2023年九年级数学中考复习 线段和最小-费马点问题课件

这是一份2023年九年级数学中考复习 线段和最小-费马点问题课件，共14页。PPT课件主要包含了故事引入，定理探究，典例精讲，课堂检测，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
据史料记载费马在思考一个关于数学问题的故事.“古希腊亚里山大 里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，有位将军不远千里 专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法.问走什么样的路线最 短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被 人们称作“将军饮马”问题.”事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运 动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题.古今中 外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路. 我们把这类求近道的问题统称最短线路问题.费马就把这样的问题联想到某一个图形中.他大胆地提出了在一个任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短.他对此进行了充分的证明.后来人们就把这个点命名为“费马点”.现在研究表明不止是三角形，其它多边行也存在这样的点.
不积跬步 无以至千里。
费马点问题就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点。 费马点结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。 费马点问题在中考考查时主要隐藏在求三条线段之和最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
1、问题：△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC值最小。
作法：第一步：分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE； 第二步：连接CD、BE交点为P，点P即为费马点；第三步：连接PA,PB,PC，PA+PB+PC值最小
理由：要求PA+PB+PC值最小，则把三条线转化为一条线，利用两点之间线段最短解决 ∵∆ABD、∆ACE是等边三角形 ∴AB=AD AC=AE ∠DAB=∠EAC=60° 即：∠DAC=∠EAB ∴ ∆DAC≌∆BAE ∴ ∠ACD=∠AEB ∴A P C E四点共圆 ∴∠EAC=∠EPC=60° 截取PF=PC ∴∆PCF为等边三角形 ∴PC=CF CA=CE ∠PCF=∠ACE=60° ∴∠ACP=∠ECF ∴∆APC≌∆EFC ∴PA=EF 即：PA+PB+PC=BP+PF+EF=BE 两点之间线段最短 ∴ PA+PB+PC值最小为BE
当PA+PB+PC值最小时，我们把点P叫做费马点。
2、问题：△ABC有一个角大于或等于120度，在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC值最小。
当三角形有一个角为120°那么PA+PB+PC值就是BE或DE也就是最小的，我们可以用两点之间线段最短解决,即A为费马点,PA+PB+PC最小值是AB+AC。
当三角形有一个角大于120°，任取一点P，旋转∆APC得∆AP′C′，使AC′与AB共线， 则PC=P′C′因为∠BAC大于120°则∠C′AC=∠PAP′小于60°依据“大角对大边”则AP>PP′所以PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C′≥BC′所以PA+PB+PC最小值是AB+AC即A为费马点。
例1、如图，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG= ，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．
解：如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值。过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH=
例2、如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
解：把△AMD旋转60°得△AGF，则△AMG为等边三角形，AM=MG,∴MA+MD=MG+GF=MF 即：MA+MD+ME=ME+MF当MF和ME共线并垂直BC时ME+MF最小∴过F作FH⊥BC交BC于H点，即：线段FH的长即为所求的最小值．∵AB=4，BC=6 △AMG为等边三角形∴FH=KH+FK=4+
例3、菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，连接PA,PB,PC,若菱形ABCD的边长为4，求出PA+PB+PC值最小时PB的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°连接AC ∴∆ABC和∆ACD为等边三角形 ∴PA+PB+PC最小值是BD ∆PCE为等边三角形 ∴PB=PC=PE=CE=DE 即：PB= BD ∵菱形ABCD的边长为4 ∠ABC＝60° ∴BD= ∴当PA+PB+PC值最小时PB的长为
1、已知三个村庄A、B、C构成了如图所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），AB=15km，BC=20km，∠B=30°，现选取一点P打水井，使水井P到三个村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
2、已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为 ，求正方形 ABCD 的边长．
3、如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）
M建在BC的中点（BM=400米）处，P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（ ）米处 ，最少费用为 元。
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