2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高一上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.

【详解】因为，，，

所以，

故集合中的元素个数为3，

故选：C.

2．已知，，，则的大小关系是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别将与比较大小，从而得到的大小关系.

【详解】因为，，，所以可知

故选：C

3．设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（    ）

A． B．ac<bc C．|a|>－b D．

【答案】B

【分析】利用不等式的性质对四个选项一一验证：

对于A，利用不等式的可乘性进行证明；

对于B，利用不等式的可乘性进行判断；

对于C，直接证明；

对于D，由开方性质进行证明.

【详解】对于A，因为a<b<0，所以，对a<b同乘以，则有，故A成立；

对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；

对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；

对于D，由－a>－b>0，可得，则选项D成立.

故选：B

4．如图所示，函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.

【详解】，

时，时，.

故选：B.

5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．8

【答案】C

【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．

【详解】的解集为，则的两根为，，

∴，∴，，则，即，

，当且仅当时取“=”，

故选：C.

6．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由，解得，由，即，解得，

又，

由推不出，故充分不成立，

由推得出，即必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

7．函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件可知在上单调递减，从而得出，解出的范围即可．

【详解】解：满足对任意，都有成立，

在上是减函数，

因为

，解得，

的取值范围是．

故选：．

8．已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据偶函数的性质及区间单调性可得上单调递增且，进而确定的区间符号，讨论、求解集即可.

【详解】由题设，上单调递增且，

所以、上，上，

对于，

当，即或，可得；

当，即，可得；

综上，解集为.

故选：A

二、多选题

9．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ）

A．8 B．128 C．37 D．23

【答案】BD

【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.

【详解】对于A，因，则，选项A错误；

对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；

对于C，因，则，选项C错误；

对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.

故选：BD

10．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：其中正确信息的序号是（    ）

A．骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到

B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C．骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者

D．骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样

【答案】AB

【分析】根据路程与时间的关系图象分析，骑自行车者、骑摩托车者的运动方式，位置关系，速度大小，即可确定答案.

【详解】由时间轴知：骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到，A正确；

骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，B正确；

摩托车速度为，骑摩托车者出发后距离骑自行车者，自行车后两小时速度为，故骑摩托车者还需要追上骑自行车者，故骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者，故C、D错误．

故选：AB

11．下列说法正确的是（    ）

A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题

B．“”是“”的充要条件

C．命题“”的否定是“”

D．若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是

【答案】CD

【解析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．

【详解】是无理数，是有理数，A错；

时，，但，不是充要条件，B错；

命题的否定是：，C正确；

“”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得．解得．D正确．

故选：CD．

【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．

12．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数是偶函数

B．方程有三个解

C．函数在区间上单调递增

D．函数有4个单调区间

【答案】ABD

【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.

【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．

由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；

函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．

故选：ABD

三、填空题

13．函数的单调减区间为__________.

【答案】##

【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.

【详解】函数是由函数和组成的复合函数，

，解得或，

函数的定义域是或，

因为函数在单调递减，在单调递增，

而在上单调递增，

由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．

故答案为：.

14．已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.

【详解】因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，

故答案为：1

15．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．

【答案】

【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.

【详解】由题知，，

所以恒成立，即．

又因为奇函数的定义域关于原点对称，

所以，解得，

因此，，

由单调递增，单调递增，

易知函数单调递增，

故等价于

等价于

即，解得．

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，则 = _________，若直线y=m与函数f (x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是_________．

【答案】     3    

【解析】根据自变量范围代入对应解析式，求得；作出函数图象，再结合图象确定参数取值范围.

【详解】，

作出函数的图象，如图所示，

若直线与函数的图象只有1个交点，

则或，

故答案为：3，

【点睛】本题考查求分段函数值以及根据函数零点个数求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.

五、解答题

17．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解，

（2）根据指数幂的运算法则即可求解.

【详解】（1）

（2）

18．已知不等式的解集是．

(1)求常数a的值；

(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；

（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围

【详解】（1）因为不等式的解集是．

所以－1和3是方程的解，

把代入方程解得．经验证满足题意

（2）若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，

所以，

解得，所以m的取值范围是．

19．在①函数的定义域为集合B，②不等式的解集为B这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

问题：设全集，_____．

(1)当，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合B，再利用集合间的基本运算求解．

（2）若“”是“”的充分条件，则，进而列出不等式组，求出的取值范围即可．

【详解】（1）解：若选①，则，解得，

∴，

当时，，

∴，

∴；

若选②，则，解得，

下同选①；

（2）解：若“”是“”的充分条件，则，

∴，解得，

即的取值范围为．

20．已知函数.

(1)求的定义域；

(2)判断的奇偶性并给予证明；

(3)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)函数为奇函数，证明见解析；

(3)见解析.

【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可.

【详解】（1）根据题意，函数，

所以，解可得，

所以函数的定义域为；

（2）由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，

因为函数，

所以，

所以函数为奇函数.

（3）根据题意，即，

当时，有，解可得，此时不等式的解集为；

当时，有，解可得，此时不等式的解集为

所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

21．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用.公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米元，左右两侧报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司甲的整体报价为元.

(1)试求关于的函数解析式；

(2)那么公司甲怎样设计校园应急室使整体报价最低？最低整体报价是多少？

【答案】(1),

(2)左右两侧墙的长度为4米时整体报价最低，最低报价为28800元

【分析】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，结合题目条件写出解析式.

（2）由（1）的结论，利用均值不等式求出甲公司报价最小值.

【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，

于是得，

其中.所以y关于x的函数解析式是:

,

（2）由（1）知，对于公司甲，

当且仅当，即时取“=”，则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，

22．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围；

（3）若实数，（，）满足，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）2．

【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；

（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；

（3）由基本不等式求得最小值．

【详解】解析：（1）．，

，

（）

即或

在上单调递增，为偶函数

即

（2）

，，，

∴

（3）由题可知，

，

当且仅当，即，时等号成立．

所以的最小值是2．