2023届高考数学二轮复习考点3三角函数与解三角形作业含答案

考点突破练3　三角函数与解三角形

1.(2022·河北石家庄二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,csin=asin C.

(1)求角A的大小;

(2)请在①sin B=;②a+c=7两个条件中任选一个,求△ABC的面积.

2.(2022·全国乙·理17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).

(1)证明:2a2=b2+c2;

(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.

3.(2021·新高考Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.

(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积.

(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

4.(2022·广东梅州一模)已知函数f(x)=2sin xcos x-cos 2x(x∈R).

(1)若f(α)=且α∈,求cos 2α的值;

(2)记函数f(x)在上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a<b)上单调递增,求实数a的最小值.

5.(2022·辽宁沈阳二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=c(cos B-cos A).

(1)判断△ABC的形状并给出证明;

(2)若a≠b,求sin A+sin B+sin C的取值范围.

6.(2022·山东聊城一模)如图,在四边形ABCD中,BD<AD,sincos.

(1)求A;

(2)若AB=,AD=3,CD=1,C=2∠CBD,求四边形ABCD的面积.

考点突破练3　三角函数与解三角形

1.解(1)由csin=asinC可得:sinCsin=sinAsinC,即sinCsin=sinAsinC,即sinCcos=2sincossinC,因为0<C<π,0<A<π,所以sinC>0,0<,cos>0,所以sin,即,A=.

(2)选①:sinB=,由正弦定理可得,即,解得a=,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即7=4+c2-2c,解得c=3(负值舍),所以S△ABC=bcsinA=×2×3×.

选②:a+c=7,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,

即(7-c)2=4+c2-2c,解得c=,

所以S△ABC=bcsinA=×2×.

2.(1)证明∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

∴sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,由正弦定理及余弦定理,得ca·-cb·=bc·-ba·,

化简整理,得2a2=b2+c2.

(2)解∵a=5,∴b2+c2=2a2=50.由余弦定理,得cosA=,∴bc=.∴b+c==9,

∴a+b+c=14.故△ABC的周长为14.

3.解(1)因为2sinC=3sinA,所以由正弦定理得2c=3a,解在△ABC中,由余弦定理得,cosC=,所以sinC=,所以S△ABC=absinC=×4×5×.

(2)假设存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形.

因为b=a+1,c=a+2,所以可知c>b>a,所以角C为钝角,

则cosC=<0,即a2+b2-c2<0,

则a2+(a+1)2-(a+2)2<0,整理得a2-2a-3<0,

即(a-3)(a+1)<0,所以-1<a<3,

又因为a为正整数,所以a=1或a=2.

当a=1时,b=2,c=3,不能构成三角形,舍去;

当a=2时,b=3,c=4,满足条件.

故当a=2时,△ABC为钝角三角形.

4.解(1)f(x)=sin2x-cos2x=2sin,

∵f(α)=,∴sin,

∵α∈,∴2α-,

∴cos=-,∴cos2α=cos2α-=-=-.

(2)当x∈时,2x-,f(x)∈[1,2],

∴b=2,由-+2kπ≤2π-+2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

又∵函数f(x)在[aπ,2π](a<2)上单调递增,

∴[aπ,2π]⊆-+2π,+2π,∴-+2π≤aπ<2π,

∴≤a<2,∴实数a的最小值是.

5.解(1)△ABC为等腰三角形或直角三角形,证明如下:

由a-b=c(cosB-cosA)及正弦定理得,sinA-sinB=sinC(cosB-cosA),

即sin(B+C)-sin(A+C)=sinC(cosB-cosA),

即sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,整理得sinBcosC-sinAcosC=0,

所以cosC(sinB-sinA)=0,故sinA=sinB或cosC=0,

又A,B,C为△ABC的内角,所以a=b或C=,

因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.

(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形,且A+B=,C=,故B=-A,且A≠,

所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+1=sinA+cosA+1=sin+1,因为A∈,故A+,得sin,

所以sin+1∈(2,+1),

因此sinA+sinB+sinC的取值范围为(2,+1).

6.解(1)因为,

所以sin=cos,

所以sincos可化为sin2,由二倍角公式可得cos.因为BD<AD,所以A∈,所以,

所以-2A=,解得A=.

(2)在△ABD中,AB=,AD=3,A=,

由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA,

即BD2=3+9-2××3×=3,所以BD=.

在△BCD中,由正弦定理得,

所以sinC=sin∠CBD.

又因为C=2∠CBD,所以cos∠CBD=.又因为∠CBD∈(0,π),所以∠CBD=,从而C=2∠CBD=,所以∠BDC=.

因此四边形ABCD的面积S=AB·AD·sinA+BD·CD=×3××1=.