T8联考2023届高三数学上学期第一次学业质量评价试卷（Word版附解析）

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2023届高三第一次学业质量评价（T8联考）

数学试题

命题学校：华中师范大学第一附属中学

试时间：2022年12月16日上午8：00—10：00 试卷满分150分 考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数满足,则

A.  B.  C.   D. 

2.若集合,则

A.  B.  C.或   D. 

3.已知是数列的前项和,则“”是“是递增数列”的

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 

4.某同学掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据5次的统计结果,可以判断一定没有出现点数6的是

A.中位数是3,众数是2       B.平均数是3,中位数是2 

C.方差是,平均数是2   D.平均数是3,众数是2

5.已知,则

A.  B. C. D. 

6.已知圆台上底面半径为1,下底面半径为3,球与圆台的两个底面和侧面均相切,则该圆台的侧面积与球的表面积之比为

A. B.  C.  D. 

7.已知函数及其导函数的定义域均为,记,若为奇函数,为偶函数,则

A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 

8.已知椭圆,直线过坐标原点并交椭圆于两点在第一象限),点是轴正半轴上一点,其横坐标是点横坐标的2倍,直线交椭圆于点,若直线恰好是以为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为

A. B. C. D. 

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.在正方体中,分别是面,面,面的中心,则下列结论正确的是

A.          B.平面 

C.平面  D.与所成的角是 

10.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,若的图像与的图像关于轴对称,则下列说法正确的有

A.

B. 

C.的对称轴过的对称中心 

D.,使得 

11.设数列的前项和为,且,若,则下列结论正确的有

A. 

B.当时,取得最小值 

C.当时,的最小值为7 

D.当时,取得最小值 

12.已知函数及其导函数的定义域均为,若1,则下列结论正确的是

A. 

B. 

C.方程有两个解 

D.在区间上单调递增

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.二项式展开式中的系数为_______.

14.已知非零向量满足,则的夹角大小是_______.

15.若关于的不等式有且只有一个整数解,则实数的取值范围为________.

16.已知双曲线的左、右焦点分别为和为坐标原点,过作渐近线的垂线,垂足为,若,则双曲线的离心率为_______;又过点作双曲线的切线交另一条渐近线于点,且的面积,则该双曲线的方程为________.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知数列是等差数列,记为的前项和,是等比数列,.

(1)求;

(2)记,求数列的前10项和.

18.(本小题满分12分)

在中,角、、所对的边分别为、、,已知、、成等比数列,且.

(1)求角、、;

(2)若,延长至,使的面积为,求.

19.(本小题满分12分)

党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进高中学生对党的二十大的理解,某校组织开展党的二十大知识竞赛活动,以班级为单位参加比赛,最终甲、乙两班进行到了最后决赛,决赛采取五局三胜制,约定先胜三局者赢得比赛.已知每局比赛中必决出胜负,每一局若甲班先答题,则甲获胜的概率为,若乙班先答题,则甲获胜的概率为,每一局输的一方在接下来的一局中先答题,第一局由乙班先答题.

(1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;

(2)若规定每一局比赛中胜者得2分,负者得0分,记为比赛结束时甲班的总得分,求随机变量的分布列和数学期望.

20.(本小题满分12分)

如图(1),菱形中,,动点分别在边上(不含端点),且,沿将向上折起得到,使得平面平面,如图(2)所示.

(1)当为何值时,;

(2)若直线与平面所成角的正切值为,求平面和平面夹角的大小.

21.(本小题满分12分)

已知抛物线的准线与轴的交点为,直线过抛物线的焦点且与交于两点,的面积的最小值为4.

(1)求抛物线的方程;

(2)若过点的动直线交于两点,试问抛物线上是否存在定点,使得对任意的直线,都有,若存在,求出点的坐标;若不存在,则说明理由.

22.(本小题满分12分)

已知函数,其中,函数在上的零点为,函数

(1)证明:

(1);

(2)函数有两个零点;

(2)设的两个零点为,证明:.

(参考数据:)