福建省泉州市2023届高三数学上学期8月质量监测（一）试卷（Word版附答案）

泉州市2023届高中毕业班质量监测（一）

高三数学

本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

━、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

2. 在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

3. 的展开式中，的系数等于（    ）

A.  B.  C. 10 D. 45

4. 目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ）

A  B.  C.  D.

5. 如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ）

A.  B.  C.  D. 2

6. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，点在上的投影为．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知矩形ABCD中，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知定义在上奇函数满足，当时，．若与的图象交于点、、、，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（    ）

A.  B. d的最大值为

C. 是等腰三角形 D. 的最小值为

10. 某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（    ）

A. 这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”

B. 这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏

C. 该校约有5%的学生迷恋电子游戏

D. 该校约有2%的学生迷恋电子游戏

11. 设函数，则下列判断正确的是（    ）

A. 存在两个极值点 B. 当时，存在两个零点

C. 当时，存在一个零点 D. 若有两个零点，则

12. 已知正四棱台所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ）

A. 平面 B. 球的表面积为

C. 最小值为 D. 与平面所成角的最大值为60°

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设为单位向量，且，则________.

14. 函数在处的切线方程是________．

15. 已知等比数列的公比，则__________．

16. 在平面直角坐标系xOy中，已知为双曲线的左、右焦点，为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分，直线与的斜率分别为，且，则C的离心率等于_______．

四、解答题，本题共6小题，共0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17. 已知数列各项均为正数，且

（1）求的通项公式；

（2）设，求．

18. 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c．已知

（1）求A；

（2）若，求的周长的取值范围．

19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度℃关于时间的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．

表中：

（1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程：

（3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?

附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

②参考数据：．

20. 三棱柱中，．

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

21. 已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．

（1）求的方程：

（2）设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．

22. 已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若在有两个极值点，求证：．

答案

1-8 AADDB  BCD  9.ACD  10.AC  11.BD  12.ACD

13.

14.

15.

16. 2

17.（1）由得：，而，

因此，即数列是首项，公差的等差数列，，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，，则有，

所以.

18.（1），

，

由正弦定理得：

，

又，所以，

所以.

（2）由正弦定理得：，

所以

，

，，

所以，所以，

所以周长.

19.（1）根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②更适宜此散点的回归方程.

（2）由有：，两边取自然对数得：，设，， ，

则化为：，又，

，，

，，

回归方程为：，

即.

（3）当时，代入回归方程得：，化简得：，即，

又，

约化为：，

即

大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.

20.（1）如图所示：作中点，连接，

，

是等边三角形，

又，

满足，即有，

而，所以，

，平面，

平面，

而平面，

所以，又因为是中点，

所以.

（2）若，则，易知，

以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

过点作，垂足为，易求，，

则，

，，，

设平面的法向量为，

则有，即，

令，则，，所以，

同理可得：平面的法向量，

则.

因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

21.（1）解：设点，其中，则，

因为椭圆过点，则，

将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，

因此，椭圆的标准方程为.

（2）证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，

设点，则，

所以，直线的垂线的斜率为，

故直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，即点，

所以，直线的方程为，

因为点在直线上，所以，，

即，①

又因为，所以，，②

将②代入①可得，即，

，则，所以，直线过定点.

22.（1）由，

求导得，

易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，

①当时，即，，则在上单调递增；

②当时，即或，

令时，解得或，

当时，，

则在上单调递减；

当或，，

则在和上单调递增；

综上所述，当时，在上单调递增；

当或时，在上单调递减，

在和上单调递增.

（2）在上由两个极值点，

或，且为方程的两个根，即，，

，，即，

将，代入上式，可得：

，

由题意，需证，令，

求导得，

当时，，则在上单调递减，即，

故.