出的取值范围；

（3）根据题意分别求出，，将点P点Q的坐标代入分别求出，利用作差法比较大小即可．

小问1详解】

解：∵，且函数图象经过，两点，

∴，

∴二次函数的解析式为，

∵当时，则，

解得，，

∴抛物线与轴交点的坐标为，，

∵，

∴抛物线的顶点的坐标为．

【小问2详解】

解：函数的大致图象，如图①所示：

当时，则，

解得，，

由图象可知：当时，函数值．

【小问3详解】

解：∵且，

∴，，，且一元二次方程必有一根为，

∵一元二次方程 两根之差等于，且

∴方程的另一个根为，

∴抛物线的对称轴为直线：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴

∵，，

∴，

，

∴，

∵b＞c,

∴-1-c＞c,

∴,

∴，

∴．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关系是解题的关键．