2023版高考物理创新设计二轮复习讲义微专题二　弹簧模型

微专题二　弹簧模型

【例1】 (多选)(2022·湖南教研联盟二次联考)如图1所示，在粗糙的水平面上，有四个完全相同的物块，放在一等腰梯形的四个顶点上，用四根完全相同的弹簧将它们连接起来，且da之间、ab之间、bc之间的弹簧长度相等，是cd之间的弹簧长度的一半。系统静止在水平地面上，已知da之间弹簧弹力的大小是cd之间弹簧弹力大小的一半，a受到的摩擦力大小为Ff，则(　　)

图1

A.cd之间的弹簧一定是拉伸的

B.b受到的合力指向∠abc的角平分线方向

C.d受到的摩擦力大小为Ff

D.c受到的摩擦力大小为Ff

答案　AC

解析　依题意，可得Fcd＝kΔxcd＝2Fab＝2kΔxab，则Δxcd＝2Δxab，又因为xcd＝2xab，所以弹簧ad处于压缩状态，弹簧cd处于拉伸状态，故A正确；b物体静止，合力为0，故B错误；对a进行受力分析，由如图甲可得ad、ab之间的弹簧弹力大小等于Ff，对c进行受力分析，由图乙可得Ffc＝Ff

根据对称性，可知d受到的摩擦力大小也为Ff，故D错误，C正确。

【例2】 (多选)(2022·黑龙江哈尔滨模拟)如图2甲所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接一质量为1 kg的物体，物体处于静止状态。用一竖直向上的外力F作用于物体上，物体从静止开始竖直向上做一段匀加速直线运动，外力F与物体离开静止位置的位移x的关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)

图2

A.物体运动的加速度大小为2 m/s2

B.弹簧开始时形变量为2 cm

C.弹簧的劲度系数为250 N/m

D.从物体开始运动时计时，当t＝0.1 s时弹簧的形变量为1 cm

答案　AC

解析　物体从静止开始运动时重力与弹簧弹力平衡，从图上读出外力F＝2 N，则开始运动时合力为F合＝2 N，根据牛顿第二定律F合＝ma，解得物体运动的加速度为a＝2 m/s2，A正确；当F＝12 N时，根据牛顿第二定律F－mg＋F1＝ma，解得弹簧弹力F1＝0，从图上读出此时的位移为4 cm，则弹簧开始时形变量为

x0＝4 cm，B错误；开始时弹簧弹力F0＝mg＝10 N，根据胡克定律F0＝kx0，解得弹簧的劲度系数为k＝250 N/m，C正确；物体做初速度为0的匀加速直线运动，当t＝0.1 s时位移为x＝at2＝0.01 m，则此时弹簧的形变量为x1＝x0－x＝3 cm，D错误。

【例3】 (2022·河北衡水3月联考)如图3所示，半径R＝0.42 m的光滑圆环沿竖直方向固定放置，O为圆心，A为圆环最高点。轻弹簧劲度系数k＝200 N/m，一端固定在A点，另一端与穿在圆环上的小球连接。弹簧原长时，小球位于B点，弹簧与竖直直径成53°角。静止释放小球，当小球运动至C点时，其速度达到最大，速度值为v＝1.2 m/s，此时弹簧与竖直直径成37°角。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，计算结果均保留一位小数，下列说法正确的是(　　)

图3

A.小球的质量为1.5 kg

B.小球由B至C，其重力势能减少了4.9 J

C.小球由B至C，其机械能减少了6.8 J

D.小球由B至C，其机械能减少了1.5 J

答案　B

解析　由题意可知小球运动至C点时所受合外力为零，如图所示，根据胡克定律可知此时弹簧弹力大小为T＝k·2R(cos 37°－cos 53°)＝33.6 N，根据力的矢量三角形与几何三角形相似可知＝，解得小球的质量为m＝2.1 kg，故A错误；

小球由B至C，其重力势能的减少量为ΔEp＝mgh＝mg(2Rcos237°－2Rcos253°)＝4.939 2 J≈4.9 J，故B正确；小球由B至C，设除重力之外的力对小球做功的代数和为W，根据动能定理有mv2＝ΔEp＋W，解得W≈－3.4 J，根据功能关系可知小球机械能减少了3.4 J，故C、D错误。

在处理与轻弹簧相关的动量守恒问题中，物体与弹簧相互作用时，弹簧弹力一般是变力，若将弹簧及其两端的物体作为系统，弹簧弹力是内力，系统动量守恒时不讨论弹簧弹力的变化，处理此类问题时要注意以下三点：

(1)与弹簧两端相连的两个物体速度相等时，弹簧的长度最长或最短，此时弹簧中储存的弹性势能最大。

(2)对于碰撞问题，由于碰撞时间极短，碰撞过程中物体的位移忽略不计，弹簧的长度来不及变化，弹性势能不变。

(3)由于弹簧一般会发生弹性形变，涉及弹性势能的变化问题时，还要运用能量守恒定律解题。

【例4】 (2022·湖北省重点中学4月联考)如图4所示，带有挡板的小车质量为m，上表面光滑，静止于光滑水平面上。轻质弹簧左端固定在小车上，右端处于自由伸长状态。质量也为m的小球，以速度v从右侧滑上小车，在小球刚接触弹簧至与弹簧分离的过程中，以下判断正确的是(　　)

图4

A.弹簧的最大弹性势能为mv2

B.弹簧的最大弹性势能为mv2

C.弹簧对小车做的功为mv2

D.弹簧对小球做功为mv2

答案　B

解析　当小球和小车的速度相同时弹簧的弹性势能最大，取向左为正方向，由系统动量守恒和机械能守恒分别有mv＝2mv′，mv2＝·2mv′2＋Ep，联立得到弹簧最大的弹性势能为Ep＝mv2，A错误，B正确；设小球与弹簧分离时，小车和小球的速度分别为v1和v2，由系统动量守恒和机械能守恒分别得到mv＝mv1＋mv2，

mv2＝mv＋mv，解得v1＝v，v2＝0，对小车，由动能定理得弹簧对小车做的功W1＝mv－0＝mv2，C错误；对小球，由动能定理得弹簧对小球做的功为W2＝mv－mv2＝0－mv2＝－mv2，D错误。