高中数学常用公式定理

高中数学常用公式定理
1. 元素与集合的关系
,.
2.包含关系

3．集合A中有n个元素，则集合A的所有不同子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.
4. 二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是 二次函数的解析式的三种形式:
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
5.解连续不等式常有以下转化形式：

6. 方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.
零点存在性定理:
函数在区间上的图像是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点. 即存在，使得，这个c也就是方程的根.
7.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得.
8. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”：
真值表 ：
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
9. 命题中常见结论的否定形式：
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有（）个
小于
不小于
至多有个
至少有（）个
对所有，
成立
存在某，
不成立

或

且
对任何，
不成立
存在某，
成立

且

或
10.四种命题的相互关系

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题
若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　
若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ
注意：全称命题与存在命题的否定关系。
11.充要条件：
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
12.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
13.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数. 复合函数的单调性口诀:同增异减.
14．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
15.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
16.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
17. 函数的图象的对称性: ①函数的图象关于直线对称.②函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
18．多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
19.函数的图象的对称性
函数的图象关于直线对称.
20.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.
21.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），
或，
或,
则的周期T=2a；
22.分数指数幂 ：
(1)（，且）.
(2)（，且）.
23．根式的性质：
（1）.
（2）当为奇数时，；
当为偶数时，.
24．有理指数幂的运算性质：
(1) .
(2) .
(3).
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
25.指数式与对数式的互化式：
.
26.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);
(2) ;
(3).
27.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.
28. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
29.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
30.等差数列的通项公式
；
其前n项和公式为
.
31.等比数列的通项公式
；
其前n项的和公式为
或.
32.若m、n、p、q∈N，且，那么：当数列是等差数列时，有；当数列是等比数列时，有。
33. 弧长公式：（是圆心角的弧度数，>0）；
扇形面积公式：；
34．三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，则sin=，cos=，tan=，符号法则:全STC.
35.同角三角函数的基本关系式 :
平方关系：，”1”的代换.商数关系:=，弦化切互化.
36.正弦、余弦的诱导公式: 概括为：奇变偶不变，符号看象限。
(n为偶数)

(n为奇数)

(n为偶数)

(n为奇数)

３７.和角与差角公式：
;
;
.
(平方正弦公式);
.
注意：二化一(辅助角)公式=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
3８.二倍角公式 ：
.
.
.
注意:半角公式是：sin= cos=
tan===。
升幂公式是： 。
降幂公式是： 。
39. 三角函数的单调区间：
的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是
40.三角函数的周期公式 :
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
41.正弦定理: .
42.余弦定理:
;
第一形式，;第二形式，cosB=
.
43.面积定理：
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
③；④；
⑤；⑥
44.三角形内角和定理 :
在△ABC中，有
.
△ABC 中： ， ，
45.平面向量运算性质：：
坐标运算：设，则
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.
46.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
坐标表示：设，则λ，
47. 平面向量的数量积:
定义：， .
运算律:(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
(4),
坐标运算:设 ,则
（５） a·b的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
48.平面向量基本定理：
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
　　其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
49．两个向量平行的充要条件
坐标表示: ，则
三点共线.
50.两个非零向量垂直的充要条件
坐标表示: ，则
51.两向量的夹角公式: a=,b=则.
52.平面两点间的距离公式:
A，B则AB.
53.线段的定比分公式 ：
设，，是线段的分点, 且,是实数，则
则 。 中点坐标公式
54.三角形的重心坐标公式 ：
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
55.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）两个正数的平均值不等式是： (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）双向绝对值不等式：
左边：时取得等号。右边：时取得等号。
56.平均值定理用来求最值：
已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
推广： 已知，则有
（1）若积是定值,则当最大时,最大；
当最小时,最小.
（2）若和是定值,则当最大时, 最小；
当最小时, 最大.
57.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
58.含有绝对值的不等式 ：
当a> 0时，有
.
或.
59.指数不等式与对数不等式
(1)当时：;
.
(2)当时：;

60.斜率公式 : 直线斜率的定义为:k= tan,
两点、则.
61. 同一坐标轴上两点距离公式：
62.直线的五种方程
（1）点斜式 : (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
63.两条直线的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；
②；
64．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
65.点到直线的距离
(点,直线：).
两平行直线距离
66. 或所表示的平面区域
设直线，则或所表示的平面区域是：
若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
67. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
68. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
,其中是直线的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
69.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
70.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
; 其中.
.
注意:研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种：
①代数法（判别式法）：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；
②几何法（圆心到直线的距离与半径的大小关系）：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。
71.两圆位置关系的判定方法:
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
72. 椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是。其中。
73.椭圆焦半径公式和.
74．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
75.双曲线标准方程的两种形式是：
和。
双曲线的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是，渐近线方程是。其中。
76.双曲线的焦半径公式
，.
77.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
78.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）. 与双曲线共焦点的双曲线系方程是。
79.抛物线标准方程的四种形式是：
抛物线的焦点坐标是：，准线方程是：。，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（通径）的长：。
80. 抛物线的焦半径公式: 点是抛物线上一点，则点P到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）：PF=
过焦点弦长.
81.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .
82.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.
83.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；
若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 。
84.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.
（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是
.
一、有关平行的证明
1、
线∥线
⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷
l1∥l2 l1∥α α∥β
l1∥l3 l1∥l2 l1∥l2 l1∥l2
l2∥l3 α∩β=l2
线∥线线∥线 线∥面线∥线 面∥面线∥线 同垂直于一个平面线∥线
2、
线∥面
⑴ ⑵
α∥β
a∥α a∥β
a∥b
线∥线线∥面 面∥面线∥面
3、
面∥面
⑴ ⑵


α∥β α∥β
a∥α
b∥β
线∥面面∥面 同垂直于一直线面∥面
二、有关垂直的证明
1、
线⊥线
⑴



（线⊥面线⊥线）




2、
线⊥面
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

a∥b α∥β



(线⊥线线⊥面)

3、
面⊥面



（线⊥面面⊥面）

85．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
86．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
87．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
88．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
89．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
90．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
91.球的半径是R，则
其体积,
其表面积．
92.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
93．体积公式：
直棱柱：， 锥体：， 球体：。
94. 侧面积：直棱柱侧面积：，；正棱锥侧面积：，，
球的表面积：。
95. 比例的几个性质
比例基本性质：；反比定理：
更比定理： ；合比定理；
分比定理：；合分比定理：
合比定理：
等比定理：若，，则。
96.等可能性事件的概率:.
97.互斥事件A，B分别发生的概率的和:
若事件A、B为互斥事件,则P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
98. 若事件A、B为对立事件,则P（A）+P（B）=1。一般地,
99.标准差:=.
100.回归直线方程 :
，其中.
101.相关系数:
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.
102.在处的导数（或变化率或微商）
.
103.瞬时速度
.
104.瞬时加速度
.
105. 函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
106.几种常见函数的导数
①,（C为常数）；②③；④
⑤；⑥；⑦；⑧.
107.导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
108. 导数的应用:
① 可导函数求单调区间或判断单调性的方法:使>0的区间为增区间,使<0的区间为减区间.
② 可导函数求极值的步骤:ⅰ.求导数ⅱ.求方程=0的根
ⅲ.检验在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根处取极小值.
③ 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值,
④ 在闭区间[a,b]上连续,在（a,b）内可导,则求最大值、最小值的步骤与格式为：ⅰ. 求导数ⅱ.求方程=0的根
ⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若()
x
a




…


b


正负号
0
正负号
0

0
正负号

y
值
单调性
值
单调性
值

值
单调性
值
ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.
109.判别是极大（小）值的方法:
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
110.复数的相等
.（）
111.复数的模（或绝对值）
==.
112.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).
113.复数的乘法的运算律:对于任何，有
交换律:.结合律:.
分配律: .