北京市昌平区2022-2023学年高三上学期期末质量检测数学试题+Word版含答案

昌平区2022~2023学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷

2023.1

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，则集合（    ）

A.              B.            C.                D.

2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（    ）

A.                B.               C.              D.

4. 若，，则一定有（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

6. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（    ）

A 充分不必要条件     B. 必要不充分条件   C. 充分必要条件          D. 既不充分也不必要条件

8. 图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（    ）

A. 16 B. 18 C. 20 D. 22

9. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（    ）

A.               B.              C.            D.

10. 已知向量满足，则的最大值是（    ）

A.                B.               C.            D.

二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知数列中，，则数列的通项公式为__________.

12. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为__________；若，则__________.

13. 在中，，则__________，__________.

14. 若直线与圆有公共点，则的最小值为__________.

15. 已知正三棱锥的六条棱长均为是底面的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交于点（不与顶点，重合）.给出下列四个结论：

①三棱锥为正三棱锥；②三棱锥的高为；

③三棱锥的体积既有最大值，又有最小值；④当时，.

其中所有正确结论的序号是__________.

三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，

（1）求解析式；

（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

条件①：函数的图象经过点；

条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；

条件③：函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为.

注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

17. 不粘锅是家庭常用厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下：

（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）

（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率；

（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量的分布列和数学期望；

（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小（结论不要求证明）.

18. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求直线到平面的距离.

19. 已知椭圆过点，且离心率是.

（1）求椭圆的方程和短轴长；

（2）已知点，直线过点且与椭圆有两个不同的交点，问：是否存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

20. 已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，证明：对任意的恒成立.

21. 已知数列满足：，且.记集合.

（1）若，写出集合的所有元素；

（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；

（3）求集合的元素个数的最大值.

1【答案】C【详解】依题意.

2【答案】A详解】由得，

又复数对应的点的坐标是，即，

3【答案】B【详解】对于A，设，则，

故在定义域内不是减函数，故A错误.

对于B，设，其定义域为且，

故为奇函数，而为上的增函数，

故为上的减函数，故B正确.

对于C，设，因为，故在定义域内不是减函数，故C错误.

对于D， 的定义域为，故该函数不是奇函数，故D错误.

4【答案】C【详解】不妨令，则，∴A、B不正确；
，∴D不正确，C正确.

5【答案】B【详解】二项式的展开式为，

令，解得，所以.

6【答案】D【详解】，所以，

所以.

7【答案】A【详解】由题意知，角与角的终边关于轴对称时，则 ，

故，则，即；

当时，此时，角与角的终边不关于轴对称，

即“”成立不能得出“角与角的终边关于轴对称”成立，

故“角与角的终边关于轴对称”是“”的充分而不必要条件，

8【答案】C【详解】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1；

第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1,2,1，

第三层有三个小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，

第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，

第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，

第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，故小球落入D区的路线数有20条.

9【答案】B【详解】直线的斜率为，倾斜角为，过作，垂足为，连接，

由于，所以三角形是等边三角形，所以，

由于，所以，所以抛物线方程为.

10【答案】C【详解】把平移到共起点，以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，见下图，设，则

又则点的轨迹为以为直径的圆，又因为所以故以为直径的圆为，所以的最大值就是以为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为

11【答案】【详解】数列中，，则，否则与矛盾，

故，即数列为首项为2，公比为2的等比数列，所以，

12【答案】 ①.   ②. 【详解】依题意，所以双曲线的渐近线方程为，

由于，所以在双曲线的左支，所以.

13【答案】 ①.   ②. ##【详解】由余弦定理可得，

故，故（舍）或，故，而为三角形内角，故.

14【答案】5【详解】由题意知,直线过定点，当点在圆上或圆内时，直线与圆总有公共点,即，即的最小值为5，

15【答案】①②④【详解】如图所示

∵用一个平行于底面的平面截三棱锥，且为正三棱锥，是底面的中心

∴三棱锥为正三棱锥，故①正确；

∵正三棱锥的六条棱长均为,是底面的中心，∴三棱锥的高为,

的高为，且,,∴，故②正确

，∵点不与顶点，重合，∴，设的高为，则，得，∴，

，在上，上，

所以在上递增，上递减，故在上有最大值，无最小值，故③错误；

当时，点分别为线段的三等分点，∴，且

∴.故④正确;

16【答案】（1）;    （2）.

【小问1详解】;

选①：函数的图象经过点，则，

所以，则，

由，可得，则；

选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，

即的图象可由函数的图象平移得到，则，则.

选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则函数的最小正周期为，故，故.

【小问2详解】当时，,则，故，

又当时，关于的不等式恒成立，故,即实数的取值范围为.

17【答案】（1）   

（2）

（3）

【小问1详解】“不粘性”性能都是Ⅰ级的品牌有5个，记事件A为两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级，

则

【小问2详解】前六个品牌中性能都是Ⅰ级的品牌有3个，可能取值为0,1,2,

;;;

∴分布列为

【小问3详解】后六个品牌性能都是Ⅰ级的品有2个，可能取值为0,1,2,

；；；

∴数学期望为

18【答案】（1）证明见解析；    （2）；    （3）.

【小问1详解】证明：由题意平面，平面,故平面平面，

又侧面为矩形，故, 而平面平面平面，

所以平面，又平面，所以 ,而平面，平面，

故平面.

【小问2详解】因为平面，平面，故 ，而平面，

故以A为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为,则,

则设平面的法向量为 ，则,

即，令，则，设直线与平面所成角为，

则.

【小问3详解】因为侧面为矩形，所以,而平面,平面,故平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，

，平面的法向量为，故点到平面的距离为 ,即直线到平面的距离为.

19【答案】（1）,.    （2）存在,直线.

【小问1详解】由题意知椭圆过点，且离心率是，则，且，故椭圆的方程为，短轴长为.

【小问2详解】假设存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形,由于直线过点,当直线斜率不存在时,直线l为，此时为椭圆的短轴上的两顶点，此时是以点为顶点的等腰三角形；

当直线斜率存在时，设直线方程为，联立 ，得 ，

当直线与椭圆C有两个不同的交点时，                                                       

该方程 ，整理得，设 ，

则 ，所以，

设的中点为点D，则 ，即 ，则,

当时，斜率不存在，此时的斜率k为0，不满足，故，

由题意可知,即，解得或，由于，故或不适合题意，综合以上，存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形.

20【答案】（1）   

（2）答案详见解析    （3）证明详见解析

【小问1详解】当时，，，

所以切线方程为.

【小问2详解】依题意，，

，

当时，，解得,

则在区间递减；在区间递增.

当时，解得或,

当时， 在区间递增；

在区间递减.

当时，在上递增.

当时，在区间递增；

区间递减.

【小问3详解】当时，，

由（2）可知，在递减，在递增，

所以

，

所以对任意的恒成立.

21【答案】（1）    （2）见解析    （3）5

【小问1详解】若，则，，，

，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.故.

【小问2详解】设，

若，则，因互质，故为3的倍数；

若，则即，因互质，故为3的倍数，

依次类推，有均为3的倍数.

当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.

当时，若，则，故为3的倍数；

若，则，故为3的倍数，

设当时，是3的倍数即为3的倍数，

若，则，故为3的倍数；

若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，

故当时，是3的倍数也成立，

由数学归纳法可得是3的倍数成立，综上，的所有元素都是3的倍数.

【小问3详解】当，则，，，，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为4；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为4；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为4；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为4；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为1；

当时，的元素个数不超过为5，

综上，的元素个数的最大值为5.