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高中物理高考 选修3-4 第2讲
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这是一份高中物理高考 选修3-4 第2讲，共23页。试卷主要包含了波长λ，多普勒效应，5 cm/s，45 m/s等内容，欢迎下载使用。
知识排查
机械波 横波和纵波
波速、波长和频率的关系
1.波长λ：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
2．频率f：与波源的振动频率相等。
3．波速v：波在介质中的传播速度。
4．波速与波长和频率的关系：v＝λf。
波的图象
1.坐标轴的意义：横坐标表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。
2．图象的物理意义：某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。
图1
波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的干涉和衍射
2.多普勒效应
(1)条件：波源和观察者之间有相对运动。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。
(3)实质：波源频率不变，观察者接收到的频率变化。
小题速练
1．(多选)关于机械振动与机械波，下列说法正确的是( )
A．机械波的频率等于振源的振动频率
B．机械波的传播速度与振源的振动速度相等
C．质点振动的方向总是垂直于波传播的方向
D．在一个周期内，沿着波的传播方向，振动在介质中传播一个波长的距离
E．机械波在介质中传播的速度由介质本身决定
解析 机械波的频率是振源的振动频率，故A正确；机械波的传播速度与振源的振动速度无关，故B错误；机械波分横波与纵波，纵波的质点振动方向与波的传播方向在同一条直线上，故C错误；由v＝eq \f(λ,T)可知，在一个周期内沿着波的传播方向，振动在介质中传播一个波长的距离，故D正确；机械波在介质中传播的速度由介质本身决定，故E正确。
答案 ADE
2．(多选)如图2所示为一横波在某时刻的波形图，已知质点F此时运动方向如图，则( )
图2
A．波向左传播
B．质点H与质点F的运动方向相同
C．质点C比质点B先回到平衡位置
D．此时质点C的加速度为零
E．此时速度大小最大的质点是A、E、I
解析 由“上下坡法”可得，选项A正确；质点H与质点F的运动方向相反，选项B错误；质点B运动方向向上，因此质点C比质点B先回到平衡位置，选项C正确；此时质点C的加速度最大，速度为零，选项D错误；平衡位置处质点速度最大，选项E正确。
答案 ACE
3.(多选)关于机械波的特性，下列说法正确的是( )
A．只有波长比障碍物的尺寸小或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象
B．火车鸣笛时向我们驶来，听到的笛声频率将比声源发出的频率高
C．向人体内发射频率已知的超声波被血管中的血液反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血液的速度，这种方法应用的是多普勒效应
D．当观察者背离波源运动，接收到的波的频率小于波源的频率
E．只要是性质相同的波，都可以发生干涉
解析 只有障碍物的尺寸比波长小或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象，A错误；根据多普勒效应，火车鸣笛时向我们驶来，听到的笛声频率将比声源发出的频率高，B正确；向人体内发射频率已知的超声波被血管中的血液反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血液的速度，这种方法应用的是多普勒效应，C正确；根据多普勒效应，当观察者向波源运动，接收到的波的频率大于波源的频率，当观察者背离波源运动，接收到的波的频率小于波源的频率，D正确；只有在同一介质中传播的频率相同的同类波，才能发生干涉，E错误。
答案 BCD
波的传播与图象
波动图象的信息(如图3所示) (1)直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。
图3
(2)确定某时刻各质点加速度的方向，并能比较其大小。
(3)结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。
2．波的传播过程中的特点
(1)振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝eq \f(λ,T)＝λf。
(2)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变。
(3)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0，1，2，3…)时，它们的振动步调总相反。
(4)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
【例1】 (多选) [2018·全国卷Ⅲ，34(1)]一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0和t＝0.20 s时的波形分别如图4中实线和虚线所示。已知该波的周期T>0.20 s。下列说法正确的是( )
图4
A．波速为0.40 m/s
B．波长为0.08 m
C．x＝0.08 m的质点在t＝0.70 s时位于波谷
D．x＝0.08 m的质点在t＝0.12 s时位于波谷
E．若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s，则它在该介质中的波长为0.32 m
解析 根据波形图可知，波长λ＝16 cm＝0.16 m，选项B错误；根据t＝0时刻和t＝0.20 s时刻的波形图和该波的周期T>0.20 s可知，该波的周期T＝0.40 s，波速v＝eq \f(λ,T)＝0.40 m/s，选项A正确；简谐波沿x轴正方向传播，x＝0.08 m 的质点在t＝0时刻沿y轴正方向振动，在t＝0.70 s 时位于波谷，在t＝0.12 s时位于y>0的某位置，不是位于波谷，选项C正确，D错误；若此波传入另一介质中，周期T不变，其波速变为v′＝0.80 m/s，由λ′＝v′T可得它在该介质中的波长为λ′＝0.80×0.40 m＝0.32 m，选项E正确。
答案 ACE
波的传播方向与质点振动方向的互判方法
1．[2018·全国卷Ⅱ，34(1)]声波在空气中的传播速度为340 m/s，在钢铁中的传播速度为4 900 m/s。一平直桥由钢铁制成，某同学用锤子敲击一下桥的一端发出声音，分别经空气和桥传到另一端的时间之差为1.00 s。桥的长度为________ m。若该声波在空气中的波长为λ，则它在钢铁中的波长为λ的________倍。
解析 设声波在钢铁中的传播时间为t1、传播速度为v1，在空气中的传播时间为t2、传播速度为v2，桥长为l，则l＝v1t1＝v2t2，而t2－t1＝1.00 s，代入数据解得l≈365 m。又λ＝eq \f(v,f)，声波频率不变，所以eq \f(λ钢,λ空)＝eq \f(v1,v2)，得λ钢＝eq \f(v1,v2)λ空＝eq \f(245,17)λ。
答案 365 eq \f(245,17)
2．(多选)在某一均匀介质中由波源O发出的简谐横波在x轴上传播，某时刻的波形如图5，其波速为5 m/s，则下列说法正确的是( )
图5
A．此时P(－2 m，0)、Q(2 m，0)两点运动方向相同
B．再经过0.5 s质点N刚好在(－5 m，20 cm)位置
C．能与该波发生干涉的横波的频率一定为3 Hz
D．波的频率与波源的振动频率无关
E．从图示时刻开始，Q点的振动方程可以表示为y＝－20sin(5πt) cm
解析 由同侧法可得P、Q两点振动方向均为y轴负方向，所以A正确；由题图知λ＝2 m，由v＝eq \f(λ,T)得T＝eq \f(λ,v)＝0.4 s，t＝0.5 s时，0.5 s＝eq \f(5,4)T，由平移法可得波再传播eq \f(5,4)λ，N处于波峰，B正确；因该波的频率f＝eq \f(1,T)＝2.5 Hz，所以与频率为3 Hz的横波不满足干涉条件，C错误；因波源振动一个周期波传播一个波长的距离，故波的频率与波源的振动频率相同，D错误；从图示时刻开始，Q点的振动方程可以表示为y＝－20sin(5πt) cm，E正确。
答案 ABE
振动图象和波的图象的关联分析
求解波动图象与振动图象综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
【例2】 [2018·全国卷Ⅰ，34(2)]一列简谐横波在t＝eq \f(1,3) s时的波形图如图6(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)是质点Q的振动图象。求
图6
(ⅰ)波速及波的传播方向；
(ⅱ)质点Q的平衡位置的x坐标。
解析 (ⅰ)由图(a)可以看出，该波的波长为λ＝36 cm①
由图(b)可以看出，周期为T＝2 s②
波速为v＝eq \f(λ,T)＝18 cm/s③
由图(b)知，当t＝eq \f(1,3) s时，质点Q向上运动，结合图(a)可得，波沿x轴负方向传播。
(ⅱ)设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ。由图(a)知，x＝0处y＝－eq \f(A,2)＝Asin(－30°)，
因此xP＝eq \f(30°,360°)λ＝3 cm④
由图(b)知，在t＝0时，质点Q处于平衡位置，经Δt＝eq \f(1,3) s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，由此及③式有xQ－xP＝vΔt＝6 cm⑤
由④⑤式得，质点Q的平衡位置的x坐标为
xQ＝9 cm⑥
答案 (ⅰ)18 cm/s 波沿x轴负方向传播 (ⅱ)9 cm
1．(多选)图7甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为媒质中平衡位置在x＝1.5 m处的质点的振动图象，P是平衡位置为x＝2 m的质点，下列说法正确的是( )
图7
A．波速为0.5 m/s
B．波的传播方向向右
C．0～2 s时间内，P运动的路程为8 cm
D．0～2 s时间内，P向y轴正方向运动
E．当t＝7 s时，P恰好回到平衡位置
解析 由图甲可知该简谐横波波长为2 m，由图乙知周期为4 s，则波速为v＝eq \f(λ,T)＝0.5 m/s，故A正确；根据图乙的振动图象可知，在x＝1.5 m处的质点在t＝2 s时振动方向向下，所以该波向左传播，故B错误；由于t＝2 s时，质点P在波谷，且2 s＝0.5T，所以质点P运动的路程为2 A＝8 cm，故C正确；由于该波向左传播，由图甲可知t＝2 s时，质点P已经在波谷。所以可知0～2 s时间内，P向y轴负方向运动，故D错误；当t＝7 s时，Δt＝5 s＝1eq \f(1,4)T，P恰好回到平衡位置，故E正确。
答案 ACE
2．如图8甲所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，已知x＝1 m处的质点做简谐运动的图象如图乙所示。
图8
(ⅰ)写出x＝1 m处的质点做简谐运动的函数关系式；
(ⅱ)从t＝0开始经过多长时间质点P开始振动？求出在0～20 s内质点P运动的路程。
解析 (ⅰ)由题图乙可知，振幅A＝2 cm，质点做简谐运动的周期为T＝4 s
x＝1 m处的质点做简谐运动的函数关系式为
y＝2sin(eq \f(π,2)t) cm
(ⅱ)波运动的周期为T＝4 s
由题图甲可知波长λ＝2 m
波速v＝eq \f(λ,T)＝0.5 m/s
由题图甲可知x＝2 m处的质点在t＝0时刚好开始沿
y轴负方向振动，设P点再过时间Δt开始振动，
则Δt＝eq \f(Δx,v)＝6 s
即从t＝0开始经过6 s时间质点P开始振动
由简谐运动的对称性可知，质点在任意一个全振动过程中的路程
s0＝4A＝8 cm
P点开始振动后，14 s内经历了3.5次全振动
所以在0～20 s内质点P运动的路程为s＝3.5s0＝28 cm
答案 (ⅰ)y＝2sin(eq \f(π,2)t) cm (ⅱ)6 s 28 cm
波的多解问题
造成波动问题多解的主要因素有
【例3】 (多选)(2018·宜宾二诊)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图9中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点，则以下说法正确的是( )
图9
A．这列波的波速可能为50 m/s
B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm
C．若有另一周期为0.16 s的简谐横波与此波相遇，能产生稳定的干涉现象
D．若T＝0.8 s，当t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移相同
E．若T＝0.8 s，从t＋0.4 s时刻开始计时，质点c的振动方程为y＝0.1sin(2.5πt) m
解析 由图可知，波的波长为40 m，两列波相距0.6 s＝(n＋eq \f(3,4))T，故周期T＝eq \f(2.4,4n＋3) s，波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(40,2.4)×(4n＋3) m/s＝(eq \f(200,3)n＋50) m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，当v＝50 m/s时，故A正确；质点a在平衡位置附近上下振动，振动的最少时间为eq \f(3,4)T，故路程最小为3A，即30 cm，故B错误；当n＝3时，T＝0.16 s，故若有另一周期为0.16 s的简谐波与此波相遇，能产生稳定的干涉现象，选项C正确；因波沿x轴正方向传播，所以在t时刻质点P是向上振动的，T＝0.8 s，经0.5 s后，P是正在向下振动(负位移)，是经过平衡位置后向下运动0.1 s；而质点b是正在向上振动的(负位移)，是到达最低点后向上运动0.1 s，因为0.2 s等于eq \f(T,4)，可见此时两个质点的位移是相同的，故D正确；若T＝0.8 s，当t＋0.4 s时质点c在上端最大位移处，据ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.8) rad/s＝2.5π rad/s，据图知A＝0.1 m，当从t＋0.4 s时刻开始计时，则质点c的振动方程为y＝0.1cs(2.5πt) m，故E错误。
答案 ACD
1．解决波的多解问题的思路：一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2…)。
2．求解波的多解问题的一般思路
(1)根据初末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式。
(2)根据题设条件判断是唯一解还是多解。
(3)根据波速公式v＝eq \f(Δx,Δt)或v＝eq \f(λ,T)＝λf求波速。
1. (多选)如图10所示为一列向左传播的横波的图象，图中实线表示t时 刻的波形，虚线表示又经Δt＝0.2 s时刻的波形，已知波长为2 m，下列说法正确的是( )
图10
A．波的周期的最大值为2 s
B．波的周期的最大值为eq \f(2,9) s
C．波的速度的最小值为9 m/s
D．这列波不能发生偏振现象
E．这列波遇到直径r＝1 m的障碍物会发生明显的衍射现象
解析 0.2 m＝eq \f(1,10)λ，因波向左传播，则由图象可知波向左传播的距离为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(9,10)))λ(n＝0、1、2…)，所以0.2 s＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(9,10)))T(n＝0、1、2…)，n＝0时，周期最大，最大值为Tm＝eq \f(2,9) s，波速最小，最小值为vmin＝eq \f(λ,Tm)＝9 m/s，所以选项A错误，B、C正确；横波可以发生偏振现象，选项D错误；因为障碍物的直径r＝1 m<λ＝2 m，则这列波遇到此障碍物可以发生明显的衍射现象，选项E正确。
答案 BCE
2．(多选)如图11所示，有一列减幅传播的简谐横波，x＝0与x＝75 m处的A、B两个质点的振动图象分别如图中实线与虚线所示。则这列波的( )
图11
A．A点处波长是10 cm，B点处波长是5 cm
B．周期一定都是2×10－2 s
C．t＝0.012 5 s时刻，两质点的振动速度方向相反
D．传播速度一定是600 m/s
E．A质点的振幅是B质点的振幅的2倍
解析 由A、B两质点的振动图象可知两质点的周期均为2×10－2 s，所以选项B正确；再由振动图象知t＝0时，质点A在平衡位置且向上振动，B处在波峰，则有75 m＝eq \f(3,4)λ＋nλ(n＝0、1、2…)，解得λ＝eq \f(300,4n＋3) m(n＝0、1、2、3…)，所以选项A错误；在t＝0.012 5 s＝eq \f(5,8)T时，质点A向下振动，B向上振动，所以选项C正确；波的传播速度v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(15 000,4n＋3) m/s(n＝0、1、2、3…)，有多种可能，选项D错误；由图可知质点A的振幅为10 cm，质点B的振幅为5 cm，所以选项E正确。
答案 BCE
波的干涉、衍射、多普勒效应
1．波的干涉中振动加强点和减弱点的判断：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
2.波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
3.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。当波以速度v通过观察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝eq \f(vt,λ)，因而单位时
间内通过观察者的完全波的个数，就是接收频率。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)如12图(a)，在xy平面内有两个沿z方向做简谐振动的点波源S1(0，4)和S2(0，－2)。两波源的振动图线分别如图(b)和图(c)所示。两列波的波速均为1.00 m/s。两列波从波源传播到点A(8，－2)的路程差为________m，两列波引起的点B(4，1)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)，点C(0，0.5)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)。
图12
解析 由几何关系可知两波源到A点的距离为AS1＝10 m，AS2＝8 m，所以两波的路程差为2 m；同理可得，BS1－BS2＝0，为波长的整数倍，由振动图象知两振源振动方向相反，故B点振动减弱；两波源到C点的路程差为Δx＝CS1－CS2＝1 m，波长λ＝vT＝2 m，所以C点振动加强。
答案 2 减弱 加强
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．发生多普勒效应时，波源的频率变化了
B．发生多普勒效应时，观察者接收到的频率发生了变化
C．多普勒效应是在波源和观察者之间有相对运动时发生的
D．多普勒效应是由奥地利物理学家多普勒首先发现的
E．当观察者向波源靠近时，观察到波的频率变小
解析 当波源与观察者之间有相对运动时，会发生多普勒效应，C正确；发生多普勒效应时是观察者接收到的频率发生了变化，而波源的频率没有变化，A错误，B正确；由物理学史实知，D正确；当观察者向波源靠近时，会观察到波的频率变大，E错误。
答案 BCD
2．(多选)如图13所示，实线与虚线分别表示振幅、频率均相同的两列简谐横波的波峰和波谷，此刻，M是波峰与波峰的相遇点。设这两列波的振幅均为A，则下列说法正确的是( )
图13
A．此时刻位于O处的质点正处于平衡位置
B．P、N两处的质点始终处在平衡位置
C．随着时间的推移，M处的质点将向O处移动
D．从此时刻起，经过四分之一周期，M处的质点到达平衡位置，此时位移为零
E．O、M连线的中点是振动加强的点，其振幅为2A
解析 此时刻位于O处的质点正处于波谷与波谷的相遇点，不在平衡位置，选项A错误；P、N两处的质点处于波峰和波谷的相遇点，两列波在这两处的位移始终相反，合位移为0，选项B正确；质点并不随波迁移，选项C错误；从此时刻起，经过四分之一周期，两列波在M点的振动均达到平衡位置，合位移为零，选项D正确；O、M连线的中点是振动加强区的点，其振幅为2A，选项E正确。
答案 BDE
3．(多选)图14甲为某一简谐波在t＝0时刻的波形图，图乙为图甲中平衡位置位于x＝2 m处的质点B的振动图象，质点C的平衡位置位于x＝4 m处。则下列说法正确的是( )
图14
A．该简谐波沿x轴负方向传播，其波速v＝4 m/s
B．在0～3.5 s时间内，质点B运动的路程为3.5 m
C．在t＝2 s时刻，质点C恰好经过平衡位置向y轴正方向运动
D．要使该波能够发生明显的衍射，则障碍物的尺寸应远大于4 m
E．若该波能与另一列波发生稳定的干涉，则另一列波的频率为0.5 Hz
解析 由题图乙质点B的振动图象可知，t＝0时刻，质点B的振动方向为沿y轴负方向，对照题图甲，可知该简谐波沿x轴正方向传播，由题图甲可知简谐波的波长为λ＝4 m，由题图乙可知，波的周期为T＝2 s，其波速v＝eq \f(λ,T)＝2 m/s，选项A错误；在0～3.5 s时间内，质点B运动路程为s＝7A＝7×0.5 m＝3.5 m，选项B正确；在t＝2 s时刻，质点C经过一个周期恰好经过平衡位置向y轴正方向运动，选项C正确；要使该波能够发生明显的衍射，则障碍物的尺寸应小于4 m或与4 m差不多，选项D错误；若该波能与另一列波发生稳定的干涉，则另一列波的周期应为2 s，频率为0.5 Hz，选项E正确。
答案 BCE
课时作业
(时间：40分钟)
基础巩固练
1．(多选)[2016·全国卷Ⅰ，34(1)]某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近。该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s。下列说法正确的是( )
A．水面波是一种机械波
B．该水面波的频率为6 Hz
C．该水面波的波长为3 m
D．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去
E．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移
解析 水面波是机械振动在水面上的传播，是一种典型的机械波，选项A正确；从第一个波峰到第十个波峰中经历了九个波形，时间间隔为15秒，所以其振动周期为T＝eq \f(15,9) s＝eq \f(5,3) s，频率为0.6 Hz，选项B错误；其波长λ＝vT＝1.8 m/s×eq \f(5,3) s＝3 m，选项C正确；水中的质点都上下振动，不随波迁移，但是能量随着波的向前传播而传递出去，选项D错误，E正确。
答案 ACE
2．(多选)[2017·全国卷Ⅲ，34(1)]如图1，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s 时的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5 s。关于该简谐波，下列说法正确的是( )
图1
A．波长为2 m
B．波速为6 m/s
C．频率为1.5 Hz
D．t＝1 s时，x＝1 m处的质点处于波峰
E．t＝2 s时，x＝2 m处的质点经过平衡位置
解析 由波形图可知，波长λ＝4 m，故选项A错误；横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图。又该简谐波的周期大于0.5 s，波传播的距离Δx＝eq \f(3,4)λ，eq \f(3,4)T＝0.5 s，故周期T＝eq \f(2,3) s，频率为1.5 Hz，波速v＝λf＝6 m/s，故选项B、C正确；t＝1 s＝eq \f(3,2)T 时，x＝1 m处的质点处于波谷位置，故选项D错误；t＝2 s＝3T时，x＝2 m处的质点正经过平衡位置向上运动，故选项E正确。
答案 BCE
3．(多选)沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图2所示，两质点M、N的横坐标分别为x1＝1.5 m 和x2＝2.5 m，t＝0时刻质点M的运动方向沿y轴的负方向。若从t＝0时刻开始，经0.25 s质点N第一次到达平衡位置，则( )
图2
A．该列波沿x轴负方向传播
B．该列波的周期为1 s
C．该列波的波速为2 m/s
D．1 s末，质点M的运动方向沿y轴的负方向
E. 0～1 s内，质点N通过的路程等于8 cm
解析 由t＝0时刻质点M的运动方向沿y轴的负方向，可知该列波沿x轴负方向传播，选项A正确；因经0.25 s质点N第一次到达平衡位置，结合题图可知此段时间内波沿x轴负方向传播了3 m－2.5 m＝0.5 m＝eq \f(1,8)λ，则0.25 s＝eq \f(T,8)，则T＝2 s，选项B错误；由图知λ＝4 m，则波速v＝eq \f(λ,T)＝2 m/s，选项C正确；1 s＝eq \f(T,2)，这时质点M的运动方向沿y轴的正方向，选项D错误；1 s＝eq \f(T,2)，0～1 s内，质点N通过的路程sN＝2A＝8 cm，选项E正确。
答案 ACE
4．(多选)A、B两列简谐横波均沿x轴正向传播，在某时刻的波形分别如图3中甲、乙所示，经过时间t(t小于A波的周期TA)，这两列简谐横波的波形分别变为图中丙、丁所示，则A、B两列波的波速vA、vB之比可能是( )
图3
A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2
D．3∶1 E．1∶3
解析 由题图读出，A波波长为λA＝24 cm，甲图到丙图一定相隔半个周期，所以周期TA＝2t；B波波长为λB＝12 cm，乙图与丁图的波形图相同，经过的时间一定是整数个周期，所以周期TB＝eq \f(t,n)(n＝1，2，3，…)，波速vA＝eq \f(λA,TA)＝eq \f(0.24,2t)＝eq \f(0.12,t)，vB＝eq \f(λB,TB)＝eq \f(0.12,\f(t,n))＝eq \f(0.12n,t)，得到vA∶vB＝1∶n，所以A、B两列波的波速vA、vB之比可能是A、C、E，不可能是B、D。
答案 ACE
5．(多选) (2019·山东青岛模拟)如图4所示为某时刻的两列简谐横波在同一介质中沿相同方向传播的波形图，此时a波上某质点P的运动方向如图所示，则下列说法正确的是 ( )
图4
A．两列波具有相同的波速
B．此时b波上的质点Q正向上运动
C．一个周期内，Q质点沿x轴前进的距离是P质点的1.5倍
D．在P质点完成30次全振动的时间内Q质点可完成20次全振动
E．a波和b波在空间相遇处会产生稳定的干涉图样
解析 机械波的传播速度由介质决定，故波速相同，A正确；由质点P的振动方向可知，波沿x轴负方向传播，故质点Q正向上振动，B正确；质点Q和P沿y轴方向振动，并不沿x轴运动，C错误；由波的图象可知，a波波长是b波波长的eq \f(2,3)，根据v＝λf可知a波的频率应是b波频率的eq \f(3,2)，D正确；a、b两波的频率不同，所以在空间相遇不会产生稳定的干涉图样，E错误。
答案 ABD
6．(多选)某横波在介质中沿x轴传播，图5甲为t＝0.75 s时的波形图，图乙为P点(x＝1.5 m处的质点)的振动图象，那么下列说法正确的是( )
图5
A．该波向左传播，波速为2 m/s
B．质点L与质点N的运动方向总是相反
C．t＝1.0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴正方向运动
D．在0.5 s时间内，质点P向右运动了1 m
E．若该波波长越大，则容易发生明显的衍射现象
解析 由乙图可知T＝2 s，且P质点在0.75 s时向y轴负方向运动，结合甲图可知该波向左传播，由图甲知λ＝4 m，则波速v＝eq \f(λ,T)＝2 m/s，选项A正确；由图甲可知，质点L和质点N的平衡位置相距eq \f(1,2)λ，则质点L与质点N的运动方向总是相反，选项B正确；由图乙可知t＝1.0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴负方向运动，选项C错误；波动过程中各质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移，选项D错误；由发生明显衍射现象的条件可知，选项E正确。
答案 ABE
7．(多选)(2019·福建南平适应性考试)一列简谐波沿x轴传播，t＝0时刻的波形图如图6甲中实线所示，t＝1.1 s时刻的波形如图甲中虚线所示，图乙是该波中某质点的振动图象，则以下说法正确的是( )
图6
A．波的传播速度为10 m/s
B．波沿x轴正方向传播
C．图乙可能是x＝2 m处质点的振动图象
D．x＝1.5 m处的质点在t＝0.15 s时处于波谷位置
E．x＝1.5 m处的质点经0.6 s通过的路程为30 cm
解析 波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(4,0.4) m/s＝10 m/s，选项A正确；0～1.1 s内波沿传播方向传播11 m，11 m＝2λ＋3 m，因此波沿x轴负方向传播，选项B错误；x＝2 m处的质点在t＝0时刻在平衡位置向下运动，选项C错误；0～0.15 s内波沿x轴负方向传播1.5 m，因此x＝1.5 m处的质点在t＝0.15 s的状态与x＝3 m处质点在t＝0时刻状态相同，处于波谷位置，选项D正确；0.6 s＝1eq \f(1,2)T，x＝1.5 m处质点经0.6 s通过的路程为六个振幅，即为30 cm，选项E正确。
答案 ADE
综合提能练
8．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，如图7所示实线为t＝0时刻的波形图，该时刻振动恰好传到横坐标为60 m 的P点，a、b为波传播方向上的两质点，b质点的横坐标为70 m；再过1.2 s振动恰好传到横坐标为90 m的Q点，虚线所示为t＝0时刻后某时刻的波形，则下列说法正确的是 ( )
图7
A．这列波的周期为1.6 s
B．这列波的波速为50 m/s
C．振动传到Q点时，b质点位于平衡位置且沿y轴负方向运动
D．t＝2 s时刻，a质点在y＝－5 cm位置且沿y轴负方向运动
E．虚线所示波形可能是t＝6 s时刻的波形
解析 振动传播的速度即为波速，v＝eq \f(x,t)＝25 m/s，选项B错误；由题图知波长为40 m，周期T＝eq \f(λ,v)＝1.6 s，选项A正确；振动传到Q点时，b质点振动时间为半个周期，各质点均沿y轴正方向起振，因此当振动传到Q点时，b质点位于平衡位置且沿y轴负方向运动，选项C正确；t＝0时刻a质点沿y轴正方向运动，经过半个周期第一次到达y＝－5 cm位置且沿y轴负方向运动，因此在t＝2 s＝1eq \f(1,4)T 时刻a质点不在y＝5 cm位置，选项D错误；波沿x轴正方向传播，虚线是t＝(n＋eq \f(3,4))T(n＝1，2，3，…)时刻的波形，n＝3时，t＝6 s，选项E正确。
答案 ACE
9．一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10 cm。O和A是介质中平衡位置分别位于x＝0和x＝5 cm 处的两个质点。t＝0时开始观测，此时质点O的位移为y＝4 cm，质点A处于波峰位置；t＝eq \f(1,3) s时，质点O第一次回到平衡位置，t＝1 s时，质点A第一次回到平衡位置。求：
(ⅰ)简谐波的周期、波速和波长；
(ⅱ)质点O的位移随时间变化的关系式。
解析 (ⅰ)设振动周期为T，由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是eq \f(1,4)个周期，由此可知T＝4 s
由于质点O与A的距离5 cm小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在t＝eq \f(1,3) s时回到平衡位置，而A在t＝1 s时回到平衡位置，时间相差eq \f(2,3) s。两质点平衡位置的距离除以传播时间，可得波的速度v＝7.5 cm/s
利用波长、波速和周期的关系得，简谐波的波长
λ＝30 cm
(ⅱ)设质点O的位移随时间变化的关系为
y＝Asin(ωt＋φ)，其中A＞0，
ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2)
当t＝0时，y＝Asin φ＝4 cm
当t＝eq \f(1,3) s时，y＝Asin(eq \f(π,6)＋φ)＝0
联立解得φ＝eq \f(5,6)π，A＝8 cm
所以质点O的位移随时间变化的关系式为
y＝8sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(5,6)π) cm
答案 (ⅰ)4 s 7.5 cm/s 30 cm
(ⅱ)y＝8sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(5,6)π) cm
10．如图8 a所示，一简谐横波沿A、B两点的连线向右传播，A、B两点相距5 m，其振动图象如图b所示，实线为A点的振动图象，虚线为B点的振动图象。
图8
(1)求该波的波长；
(2)求该波的最大传播速度。
解析 (1)根据振动图象可知质点A在坐标原点，且向上振动，而此时质点B在振幅一半的位置处且向上振动，从题图b中可知振动周期为T＝1.0 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝2π rad/s
相应质点B的振动方程为y＝Asin 2π(t－t0)(其中t0<0.25 s)
当t＝0时，将图b中的数据信息代入得
5 cm＝10 cm·sin(－2πt0)
解得t0＝eq \f(11,12) s，即t0＝eq \f(11,12)T
则根据题意可得A、B两点之间的距离为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(11,12)))λ＝5 m(n＝0，1，2，3，…)
则λ＝eq \f(60,12n＋11) m (n＝0，1，2，3，…)
(2)当n＝0时，根据λ＝eq \f(60,12n＋11) m可知波长最大，根据v＝eq \f(λmax,T)，得机械波的最大速度为v＝eq \f(λmax,T)＝eq \f(60,11) m/s＝5.45 m/s
答案 (1)eq \f(60,12n＋11) m (n＝0，1，2，3，…) (2)eq \f(60,11) m/s(或5.45 m/s)
定义
机械振动在介质中的传播形成机械波
产生条件
(1)波源；(2)介质
形成原因
介质中的质点受波源或邻近质点的驱动做受迫振动
分类
横波
振动方向与传播方向垂直的波，如绳波
纵波
振动方向与传播方向平行的波，如声波
波的干涉
波的衍射
条件
两列波的频率必须相同
明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
现象
形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样
波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
内容
图象
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
周期性
(1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
(2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定。
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定。
波形的
隐含性
问题中，只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，波形就有多种情况。
距离之差Δr
波源步调
Δr＝nλ
(n＝0，1，2，…)
Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)
(n＝0，1，2，…)
步调一致
振动加强
振动减弱
步调相反
振动减弱
振动加强
知识排查
机械波 横波和纵波
波速、波长和频率的关系
1.波长λ：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
2．频率f：与波源的振动频率相等。
3．波速v：波在介质中的传播速度。
4．波速与波长和频率的关系：v＝λf。
波的图象
1.坐标轴的意义：横坐标表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。
2．图象的物理意义：某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。
图1
波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的干涉和衍射
2.多普勒效应
(1)条件：波源和观察者之间有相对运动。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。
(3)实质：波源频率不变，观察者接收到的频率变化。
小题速练
1．(多选)关于机械振动与机械波，下列说法正确的是( )
A．机械波的频率等于振源的振动频率
B．机械波的传播速度与振源的振动速度相等
C．质点振动的方向总是垂直于波传播的方向
D．在一个周期内，沿着波的传播方向，振动在介质中传播一个波长的距离
E．机械波在介质中传播的速度由介质本身决定
解析 机械波的频率是振源的振动频率，故A正确；机械波的传播速度与振源的振动速度无关，故B错误；机械波分横波与纵波，纵波的质点振动方向与波的传播方向在同一条直线上，故C错误；由v＝eq \f(λ,T)可知，在一个周期内沿着波的传播方向，振动在介质中传播一个波长的距离，故D正确；机械波在介质中传播的速度由介质本身决定，故E正确。
答案 ADE
2．(多选)如图2所示为一横波在某时刻的波形图，已知质点F此时运动方向如图，则( )
图2
A．波向左传播
B．质点H与质点F的运动方向相同
C．质点C比质点B先回到平衡位置
D．此时质点C的加速度为零
E．此时速度大小最大的质点是A、E、I
解析 由“上下坡法”可得，选项A正确；质点H与质点F的运动方向相反，选项B错误；质点B运动方向向上，因此质点C比质点B先回到平衡位置，选项C正确；此时质点C的加速度最大，速度为零，选项D错误；平衡位置处质点速度最大，选项E正确。
答案 ACE
3.(多选)关于机械波的特性，下列说法正确的是( )
A．只有波长比障碍物的尺寸小或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象
B．火车鸣笛时向我们驶来，听到的笛声频率将比声源发出的频率高
C．向人体内发射频率已知的超声波被血管中的血液反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血液的速度，这种方法应用的是多普勒效应
D．当观察者背离波源运动，接收到的波的频率小于波源的频率
E．只要是性质相同的波，都可以发生干涉
解析 只有障碍物的尺寸比波长小或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象，A错误；根据多普勒效应，火车鸣笛时向我们驶来，听到的笛声频率将比声源发出的频率高，B正确；向人体内发射频率已知的超声波被血管中的血液反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血液的速度，这种方法应用的是多普勒效应，C正确；根据多普勒效应，当观察者向波源运动，接收到的波的频率大于波源的频率，当观察者背离波源运动，接收到的波的频率小于波源的频率，D正确；只有在同一介质中传播的频率相同的同类波，才能发生干涉，E错误。
答案 BCD
波的传播与图象
波动图象的信息(如图3所示) (1)直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。
图3
(2)确定某时刻各质点加速度的方向，并能比较其大小。
(3)结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。
2．波的传播过程中的特点
(1)振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝eq \f(λ,T)＝λf。
(2)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变。
(3)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0，1，2，3…)时，它们的振动步调总相反。
(4)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
【例1】 (多选) [2018·全国卷Ⅲ，34(1)]一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0和t＝0.20 s时的波形分别如图4中实线和虚线所示。已知该波的周期T>0.20 s。下列说法正确的是( )
图4
A．波速为0.40 m/s
B．波长为0.08 m
C．x＝0.08 m的质点在t＝0.70 s时位于波谷
D．x＝0.08 m的质点在t＝0.12 s时位于波谷
E．若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s，则它在该介质中的波长为0.32 m
解析 根据波形图可知，波长λ＝16 cm＝0.16 m，选项B错误；根据t＝0时刻和t＝0.20 s时刻的波形图和该波的周期T>0.20 s可知，该波的周期T＝0.40 s，波速v＝eq \f(λ,T)＝0.40 m/s，选项A正确；简谐波沿x轴正方向传播，x＝0.08 m 的质点在t＝0时刻沿y轴正方向振动，在t＝0.70 s 时位于波谷，在t＝0.12 s时位于y>0的某位置，不是位于波谷，选项C正确，D错误；若此波传入另一介质中，周期T不变，其波速变为v′＝0.80 m/s，由λ′＝v′T可得它在该介质中的波长为λ′＝0.80×0.40 m＝0.32 m，选项E正确。
答案 ACE
波的传播方向与质点振动方向的互判方法
1．[2018·全国卷Ⅱ，34(1)]声波在空气中的传播速度为340 m/s，在钢铁中的传播速度为4 900 m/s。一平直桥由钢铁制成，某同学用锤子敲击一下桥的一端发出声音，分别经空气和桥传到另一端的时间之差为1.00 s。桥的长度为________ m。若该声波在空气中的波长为λ，则它在钢铁中的波长为λ的________倍。
解析 设声波在钢铁中的传播时间为t1、传播速度为v1，在空气中的传播时间为t2、传播速度为v2，桥长为l，则l＝v1t1＝v2t2，而t2－t1＝1.00 s，代入数据解得l≈365 m。又λ＝eq \f(v,f)，声波频率不变，所以eq \f(λ钢,λ空)＝eq \f(v1,v2)，得λ钢＝eq \f(v1,v2)λ空＝eq \f(245,17)λ。
答案 365 eq \f(245,17)
2．(多选)在某一均匀介质中由波源O发出的简谐横波在x轴上传播，某时刻的波形如图5，其波速为5 m/s，则下列说法正确的是( )
图5
A．此时P(－2 m，0)、Q(2 m，0)两点运动方向相同
B．再经过0.5 s质点N刚好在(－5 m，20 cm)位置
C．能与该波发生干涉的横波的频率一定为3 Hz
D．波的频率与波源的振动频率无关
E．从图示时刻开始，Q点的振动方程可以表示为y＝－20sin(5πt) cm
解析 由同侧法可得P、Q两点振动方向均为y轴负方向，所以A正确；由题图知λ＝2 m，由v＝eq \f(λ,T)得T＝eq \f(λ,v)＝0.4 s，t＝0.5 s时，0.5 s＝eq \f(5,4)T，由平移法可得波再传播eq \f(5,4)λ，N处于波峰，B正确；因该波的频率f＝eq \f(1,T)＝2.5 Hz，所以与频率为3 Hz的横波不满足干涉条件，C错误；因波源振动一个周期波传播一个波长的距离，故波的频率与波源的振动频率相同，D错误；从图示时刻开始，Q点的振动方程可以表示为y＝－20sin(5πt) cm，E正确。
答案 ABE
振动图象和波的图象的关联分析
求解波动图象与振动图象综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
【例2】 [2018·全国卷Ⅰ，34(2)]一列简谐横波在t＝eq \f(1,3) s时的波形图如图6(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)是质点Q的振动图象。求
图6
(ⅰ)波速及波的传播方向；
(ⅱ)质点Q的平衡位置的x坐标。
解析 (ⅰ)由图(a)可以看出，该波的波长为λ＝36 cm①
由图(b)可以看出，周期为T＝2 s②
波速为v＝eq \f(λ,T)＝18 cm/s③
由图(b)知，当t＝eq \f(1,3) s时，质点Q向上运动，结合图(a)可得，波沿x轴负方向传播。
(ⅱ)设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ。由图(a)知，x＝0处y＝－eq \f(A,2)＝Asin(－30°)，
因此xP＝eq \f(30°,360°)λ＝3 cm④
由图(b)知，在t＝0时，质点Q处于平衡位置，经Δt＝eq \f(1,3) s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，由此及③式有xQ－xP＝vΔt＝6 cm⑤
由④⑤式得，质点Q的平衡位置的x坐标为
xQ＝9 cm⑥
答案 (ⅰ)18 cm/s 波沿x轴负方向传播 (ⅱ)9 cm
1．(多选)图7甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为媒质中平衡位置在x＝1.5 m处的质点的振动图象，P是平衡位置为x＝2 m的质点，下列说法正确的是( )
图7
A．波速为0.5 m/s
B．波的传播方向向右
C．0～2 s时间内，P运动的路程为8 cm
D．0～2 s时间内，P向y轴正方向运动
E．当t＝7 s时，P恰好回到平衡位置
解析 由图甲可知该简谐横波波长为2 m，由图乙知周期为4 s，则波速为v＝eq \f(λ,T)＝0.5 m/s，故A正确；根据图乙的振动图象可知，在x＝1.5 m处的质点在t＝2 s时振动方向向下，所以该波向左传播，故B错误；由于t＝2 s时，质点P在波谷，且2 s＝0.5T，所以质点P运动的路程为2 A＝8 cm，故C正确；由于该波向左传播，由图甲可知t＝2 s时，质点P已经在波谷。所以可知0～2 s时间内，P向y轴负方向运动，故D错误；当t＝7 s时，Δt＝5 s＝1eq \f(1,4)T，P恰好回到平衡位置，故E正确。
答案 ACE
2．如图8甲所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，已知x＝1 m处的质点做简谐运动的图象如图乙所示。
图8
(ⅰ)写出x＝1 m处的质点做简谐运动的函数关系式；
(ⅱ)从t＝0开始经过多长时间质点P开始振动？求出在0～20 s内质点P运动的路程。
解析 (ⅰ)由题图乙可知，振幅A＝2 cm，质点做简谐运动的周期为T＝4 s
x＝1 m处的质点做简谐运动的函数关系式为
y＝2sin(eq \f(π,2)t) cm
(ⅱ)波运动的周期为T＝4 s
由题图甲可知波长λ＝2 m
波速v＝eq \f(λ,T)＝0.5 m/s
由题图甲可知x＝2 m处的质点在t＝0时刚好开始沿
y轴负方向振动，设P点再过时间Δt开始振动，
则Δt＝eq \f(Δx,v)＝6 s
即从t＝0开始经过6 s时间质点P开始振动
由简谐运动的对称性可知，质点在任意一个全振动过程中的路程
s0＝4A＝8 cm
P点开始振动后，14 s内经历了3.5次全振动
所以在0～20 s内质点P运动的路程为s＝3.5s0＝28 cm
答案 (ⅰ)y＝2sin(eq \f(π,2)t) cm (ⅱ)6 s 28 cm
波的多解问题
造成波动问题多解的主要因素有
【例3】 (多选)(2018·宜宾二诊)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图9中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点，则以下说法正确的是( )
图9
A．这列波的波速可能为50 m/s
B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm
C．若有另一周期为0.16 s的简谐横波与此波相遇，能产生稳定的干涉现象
D．若T＝0.8 s，当t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移相同
E．若T＝0.8 s，从t＋0.4 s时刻开始计时，质点c的振动方程为y＝0.1sin(2.5πt) m
解析 由图可知，波的波长为40 m，两列波相距0.6 s＝(n＋eq \f(3,4))T，故周期T＝eq \f(2.4,4n＋3) s，波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(40,2.4)×(4n＋3) m/s＝(eq \f(200,3)n＋50) m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，当v＝50 m/s时，故A正确；质点a在平衡位置附近上下振动，振动的最少时间为eq \f(3,4)T，故路程最小为3A，即30 cm，故B错误；当n＝3时，T＝0.16 s，故若有另一周期为0.16 s的简谐波与此波相遇，能产生稳定的干涉现象，选项C正确；因波沿x轴正方向传播，所以在t时刻质点P是向上振动的，T＝0.8 s，经0.5 s后，P是正在向下振动(负位移)，是经过平衡位置后向下运动0.1 s；而质点b是正在向上振动的(负位移)，是到达最低点后向上运动0.1 s，因为0.2 s等于eq \f(T,4)，可见此时两个质点的位移是相同的，故D正确；若T＝0.8 s，当t＋0.4 s时质点c在上端最大位移处，据ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.8) rad/s＝2.5π rad/s，据图知A＝0.1 m，当从t＋0.4 s时刻开始计时，则质点c的振动方程为y＝0.1cs(2.5πt) m，故E错误。
答案 ACD
1．解决波的多解问题的思路：一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2…)。
2．求解波的多解问题的一般思路
(1)根据初末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式。
(2)根据题设条件判断是唯一解还是多解。
(3)根据波速公式v＝eq \f(Δx,Δt)或v＝eq \f(λ,T)＝λf求波速。
1. (多选)如图10所示为一列向左传播的横波的图象，图中实线表示t时 刻的波形，虚线表示又经Δt＝0.2 s时刻的波形，已知波长为2 m，下列说法正确的是( )
图10
A．波的周期的最大值为2 s
B．波的周期的最大值为eq \f(2,9) s
C．波的速度的最小值为9 m/s
D．这列波不能发生偏振现象
E．这列波遇到直径r＝1 m的障碍物会发生明显的衍射现象
解析 0.2 m＝eq \f(1,10)λ，因波向左传播，则由图象可知波向左传播的距离为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(9,10)))λ(n＝0、1、2…)，所以0.2 s＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(9,10)))T(n＝0、1、2…)，n＝0时，周期最大，最大值为Tm＝eq \f(2,9) s，波速最小，最小值为vmin＝eq \f(λ,Tm)＝9 m/s，所以选项A错误，B、C正确；横波可以发生偏振现象，选项D错误；因为障碍物的直径r＝1 m<λ＝2 m，则这列波遇到此障碍物可以发生明显的衍射现象，选项E正确。
答案 BCE
2．(多选)如图11所示，有一列减幅传播的简谐横波，x＝0与x＝75 m处的A、B两个质点的振动图象分别如图中实线与虚线所示。则这列波的( )
图11
A．A点处波长是10 cm，B点处波长是5 cm
B．周期一定都是2×10－2 s
C．t＝0.012 5 s时刻，两质点的振动速度方向相反
D．传播速度一定是600 m/s
E．A质点的振幅是B质点的振幅的2倍
解析 由A、B两质点的振动图象可知两质点的周期均为2×10－2 s，所以选项B正确；再由振动图象知t＝0时，质点A在平衡位置且向上振动，B处在波峰，则有75 m＝eq \f(3,4)λ＋nλ(n＝0、1、2…)，解得λ＝eq \f(300,4n＋3) m(n＝0、1、2、3…)，所以选项A错误；在t＝0.012 5 s＝eq \f(5,8)T时，质点A向下振动，B向上振动，所以选项C正确；波的传播速度v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(15 000,4n＋3) m/s(n＝0、1、2、3…)，有多种可能，选项D错误；由图可知质点A的振幅为10 cm，质点B的振幅为5 cm，所以选项E正确。
答案 BCE
波的干涉、衍射、多普勒效应
1．波的干涉中振动加强点和减弱点的判断：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
2.波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
3.多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。当波以速度v通过观察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝eq \f(vt,λ)，因而单位时
间内通过观察者的完全波的个数，就是接收频率。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)如12图(a)，在xy平面内有两个沿z方向做简谐振动的点波源S1(0，4)和S2(0，－2)。两波源的振动图线分别如图(b)和图(c)所示。两列波的波速均为1.00 m/s。两列波从波源传播到点A(8，－2)的路程差为________m，两列波引起的点B(4，1)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)，点C(0，0.5)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)。
图12
解析 由几何关系可知两波源到A点的距离为AS1＝10 m，AS2＝8 m，所以两波的路程差为2 m；同理可得，BS1－BS2＝0，为波长的整数倍，由振动图象知两振源振动方向相反，故B点振动减弱；两波源到C点的路程差为Δx＝CS1－CS2＝1 m，波长λ＝vT＝2 m，所以C点振动加强。
答案 2 减弱 加强
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．发生多普勒效应时，波源的频率变化了
B．发生多普勒效应时，观察者接收到的频率发生了变化
C．多普勒效应是在波源和观察者之间有相对运动时发生的
D．多普勒效应是由奥地利物理学家多普勒首先发现的
E．当观察者向波源靠近时，观察到波的频率变小
解析 当波源与观察者之间有相对运动时，会发生多普勒效应，C正确；发生多普勒效应时是观察者接收到的频率发生了变化，而波源的频率没有变化，A错误，B正确；由物理学史实知，D正确；当观察者向波源靠近时，会观察到波的频率变大，E错误。
答案 BCD
2．(多选)如图13所示，实线与虚线分别表示振幅、频率均相同的两列简谐横波的波峰和波谷，此刻，M是波峰与波峰的相遇点。设这两列波的振幅均为A，则下列说法正确的是( )
图13
A．此时刻位于O处的质点正处于平衡位置
B．P、N两处的质点始终处在平衡位置
C．随着时间的推移，M处的质点将向O处移动
D．从此时刻起，经过四分之一周期，M处的质点到达平衡位置，此时位移为零
E．O、M连线的中点是振动加强的点，其振幅为2A
解析 此时刻位于O处的质点正处于波谷与波谷的相遇点，不在平衡位置，选项A错误；P、N两处的质点处于波峰和波谷的相遇点，两列波在这两处的位移始终相反，合位移为0，选项B正确；质点并不随波迁移，选项C错误；从此时刻起，经过四分之一周期，两列波在M点的振动均达到平衡位置，合位移为零，选项D正确；O、M连线的中点是振动加强区的点，其振幅为2A，选项E正确。
答案 BDE
3．(多选)图14甲为某一简谐波在t＝0时刻的波形图，图乙为图甲中平衡位置位于x＝2 m处的质点B的振动图象，质点C的平衡位置位于x＝4 m处。则下列说法正确的是( )
图14
A．该简谐波沿x轴负方向传播，其波速v＝4 m/s
B．在0～3.5 s时间内，质点B运动的路程为3.5 m
C．在t＝2 s时刻，质点C恰好经过平衡位置向y轴正方向运动
D．要使该波能够发生明显的衍射，则障碍物的尺寸应远大于4 m
E．若该波能与另一列波发生稳定的干涉，则另一列波的频率为0.5 Hz
解析 由题图乙质点B的振动图象可知，t＝0时刻，质点B的振动方向为沿y轴负方向，对照题图甲，可知该简谐波沿x轴正方向传播，由题图甲可知简谐波的波长为λ＝4 m，由题图乙可知，波的周期为T＝2 s，其波速v＝eq \f(λ,T)＝2 m/s，选项A错误；在0～3.5 s时间内，质点B运动路程为s＝7A＝7×0.5 m＝3.5 m，选项B正确；在t＝2 s时刻，质点C经过一个周期恰好经过平衡位置向y轴正方向运动，选项C正确；要使该波能够发生明显的衍射，则障碍物的尺寸应小于4 m或与4 m差不多，选项D错误；若该波能与另一列波发生稳定的干涉，则另一列波的周期应为2 s，频率为0.5 Hz，选项E正确。
答案 BCE
课时作业
(时间：40分钟)
基础巩固练
1．(多选)[2016·全国卷Ⅰ，34(1)]某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近。该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s。下列说法正确的是( )
A．水面波是一种机械波
B．该水面波的频率为6 Hz
C．该水面波的波长为3 m
D．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去
E．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移
解析 水面波是机械振动在水面上的传播，是一种典型的机械波，选项A正确；从第一个波峰到第十个波峰中经历了九个波形，时间间隔为15秒，所以其振动周期为T＝eq \f(15,9) s＝eq \f(5,3) s，频率为0.6 Hz，选项B错误；其波长λ＝vT＝1.8 m/s×eq \f(5,3) s＝3 m，选项C正确；水中的质点都上下振动，不随波迁移，但是能量随着波的向前传播而传递出去，选项D错误，E正确。
答案 ACE
2．(多选)[2017·全国卷Ⅲ，34(1)]如图1，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s 时的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5 s。关于该简谐波，下列说法正确的是( )
图1
A．波长为2 m
B．波速为6 m/s
C．频率为1.5 Hz
D．t＝1 s时，x＝1 m处的质点处于波峰
E．t＝2 s时，x＝2 m处的质点经过平衡位置
解析 由波形图可知，波长λ＝4 m，故选项A错误；横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图。又该简谐波的周期大于0.5 s，波传播的距离Δx＝eq \f(3,4)λ，eq \f(3,4)T＝0.5 s，故周期T＝eq \f(2,3) s，频率为1.5 Hz，波速v＝λf＝6 m/s，故选项B、C正确；t＝1 s＝eq \f(3,2)T 时，x＝1 m处的质点处于波谷位置，故选项D错误；t＝2 s＝3T时，x＝2 m处的质点正经过平衡位置向上运动，故选项E正确。
答案 BCE
3．(多选)沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图2所示，两质点M、N的横坐标分别为x1＝1.5 m 和x2＝2.5 m，t＝0时刻质点M的运动方向沿y轴的负方向。若从t＝0时刻开始，经0.25 s质点N第一次到达平衡位置，则( )
图2
A．该列波沿x轴负方向传播
B．该列波的周期为1 s
C．该列波的波速为2 m/s
D．1 s末，质点M的运动方向沿y轴的负方向
E. 0～1 s内，质点N通过的路程等于8 cm
解析 由t＝0时刻质点M的运动方向沿y轴的负方向，可知该列波沿x轴负方向传播，选项A正确；因经0.25 s质点N第一次到达平衡位置，结合题图可知此段时间内波沿x轴负方向传播了3 m－2.5 m＝0.5 m＝eq \f(1,8)λ，则0.25 s＝eq \f(T,8)，则T＝2 s，选项B错误；由图知λ＝4 m，则波速v＝eq \f(λ,T)＝2 m/s，选项C正确；1 s＝eq \f(T,2)，这时质点M的运动方向沿y轴的正方向，选项D错误；1 s＝eq \f(T,2)，0～1 s内，质点N通过的路程sN＝2A＝8 cm，选项E正确。
答案 ACE
4．(多选)A、B两列简谐横波均沿x轴正向传播，在某时刻的波形分别如图3中甲、乙所示，经过时间t(t小于A波的周期TA)，这两列简谐横波的波形分别变为图中丙、丁所示，则A、B两列波的波速vA、vB之比可能是( )
图3
A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2
D．3∶1 E．1∶3
解析 由题图读出，A波波长为λA＝24 cm，甲图到丙图一定相隔半个周期，所以周期TA＝2t；B波波长为λB＝12 cm，乙图与丁图的波形图相同，经过的时间一定是整数个周期，所以周期TB＝eq \f(t,n)(n＝1，2，3，…)，波速vA＝eq \f(λA,TA)＝eq \f(0.24,2t)＝eq \f(0.12,t)，vB＝eq \f(λB,TB)＝eq \f(0.12,\f(t,n))＝eq \f(0.12n,t)，得到vA∶vB＝1∶n，所以A、B两列波的波速vA、vB之比可能是A、C、E，不可能是B、D。
答案 ACE
5．(多选) (2019·山东青岛模拟)如图4所示为某时刻的两列简谐横波在同一介质中沿相同方向传播的波形图，此时a波上某质点P的运动方向如图所示，则下列说法正确的是 ( )
图4
A．两列波具有相同的波速
B．此时b波上的质点Q正向上运动
C．一个周期内，Q质点沿x轴前进的距离是P质点的1.5倍
D．在P质点完成30次全振动的时间内Q质点可完成20次全振动
E．a波和b波在空间相遇处会产生稳定的干涉图样
解析 机械波的传播速度由介质决定，故波速相同，A正确；由质点P的振动方向可知，波沿x轴负方向传播，故质点Q正向上振动，B正确；质点Q和P沿y轴方向振动，并不沿x轴运动，C错误；由波的图象可知，a波波长是b波波长的eq \f(2,3)，根据v＝λf可知a波的频率应是b波频率的eq \f(3,2)，D正确；a、b两波的频率不同，所以在空间相遇不会产生稳定的干涉图样，E错误。
答案 ABD
6．(多选)某横波在介质中沿x轴传播，图5甲为t＝0.75 s时的波形图，图乙为P点(x＝1.5 m处的质点)的振动图象，那么下列说法正确的是( )
图5
A．该波向左传播，波速为2 m/s
B．质点L与质点N的运动方向总是相反
C．t＝1.0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴正方向运动
D．在0.5 s时间内，质点P向右运动了1 m
E．若该波波长越大，则容易发生明显的衍射现象
解析 由乙图可知T＝2 s，且P质点在0.75 s时向y轴负方向运动，结合甲图可知该波向左传播，由图甲知λ＝4 m，则波速v＝eq \f(λ,T)＝2 m/s，选项A正确；由图甲可知，质点L和质点N的平衡位置相距eq \f(1,2)λ，则质点L与质点N的运动方向总是相反，选项B正确；由图乙可知t＝1.0 s时，质点P处于平衡位置，并正在往y轴负方向运动，选项C错误；波动过程中各质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移，选项D错误；由发生明显衍射现象的条件可知，选项E正确。
答案 ABE
7．(多选)(2019·福建南平适应性考试)一列简谐波沿x轴传播，t＝0时刻的波形图如图6甲中实线所示，t＝1.1 s时刻的波形如图甲中虚线所示，图乙是该波中某质点的振动图象，则以下说法正确的是( )
图6
A．波的传播速度为10 m/s
B．波沿x轴正方向传播
C．图乙可能是x＝2 m处质点的振动图象
D．x＝1.5 m处的质点在t＝0.15 s时处于波谷位置
E．x＝1.5 m处的质点经0.6 s通过的路程为30 cm
解析 波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(4,0.4) m/s＝10 m/s，选项A正确；0～1.1 s内波沿传播方向传播11 m，11 m＝2λ＋3 m，因此波沿x轴负方向传播，选项B错误；x＝2 m处的质点在t＝0时刻在平衡位置向下运动，选项C错误；0～0.15 s内波沿x轴负方向传播1.5 m，因此x＝1.5 m处的质点在t＝0.15 s的状态与x＝3 m处质点在t＝0时刻状态相同，处于波谷位置，选项D正确；0.6 s＝1eq \f(1,2)T，x＝1.5 m处质点经0.6 s通过的路程为六个振幅，即为30 cm，选项E正确。
答案 ADE
综合提能练
8．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，如图7所示实线为t＝0时刻的波形图，该时刻振动恰好传到横坐标为60 m 的P点，a、b为波传播方向上的两质点，b质点的横坐标为70 m；再过1.2 s振动恰好传到横坐标为90 m的Q点，虚线所示为t＝0时刻后某时刻的波形，则下列说法正确的是 ( )
图7
A．这列波的周期为1.6 s
B．这列波的波速为50 m/s
C．振动传到Q点时，b质点位于平衡位置且沿y轴负方向运动
D．t＝2 s时刻，a质点在y＝－5 cm位置且沿y轴负方向运动
E．虚线所示波形可能是t＝6 s时刻的波形
解析 振动传播的速度即为波速，v＝eq \f(x,t)＝25 m/s，选项B错误；由题图知波长为40 m，周期T＝eq \f(λ,v)＝1.6 s，选项A正确；振动传到Q点时，b质点振动时间为半个周期，各质点均沿y轴正方向起振，因此当振动传到Q点时，b质点位于平衡位置且沿y轴负方向运动，选项C正确；t＝0时刻a质点沿y轴正方向运动，经过半个周期第一次到达y＝－5 cm位置且沿y轴负方向运动，因此在t＝2 s＝1eq \f(1,4)T 时刻a质点不在y＝5 cm位置，选项D错误；波沿x轴正方向传播，虚线是t＝(n＋eq \f(3,4))T(n＝1，2，3，…)时刻的波形，n＝3时，t＝6 s，选项E正确。
答案 ACE
9．一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10 cm。O和A是介质中平衡位置分别位于x＝0和x＝5 cm 处的两个质点。t＝0时开始观测，此时质点O的位移为y＝4 cm，质点A处于波峰位置；t＝eq \f(1,3) s时，质点O第一次回到平衡位置，t＝1 s时，质点A第一次回到平衡位置。求：
(ⅰ)简谐波的周期、波速和波长；
(ⅱ)质点O的位移随时间变化的关系式。
解析 (ⅰ)设振动周期为T，由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是eq \f(1,4)个周期，由此可知T＝4 s
由于质点O与A的距离5 cm小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在t＝eq \f(1,3) s时回到平衡位置，而A在t＝1 s时回到平衡位置，时间相差eq \f(2,3) s。两质点平衡位置的距离除以传播时间，可得波的速度v＝7.5 cm/s
利用波长、波速和周期的关系得，简谐波的波长
λ＝30 cm
(ⅱ)设质点O的位移随时间变化的关系为
y＝Asin(ωt＋φ)，其中A＞0，
ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2)
当t＝0时，y＝Asin φ＝4 cm
当t＝eq \f(1,3) s时，y＝Asin(eq \f(π,6)＋φ)＝0
联立解得φ＝eq \f(5,6)π，A＝8 cm
所以质点O的位移随时间变化的关系式为
y＝8sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(5,6)π) cm
答案 (ⅰ)4 s 7.5 cm/s 30 cm
(ⅱ)y＝8sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(5,6)π) cm
10．如图8 a所示，一简谐横波沿A、B两点的连线向右传播，A、B两点相距5 m，其振动图象如图b所示，实线为A点的振动图象，虚线为B点的振动图象。
图8
(1)求该波的波长；
(2)求该波的最大传播速度。
解析 (1)根据振动图象可知质点A在坐标原点，且向上振动，而此时质点B在振幅一半的位置处且向上振动，从题图b中可知振动周期为T＝1.0 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝2π rad/s
相应质点B的振动方程为y＝Asin 2π(t－t0)(其中t0<0.25 s)
当t＝0时，将图b中的数据信息代入得
5 cm＝10 cm·sin(－2πt0)
解得t0＝eq \f(11,12) s，即t0＝eq \f(11,12)T
则根据题意可得A、B两点之间的距离为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(11,12)))λ＝5 m(n＝0，1，2，3，…)
则λ＝eq \f(60,12n＋11) m (n＝0，1，2，3，…)
(2)当n＝0时，根据λ＝eq \f(60,12n＋11) m可知波长最大，根据v＝eq \f(λmax,T)，得机械波的最大速度为v＝eq \f(λmax,T)＝eq \f(60,11) m/s＝5.45 m/s
答案 (1)eq \f(60,12n＋11) m (n＝0，1，2，3，…) (2)eq \f(60,11) m/s(或5.45 m/s)
定义
机械振动在介质中的传播形成机械波
产生条件
(1)波源；(2)介质
形成原因
介质中的质点受波源或邻近质点的驱动做受迫振动
分类
横波
振动方向与传播方向垂直的波，如绳波
纵波
振动方向与传播方向平行的波，如声波
波的干涉
波的衍射
条件
两列波的频率必须相同
明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
现象
形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样
波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
内容
图象
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
周期性
(1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
(2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定。
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定。
波形的
隐含性
问题中，只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，波形就有多种情况。
距离之差Δr
波源步调
Δr＝nλ
(n＝0，1，2，…)
Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)
(n＝0，1，2，…)
步调一致
振动加强
振动减弱
步调相反
振动减弱
振动加强
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