福建省莆田市中山中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试题(含答案)

莆田市中山中学2022-2023学年上学期九年级期末质量检测

数　学　试　题

(满分：150分；完卷时间：120分钟)

友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，不得越界作答．

第I卷　选择类

一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．科克曲线  B．笛卡尔心形线  C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图

2．如图，a∥b∥c，直线d、e与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，DE＝2，EF＝4，则BC的长为（　　）

A．4    B．5    C．6    D．8

3．已知正比例函数经过点A(1，，点B为x轴正半轴上一点，则∠AOB＝(　　)

A．120°   B．60°    C．45°    D．30°

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（　　）

A．63°   B．126°   C．116°   D．117°

5．下列说法错误的是（　　）

A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为；

B．不可能事件发生的概率为0；

C．买一张彩票会中奖是随机事件；

D．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球

6．已知二次函数的图象经过A（1，n），B（3，n），则b的值为（　　）

A．2    B．－2     C．4     D．4

7．抛物线经过三点（－3，），（－1，），（2，），则、、的大小关系是（　　）

A．  B．  C．  D．

8．冠状病毒属的病毒是具有强膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类.在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（　　）

A．  B．

C．     D．

9．如图，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）

A．   B．    Ccm  D．1　cm

10．已知点（－3，），（5，）在二次函数（）的图象上，（，）是函数图象的顶点，则（　　）

A．当时，的取值范围是

B．当时，的取值范围是

C．当时，的取值范围是

D．当时，的取值范围是

第Ⅱ卷　非选择类

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．若关于x的方程有一个根是3，则的值是_______．

12．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在0.2，由此估计袋子里黑色球的个数为_________．

13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边AB的中点D在⊙A__________．（填“内”、“上”或“外”）

14．若一个扇形的半径为4，圆心角为30°，则此扇形的面积为__________．

15．如图，已知在电线杆AB上有一个光源，身高1.8米的小明站在与电线杆底部A距离3米的点C处，其影长CE＝1米，若他沿AC方向走3米到达点F处，此时他的影长是________米（图中CD，FG均表示小明身高）．

16．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F．若AB＝1，，则DF的长为__________．

三、解答题:本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（8分）计算：．

18．（8分）解方程：·

19．（8分）已知如图，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：AB＝BH．

20．（8分）已知关于x的方程．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若、是该方程的两个实数根，且，求a的值．

21．（8分）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．

（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是________；

（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．

22．（10分）已知如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，∠C＝36°．

（1）在线段BC上求作一点D，使得△ABC∽△DBA（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求BC的值．

23．（10分）已知如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长．

24．（12分）已知如图，在正方形ABCD中，点E在BC上（不与端点重合），△ADF是由△ABE绕点A顺时针旋转90°得到的，连接EF交AD于点G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，连接BH．

（1）求证：△AHE是等腰直角三角形；

（2）求证：∠AFE＝∠HBE；

（3）若，CE＝3，求tan∠FAD的值．

25．（14分）已知抛物线（m为常数）．

（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；

（3）当时，点A、B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为，直线BD的解析式为，若，求证：直线AB过定点．

莆田市中山中学2022-2023学年上学期九年级期末质量检测

数学参考答案

一、选择题

二、填空题

11．－9；12．24；13．上；14．；15．2米；16．．

三、解答题

17．（8分）

解：原式．

18．（8分）解方程：·

解：，

或．

19．（8分）

解：在矩形ABCD中，

∵AD∥BC，AB=CD，∠D=90°

∴∠DEC=∠BCH，

又BH⊥CE，

∴，

∴△ECD≌△BCH（AAS）

∴CD＝BH，

∴AB＝BH．

20．（8分

解：（1）∵

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵，，

∴

∴．

21．（8分）

解：（1）；（2）．

22．（10分）

解：（1）作图如右；

（2）∵AC=BC，∠C=36°，

∴∠B=∠BAC=72°，

∵△ABC∽△DBA，

∴∠ADB=∠B=72°，∠CAD=∠C=36°，

∴AB=AD=CD=2，

设（）

则，即：，

∴，

∴．

23．（10分）

解：（1）连接OD，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OG，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD，

∴四边形ODFG是正方形，

设，

∵，，

∴，，

在Rt△AOG中，

∵，即，

∴，即AC＝8．

24．（12分）

解：（1）；

（2）∵AF=AE，∠EAF=90°，

∴∠AFE=45°，

∵AH⊥EF，∠ABE=90°，，

∴∠AHE+∠ABE=180°，

∴A、B、E、H四点共⊙O，

∵=，

∴∠HBE=∠HAE=45°，

（2）∵AH⊥EF，∠AEF=∠AFE=45°，

∴，

设∠DAF=∠BAE=α，

则∠BAH=45°+α，∠AGE=45°+α，

又=，

∴∠ABH=∠AEH=45°，

∴△ABH∽△GEA，

∴，，

∴，，，

在Rt△ABE中，设，

∵，

∴，，

∴．

25．（14分）

解：（1）∵

∴顶点（m，）；

（2）∵开口向上，，

∴抛物线与x轴无交点，顶点到x轴的最小距离

显然，这是一个d关于m二次函数，开口向上，对称轴为，

∴当时，d随m增大而增大，

∴当时，d有最小值：4；

（3）当时，抛物线：，D（0，－3），

设A（，）或（，），B（，）或（，），

∴，，，

∴直线AB解析式为：

，

，

即：，

∴直线AB′过定点（0，）．