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江苏省徐州市2022-2023学年九年级上学期期末数学抽测 数学试题(含答案)
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这是一份江苏省徐州市2022-2023学年九年级上学期期末数学抽测 数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省徐州市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
5．10件产品中有5件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线y＝﹣5x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1） 2﹣1
C．y＝﹣5（x+1） 2+3 D．y＝﹣5（x﹣1） 2+3
7．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
8．有一组数据如下：3，a，4，6，7，若它们的平均数是5，则这组数据的方差是（ ）
A．10 B． C． D．2
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．已知一组数据2，3，﹣4，5的极差为 ．
10．若，且2a+b＝18，则a的值为 ．
11．粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为 支．
12．若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为 cm2（结果保留π）．
13．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ ．
14．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是 ．
15．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，则AB的值为 ．
16．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分（阴影部分）的面积为 cm2．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（1）计算：20160﹣+4cos45°；
（2）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
18．某人的钱包内有10元钱，20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币，用列表或画树状图的方法，求下列事件的概率：
（1）取出纸币的总额是30元；
（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品．
19．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩．
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（6，4），B（4，0），C（2，0）．
（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；
（2）根据（1）的作图，tan∠C1A1B1＝ ．
21．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，设矩形垂直于墙的一边，即AB的长为xm．若矩形养殖场的面积为36m2，求此时的x的值．
22．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．
（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？
23．小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．
25．我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∴sinB＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
4．已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
【分析】根据⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3知d＜r，据此可得答案．
解：∵⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3，
∴d＜r，
∴点A在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
5．10件产品中有5件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：10件某种产品中有5件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率．
故选：A．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
6．将抛物线y＝﹣5x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1） 2﹣1
C．y＝﹣5（x+1） 2+3 D．y＝﹣5（x﹣1） 2+3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝﹣5x2+1向右平移1个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣5（x﹣1）2+1；
再向上平移2个单位长度为：y＝﹣5（x﹣1）2+1+2，即y＝﹣5（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
【分析】由题意得点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，则k＝．
解：∵点B把线段AC分成两部分，＝＝k，
∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，
∴k＝，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的定义；熟练掌握黄金分割的定义和比值是解题的关键．
8．有一组数据如下：3，a，4，6，7，若它们的平均数是5，则这组数据的方差是（ ）
A．10 B． C． D．2
【分析】先利用平均数的定义得到3+a+4+6+7＝5×5，解得a＝5，然后根据方差公式计算这组三角形的方差．
解：根据题意得3+a+4+6+7＝5×5，解得a＝5，
所以这组数据为3，5，4，6，7，
所以这组数据的方差＝[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s2＝[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]．也考查了算术平均数．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．已知一组数据2，3，﹣4，5的极差为 9 ．
【分析】根据极差的概念求解．
解：极差为：5﹣（﹣4）＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
10．若，且2a+b＝18，则a的值为 4 ．
【分析】已知等式整理后，联立即可求出a的值．
解：由＝，得到5a＝2b，
联立得：，
由②得：b＝﹣2a+18③，
把③代入①得：5a＝﹣4a+36，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为 15 支．
【分析】用白色粉笔的数量除以对应概率求出总支数，再减去白粉笔数量即可．
解：根据题意知，粉笔总数量为10÷＝25（支），
则彩色粉笔的数量为25﹣10＝15（支），
故答案为：15．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为 10π cm2（结果保留π）．
【分析】运用公式S侧＝πrl计算．
解：由题意，有圆锥的底面周长是4πcm，
则圆锥的侧面积为S侧＝×4π×5＝10π（cm2）．
故答案是：10π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ 16 ．
【分析】先连接OB，由于OC⊥AB可知AB＝2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
解：连接OB，
∵OE⊥AB，
∴AB＝2AE，
在Rt△OBC中，OA＝10，OE＝6，
∴AE＝＝8，
∴AB＝2AE＝2×8＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是 乙 ．
【分析】根据方差的意义数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．
解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，
则三人中成绩最稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，则AB的值为 ．
【分析】根据在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，可以得到∠ADB＝∠ADC＝90°，AD的长，从而可以得到AB的长，本题得以解决．
解：∵在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴，AC＝，
∴，
解得，AD＝，
∴AB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出各边的长，找出所求问题需要的条件．
16．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分（阴影部分）的面积为 （8﹣8） cm2．
【分析】如图，设正方形的中心点为O，利用正方形的性质得∠OMC＝∠OCM，∠OMB＝∠OCB＝45°，则∠BMC＝∠BCM，所以BM＝BC，再根据旋转的性质得∠ABM＝∠CBD＝45°，于是可判断△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，所以AB＝BD，同理可得AF＝AB，AE＝AM＝BC，设BC＝x，则AE＝x，BD＝x，AB＝AF＝x，利用正方形的边长为2得x+x+x＝2，解得x＝2﹣，然后利用正方形的面积减去4个三角形的面积即可得到两个正方形公共部分（阴影部分）的面积．
解：如图，设正方形的中心点为O，
∵点M和点C到正方形的中心的距离相等，即OM＝OC，
∴∠OMC＝∠OCM，
而∠OMB＝∠OCB＝45°，
∴∠BMC＝∠BCM，
∴BM＝BC，
∵正方形绕其中心旋转45°，
∴∠ABM＝∠CBD＝45°，
∴△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
同理可得AF＝AB，AE＝AM＝BC，
设BC＝x，则AE＝x，BD＝x，
∴AB＝AF＝x，
∵AE+AB+BC＝2，
∴x+x+x＝2，解得x＝2﹣，
∴S△BCD＝•（2﹣）2＝3﹣2，
∴两个正方形公共部分（阴影部分）的面积＝22﹣4×（3﹣2）＝（8﹣8）cm2．
故答案为（8﹣8）．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（1）计算：20160﹣+4cos45°；
（2）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）分别根据0指数幂的运算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先把方程左边分解为两个因式积的形式，进而可得出结论．
解：（1）原式＝1﹣2+4×
＝1﹣2+2
＝1；
（2）原方程可化为（3x+1）（x﹣1）＝0，
故3x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的运算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18．某人的钱包内有10元钱，20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币，用列表或画树状图的方法，求下列事件的概率：
（1）取出纸币的总额是30元；
（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品．
【分析】（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；
（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）列表：
共有6种等可能的结果数，其中总额是30元占2种，
所以取出纸币的总额是30元的概率＝；
（2）共有6种等可能的结果数，其中总额超过51元的有4种，
所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
19．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩．
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．
【分析】（1）根据图表得出甲、乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；
（2）根据方差公式求出甲、乙六次测试成绩的方差即可；
（3）根据方差和平均数两者进行分析．
解：（1）甲的平均成绩是：（10+8+9+8+10+9）÷6＝9，
乙的平均成绩是：（10+7+10+10+9+8）÷6＝9；
（2）甲的方差＝[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]＝．
乙的方差＝[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]＝．
（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
【点评】此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（6，4），B（4，0），C（2，0）．
（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；
（2）根据（1）的作图，tan∠C1A1B1＝ ．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用tan∠C1A1B1＝tanA，进而得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：连接BD，
tan∠C1A1B1＝tanA＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了位似变换以及解直角三角形，正确将已知角转化到直角三角形是解题关键．
21．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，设矩形垂直于墙的一边，即AB的长为xm．若矩形养殖场的面积为36m2，求此时的x的值．
【分析】根据各边之间的关系，可得出BC的长为（18﹣2x）m，根据矩形养殖场的面积为36m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：∵栅栏总长度为18m，AB的长为xm，
∴BC的长为（18﹣2x）m．
根据题意得：x（18﹣2x）＝36，
整理得：x2﹣9x+18＝0，
解得：x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，18﹣2x＝18﹣2×3＝12＞10，不符合题意，舍去；
当x＝6时，18﹣2x＝18﹣2×6＝6＜10，符合题意．
答：此时的x的值为6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．
（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？
【分析】（1）利用每千克利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出二次函数最值；
（2）利用w＝150，进而解方程得出答案．
解：（1）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴x＝30时，w有最大值200，
答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（2）当w＝150时，可得﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵35＞28，
∴x2＝35不合题意，应舍去，
答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出w与x之间的函数关系是解题关键．
23．小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】作PN⊥BC于N，则四边形ABNP是矩形，得PN＝AB，证出△APM是等腰直角三角形，得AM＝PM＝15m，则PN＝AB＝2AM＝30m，在Rt△PNQ中，由含30°角的直角三角形的性质得NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ≈49m即可．
解：过点P作PN⊥BC于N，如图，
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM＝PM＝×30＝15（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝30m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ＝20≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，把实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到，于是得到，问题即可得证；
（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC＝60°又直角三角形的性质得到BE＝AE，ON＝AO，设⊙O的半径为：r则ON＝r，AN＝DN＝r，由于得到EN＝2+，BE＝AE＝，在Rt△DEF与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴CD⊥AB，
∴，
∵＝，
∴，
∴AD＝AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°
∵AD＝AC，CD⊥AB，
∴∠DAB＝30°，
∴BE＝AE，ON＝AO，
设⊙O的半径为：r，
∴ON＝r，AN＝DN＝r，
∴EN＝2+，BE＝AE＝，
在Rt△NEO与Rt△BEO中，
OE2＝ON2+NE2＝OB2+BE2，
即（）2+（2+）2＝r2+，
∴r＝2，
∴OE2＝+25＝28，
∴OE＝2．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．
25．我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【分析】（1）由黄金分割点的概定义可得出答案；
（2）延长EA，CG交于点M，由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，则EM＝EC，根据勾股定理求出CE的长，由锐角三角函数的定义可出tan∠BCG＝，即，则可得出答案；
（3）证明△ABE≌△BCF（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AE，证明△AEF∽△BPF，得出，则可得出答案．
解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．
故答案为：（10﹣10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC＝＝＝10，
∴EM＝10，
∴DM＝10+10，
∴tan∠DMC＝＝．
∴tan∠BCG＝，
即，
∵AB＝BC，
∴，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴，
∴，
∴BP＝BC．
【点评】本题是相似形综合题，考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割点的定义，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2022-2023学年江苏省徐州市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
5．10件产品中有5件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线y＝﹣5x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1） 2﹣1
C．y＝﹣5（x+1） 2+3 D．y＝﹣5（x﹣1） 2+3
7．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
8．有一组数据如下：3，a，4，6，7，若它们的平均数是5，则这组数据的方差是（ ）
A．10 B． C． D．2
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．已知一组数据2，3，﹣4，5的极差为 ．
10．若，且2a+b＝18，则a的值为 ．
11．粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为 支．
12．若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为 cm2（结果保留π）．
13．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ ．
14．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是 ．
15．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，则AB的值为 ．
16．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分（阴影部分）的面积为 cm2．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（1）计算：20160﹣+4cos45°；
（2）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
18．某人的钱包内有10元钱，20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币，用列表或画树状图的方法，求下列事件的概率：
（1）取出纸币的总额是30元；
（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品．
19．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩．
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（6，4），B（4，0），C（2，0）．
（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；
（2）根据（1）的作图，tan∠C1A1B1＝ ．
21．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，设矩形垂直于墙的一边，即AB的长为xm．若矩形养殖场的面积为36m2，求此时的x的值．
22．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．
（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？
23．小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．
25．我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∴sinB＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
4．已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
【分析】根据⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3知d＜r，据此可得答案．
解：∵⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3，
∴d＜r，
∴点A在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
5．10件产品中有5件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：10件某种产品中有5件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率．
故选：A．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
6．将抛物线y＝﹣5x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1） 2﹣1
C．y＝﹣5（x+1） 2+3 D．y＝﹣5（x﹣1） 2+3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝﹣5x2+1向右平移1个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣5（x﹣1）2+1；
再向上平移2个单位长度为：y＝﹣5（x﹣1）2+1+2，即y＝﹣5（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
【分析】由题意得点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，则k＝．
解：∵点B把线段AC分成两部分，＝＝k，
∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，
∴k＝，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的定义；熟练掌握黄金分割的定义和比值是解题的关键．
8．有一组数据如下：3，a，4，6，7，若它们的平均数是5，则这组数据的方差是（ ）
A．10 B． C． D．2
【分析】先利用平均数的定义得到3+a+4+6+7＝5×5，解得a＝5，然后根据方差公式计算这组三角形的方差．
解：根据题意得3+a+4+6+7＝5×5，解得a＝5，
所以这组数据为3，5，4，6，7，
所以这组数据的方差＝[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s2＝[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]．也考查了算术平均数．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．已知一组数据2，3，﹣4，5的极差为 9 ．
【分析】根据极差的概念求解．
解：极差为：5﹣（﹣4）＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
10．若，且2a+b＝18，则a的值为 4 ．
【分析】已知等式整理后，联立即可求出a的值．
解：由＝，得到5a＝2b，
联立得：，
由②得：b＝﹣2a+18③，
把③代入①得：5a＝﹣4a+36，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为 15 支．
【分析】用白色粉笔的数量除以对应概率求出总支数，再减去白粉笔数量即可．
解：根据题意知，粉笔总数量为10÷＝25（支），
则彩色粉笔的数量为25﹣10＝15（支），
故答案为：15．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为 10π cm2（结果保留π）．
【分析】运用公式S侧＝πrl计算．
解：由题意，有圆锥的底面周长是4πcm，
则圆锥的侧面积为S侧＝×4π×5＝10π（cm2）．
故答案是：10π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ 16 ．
【分析】先连接OB，由于OC⊥AB可知AB＝2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
解：连接OB，
∵OE⊥AB，
∴AB＝2AE，
在Rt△OBC中，OA＝10，OE＝6，
∴AE＝＝8，
∴AB＝2AE＝2×8＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是 乙 ．
【分析】根据方差的意义数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．
解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，
则三人中成绩最稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，则AB的值为 ．
【分析】根据在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，可以得到∠ADB＝∠ADC＝90°，AD的长，从而可以得到AB的长，本题得以解决．
解：∵在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴，AC＝，
∴，
解得，AD＝，
∴AB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出各边的长，找出所求问题需要的条件．
16．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分（阴影部分）的面积为 （8﹣8） cm2．
【分析】如图，设正方形的中心点为O，利用正方形的性质得∠OMC＝∠OCM，∠OMB＝∠OCB＝45°，则∠BMC＝∠BCM，所以BM＝BC，再根据旋转的性质得∠ABM＝∠CBD＝45°，于是可判断△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，所以AB＝BD，同理可得AF＝AB，AE＝AM＝BC，设BC＝x，则AE＝x，BD＝x，AB＝AF＝x，利用正方形的边长为2得x+x+x＝2，解得x＝2﹣，然后利用正方形的面积减去4个三角形的面积即可得到两个正方形公共部分（阴影部分）的面积．
解：如图，设正方形的中心点为O，
∵点M和点C到正方形的中心的距离相等，即OM＝OC，
∴∠OMC＝∠OCM，
而∠OMB＝∠OCB＝45°，
∴∠BMC＝∠BCM，
∴BM＝BC，
∵正方形绕其中心旋转45°，
∴∠ABM＝∠CBD＝45°，
∴△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
同理可得AF＝AB，AE＝AM＝BC，
设BC＝x，则AE＝x，BD＝x，
∴AB＝AF＝x，
∵AE+AB+BC＝2，
∴x+x+x＝2，解得x＝2﹣，
∴S△BCD＝•（2﹣）2＝3﹣2，
∴两个正方形公共部分（阴影部分）的面积＝22﹣4×（3﹣2）＝（8﹣8）cm2．
故答案为（8﹣8）．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（1）计算：20160﹣+4cos45°；
（2）解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）分别根据0指数幂的运算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先把方程左边分解为两个因式积的形式，进而可得出结论．
解：（1）原式＝1﹣2+4×
＝1﹣2+2
＝1；
（2）原方程可化为（3x+1）（x﹣1）＝0，
故3x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的运算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18．某人的钱包内有10元钱，20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币，用列表或画树状图的方法，求下列事件的概率：
（1）取出纸币的总额是30元；
（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品．
【分析】（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；
（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）列表：
共有6种等可能的结果数，其中总额是30元占2种，
所以取出纸币的总额是30元的概率＝；
（2）共有6种等可能的结果数，其中总额超过51元的有4种，
所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
19．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩．
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．
【分析】（1）根据图表得出甲、乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；
（2）根据方差公式求出甲、乙六次测试成绩的方差即可；
（3）根据方差和平均数两者进行分析．
解：（1）甲的平均成绩是：（10+8+9+8+10+9）÷6＝9，
乙的平均成绩是：（10+7+10+10+9+8）÷6＝9；
（2）甲的方差＝[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]＝．
乙的方差＝[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]＝．
（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
【点评】此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（6，4），B（4，0），C（2，0）．
（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；
（2）根据（1）的作图，tan∠C1A1B1＝ ．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用tan∠C1A1B1＝tanA，进而得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：连接BD，
tan∠C1A1B1＝tanA＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了位似变换以及解直角三角形，正确将已知角转化到直角三角形是解题关键．
21．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，设矩形垂直于墙的一边，即AB的长为xm．若矩形养殖场的面积为36m2，求此时的x的值．
【分析】根据各边之间的关系，可得出BC的长为（18﹣2x）m，根据矩形养殖场的面积为36m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：∵栅栏总长度为18m，AB的长为xm，
∴BC的长为（18﹣2x）m．
根据题意得：x（18﹣2x）＝36，
整理得：x2﹣9x+18＝0，
解得：x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，18﹣2x＝18﹣2×3＝12＞10，不符合题意，舍去；
当x＝6时，18﹣2x＝18﹣2×6＝6＜10，符合题意．
答：此时的x的值为6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．
（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？
【分析】（1）利用每千克利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出二次函数最值；
（2）利用w＝150，进而解方程得出答案．
解：（1）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴x＝30时，w有最大值200，
答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（2）当w＝150时，可得﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵35＞28，
∴x2＝35不合题意，应舍去，
答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出w与x之间的函数关系是解题关键．
23．小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】作PN⊥BC于N，则四边形ABNP是矩形，得PN＝AB，证出△APM是等腰直角三角形，得AM＝PM＝15m，则PN＝AB＝2AM＝30m，在Rt△PNQ中，由含30°角的直角三角形的性质得NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ≈49m即可．
解：过点P作PN⊥BC于N，如图，
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM＝PM＝×30＝15（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝30m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ＝20≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，把实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到，于是得到，问题即可得证；
（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC＝60°又直角三角形的性质得到BE＝AE，ON＝AO，设⊙O的半径为：r则ON＝r，AN＝DN＝r，由于得到EN＝2+，BE＝AE＝，在Rt△DEF与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴CD⊥AB，
∴，
∵＝，
∴，
∴AD＝AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°
∵AD＝AC，CD⊥AB，
∴∠DAB＝30°，
∴BE＝AE，ON＝AO，
设⊙O的半径为：r，
∴ON＝r，AN＝DN＝r，
∴EN＝2+，BE＝AE＝，
在Rt△NEO与Rt△BEO中，
OE2＝ON2+NE2＝OB2+BE2，
即（）2+（2+）2＝r2+，
∴r＝2，
∴OE2＝+25＝28，
∴OE＝2．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．
25．我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【分析】（1）由黄金分割点的概定义可得出答案；
（2）延长EA，CG交于点M，由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，则EM＝EC，根据勾股定理求出CE的长，由锐角三角函数的定义可出tan∠BCG＝，即，则可得出答案；
（3）证明△ABE≌△BCF（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AE，证明△AEF∽△BPF，得出，则可得出答案．
解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．
故答案为：（10﹣10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC＝＝＝10，
∴EM＝10，
∴DM＝10+10，
∴tan∠DMC＝＝．
∴tan∠BCG＝，
即，
∵AB＝BC，
∴，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴，
∴，
∴BP＝BC．
【点评】本题是相似形综合题，考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割点的定义，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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