2023重庆市高三上学期第一次联合诊断检测数学试题含答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试

高三第一次联合诊断检测数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．（    ）

A． B． C． D．1

3．设复数z满足，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．1

4．某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度．步骤如下：①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度．如图所示，前后两次人与镜子的距离分别，两次观测时镜子间的距离为，人的“眼高”为，则建筑物的高度为（    ）

A． B． C． D．

6．设等差数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C．1 D．2

7．已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，全科免费下载公众号《高中僧课堂》部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知两组样本数据和的均值和方差分别为和，若且，则（    ）

A． B． C． D．

10．在正方体中，点E，F，G分别是棱上的点，则一定成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

11．已知函数，则使得“的图象关于点中心对称”成立的一个充分不必要条件是（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象向右平移个单位长度后关于原点对称

C．

D．的图象关于直线对称

12．已知函数，则（    ）

A．有两个零点 B．过坐标原点可作曲线的切线

C．有唯一极值点 D．曲线上存在三条互相平行的切线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的展开式中常数项为___________．

14．已知，则的最小值是___________．

15．己知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________．

16．在中，，点Q满足，则的最大值为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角C；

（2）求的最大值．

18．（12分）

已知数列是各项均为正数的等比数列，设．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设数列的前5项和为35，，求数列的通项公式．

19．（12分）

如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，且平面平面．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成的角为，E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小．

20．（12分）

驾照考试新规定自2022年8月1日开始实施，其中科目一的考试通过率低成为热点话题，某驾校需对其教学内容和教学方式进行适当调整以帮助学员适应新规定下的考试，为此驾校工作人员欲从该驾校的学员中收集相关数据进行分析和统计，该驾校工作人员从2022年7月份该校首次参加科目一考试的新学员和8月份该校首次参加科目一考试的新学员中分别随机抽取了25人，对他们首次参加科目一考试的成绩进行统计，按成绩“合格”和“不合格”绘制成列联表如下：

附：．

（1）完成题中的列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响？

（2）若用样本中各月科目一考试的合格率作为该地区当月科目一考试通过的概率，已知该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员人数之比为2∶1，现从该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员中随机抽取两名学员进行学情调查，设抽到的两名学员中有X人首次参加科目一考试不合格，求X的分布列与数学期望．

21．（12分）

已知椭圆的离心率为，且过点，点O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上的动点M，P，O满足直线的斜率互为相反数，且点M不在坐标轴上，设直线的斜率分别为，求的值．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论的零点个数；

（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．

2023年普通高等学校招生全国统一考试

高三第一次联合诊断检测  数学参考答案

一、单选题

1~8  DCBBABBC

第8题提示：由，∴，又，∴

二、多选题

9．ABD  10．ABD  11．ABD  12．ACD

第11题提示：的图象关于点中心对称，则，其中，，所以充要条件是．

对于A，，故A正确；对于B，可知是原函数的对称点，，故B正确；对于C，，或或，不一定在S中，C错误；对于D，，故D正确．

第12题提示：，对于函数，可得在，处分别取极大值和极小值，由，知只有一个零点，有两个零点，A正确；假设B成立，设切点坐标为，切线方程即，

∴，但显然，B错误；，

∴在分别取到极大值和极小值，由知只有一个零点，有一个极值点；若D正确，则存在实数m使得有三个不同的根，此时只需即可成立，故D正确．

三、填空题

13．    14．4    15．   16．

第15题提示：∵

第16题提示：设中点为M，，

由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，∴当时，最大，此时是等边三角形，．

四、解答题

17．（10分）

解：（1）由正弦定理

（2）由正弦定理得：

，

其中，又，故，∴，

∴，故的最大值为．

18．（12分）

解：（1）设的公比为，

∴

故，所以，

故是以为公差的等差数列；

（2）∵数列的前5项和为35，∴，又，故的公差2，

故，即，

故且，从而，

或，所以或．

19．（12分）

解：（1）设中点为M，则

∵平面平面，

∴平面，∴

又直三棱柱，∴

∴平面，∴．

（2）由（1）直线与平面所成的角为，

不妨设

以B为原点，分别为x，y，z轴正向建立坐标系

设平面的法向量为

，令

同理可得平面的法向量为

设平面与平面所成锐二面角的大小为

∴．

20．（12分）

解：（1）由题得

∴可以在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响．

（2）由题该地7月份不合格率为，8月份不合格率为，抽取7月份首次参加考试的学员概率为，抽取8月份首次参加考试的学员概率为

X可能的取值为0，1，2

．

21．（12分）

解：（1）由题，联立解得

椭圆方程为

（2）设，直线

联立椭圆方程得

，∴

同理可得

∴

∴．

22．（12分）

解：（1）

∴在上单调递减，在上单调递增

当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；

当时，的零点个数为2．

（2）由题

令，对于，

∴

∴对恒成立

对于，∴在上单调递增

∴

∴