2023陕西省西北工业大学附中高一上学期1月期末数学试题含答案

西工大附中2022-2023学年上学期1月期末

高一数学

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

2．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3．已知向量与不共线，且，，若，，三点共线，则实数，应该满足的条件是

A． B． C． D．

4．已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C．－ D．－

5．已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（    ）

A． B．2 C．4 D．8

6．在 中，点 满足 ，则（    ）公众号高中试卷资料下载

A．点 不在直线 上 B．点 在 的延长线上

C．点 在线段 上 D．点 在 的延长线上

7．已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（    ）

A．（1，+∞） B．（-1，1）

C．（-1，+∞） D．（-∞，1）

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．下列函数中，定义域为的函数是（    ）

A． B．

C． D．

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则

11．已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．设函数，对关于的方程，下列说法正确的是（    ）

A．当时，方程有3个实根

B．当时，方程有5个不等实根

C．若方程有2个不等实根，则

D．若方程有6个不等实根，则

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知，则的值为____．

14．已知函数的最小正周期是，且的图象过点，则的图象的对称中心坐标为___________.

15．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________.

16．对任意，一元二次不等式都成立，则实数k的取值范围为______．

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求的最大值和对应的取值；

(3)求在的单调递增区间.

18．在平面直角坐标系中,角的顶点坐标原点,始边为的非负半轴,终边经过点.

(1)求的值;

(2)求的值.

19．已知定义在上的奇函数，在时，且．

(1)求在上的解析式；

(2)若，常数，解关于的不等式．

20．已知函数．

(1)若函数有唯一零点，求实数的取值范围；

(2)若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围．

21．已知函数是奇函数，且.

(1)求a，b的值；

(2)证明函数在上是增函数.

参考答案

1．B

化简集合，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.

，或，

所以.

故选：B

2．D

根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．

∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，

∴0＜cosx≤1，

又sinx＜0，

∴角x为第四象限角，

故选D．

本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．

3．A

试题分析：依题意，，∴，即，求得，故选A.

考点：共线向量定理.

4．C

根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案.

由题意得，,

，

当时，有最小值，

即，

则在上的投影向量为 ，

故选：C

5．C

在三角形中利用数形结合构造关于不等式，解之即可求得的最大值

以向量与为两边作△，，，

则

则在△中，即，

则，当且仅当即时等号成立.

故选：C

6．B

由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论

因为，得，

所以，

所以三点共线，且点 在 的延长线上，

故选：B

7．C

与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求.

因为与同向，所以可设

则有，又因为，，

所以

所以的取值范围是(-1，+∞)，

故选：C.

8．A

根据三角函数的性质及函数的单调性可得函数的值域，再根据高斯函数的定义求出的值域即得.

当时，，，

所以，

当时，单调递减，

所以；

综上，，

所以函数的值域为.

故选：A.

9．AC

根据基本初等函数的定义域逐项分析即得.

对于A， 函数的定义域为，符合题意；

对于B，函数的定义域为，不符合题意

对于C，函数的定义域为，符合题意；

对于D，函数的定义域为R，不符合题意.

故选：AC.

10．AD

通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.

对于A，∵，∴，∴，∴，

∴，∴，故选项A正确；

对于B，当，，，时，有，，

但此时，，，故选项B错误；

对于C，当，，时，有，，

但此时，，，故选项C错误；

对于D，∵，∴，∴，

∴，∴，

由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.

故选：AD.

11．BC

由题意可知，利用特殊值可以排除AD选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC即可.

是第一象限角，且，

当时，

此时，所以A错误；

易知，，所以，

又因为，即，所以，即C正确；

又因为，所以，

因此，即，故B正确；

取，则，所以D不成立.

故选：BC.

12．ABD

根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究的根的个数，对选项逐一判断即可.

由函数可知，图象如下：

对于A，当时，

方程即为，

即，所以

而，由图可知与有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A正确；

对于B，当时，方程为，即

解得或；

时，由图可知与有三个交点，即此时方程有3个不同的实根，

时，由图可知与有两个交点，即此时方程有2个不同的实根；

综合可知，当时，方程有5个不等实根；即B正确；

对于C，令，则方程等价成；

由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况，

①方程只有一根，且

则，即或

由A可知，时不合题意，舍去；

当时，此时，方程只有一根，不合题意；

②方程只有一根，且，

由①知，此时也不符合题意；

③方程有两个不相等的实数根，且或 或

令

若，需满足解得，不合题意；

若，需满足，解得,即

若，需满足，解得，不合题意；

综上可知，若方程有2个不等实根，则；故C错误；

对于D，若方程有6个不等实根，则需满足方程有两个不相等的实数根，且；

则需满足解得

即可得；故D正确.

故选：ABD

关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范围，进而确定参数的取值范围.

13．

根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解.

.

故答案为：.

14．

根据周期确定的值，再由的图象过点确定值，从而函数解析式确定，再根据正弦函数的对称中心可解得答案.

由题意函数的最小正周期是，

可知，

再由的图象过点，可得，

则,故,

所以由知：，所以，

令，可得，

所以的图象的对称中心坐标为，

故答案为：

15．

设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.

点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论.

16．

由二次不等式恒成立结合图象即可求解

因为对任意，一元二次不等式都成立，

所以，

解得，

所以实数k的取值范围为

17．(1)；

(2)当时，函数有最大值；

(3).

（1）根据正弦型函数的周期公式即得；

（2）根据正弦函数的图象和性质即得；

（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.

（1）因为函数，

所以的最小正周期为；

（2）因为，

由，可得，

当时，函数有最大值；

（3）由，可得，

又，

函数的单增区间为.

18．(1)

(2)

(1)根据角终边经过点,得出的值,即可求出;

(2)根据诱导公式进行化简,代入角的三角函数值即可.

（1）解:由题知角终边经过点,

,

,

,

,

;

（2）由(1)知,

则原式

.

19．(1)

(2)

（1）根据奇函数定义以及函数在上的解析式，结合即可写出在上的解析式；（2）将不等式转化成，再利用换元法以及，解出的取值范围即可得不等式的解集.

（1）∵是上的奇函数且时，，

∴当时，，

又由于为奇函数，∴，∴，

又，，∴，

综上所述，当时，

（2）时，，当时，，

，即，所以，

设，不等式变为，

∵，∴，

∴．

而当时，，且，

又在上单调递增，

所以，所以，

∴，即

所以．

综上可知，不等式的解集是．

20．(1)

(2)

（1）将函数有唯一零点转化成方程有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；

（2）由复合函数单调性可知，函数为上的减函数，将恒成立转化成在上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数的取值范围.

（1）函数有唯一零点，

即①有唯一零点，即有唯一零点，

当时，，解得，符合题意；

当时，方程为一元二次方程，其

当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意；

当时，，方程有两个不等的实数根，；

若为①的解，则，解得；

若为①的解，则，解得；

要使①有唯一实数解，则．

综上，实数的取值范围为．

（2）函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数，

由复合函数性质知为上的减函数，

，，

不等式转化为，

即转化为，

即

令，，即．

二次函数对称轴为，由，开口向上

（i）当时，，函数在上单调递减，

，解得，不符合题意，舍去；

（ii）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，

，即，解得，

即；

（iii）当时，，函数在上单调递增，

，解得，

即；

综上可知，正实数的取值范围．

关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意，恒有成立”进行等价转化，只需满足，再利用函数的单调性，即可将问题转化成不等式在上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.

21．(1)，

(2)证明见解析

（1）由奇函数的性质可知，可求出b的值，再利用可求出a的值.

（2）利用定义法证明函数的单调性即可.

（1）∵函数是奇函数，∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，∴，

∴.

（2）由（1）得，

任取，，且，

∴，

∵，∴，，，

∴，即，

∴函数在上是增函数.