2022-2023学年四川省安岳县石羊中学高二上学期期中检测数学（文）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省安岳县石羊中学高二上学期期中检测数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆C：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.
【详解】由题设，知：，可得，则，
∴C的方程为.
故选：D.
2．已知焦点在轴的椭圆的标准方程为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】由椭圆方程焦点在轴列出不等关系求解即可.
【详解】解：因为椭圆方程焦点在轴，所以有，所以.
故选：B.
3．过点的直线将圆形区域分成两部分，使得两部分的面积相差最大，则该直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直，由此能求出直线的方程．
【详解】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以该直线与直线垂直即可．
又已知点，则，
故所求直线的斜率为，又所求直线过点，
由点斜式得，所求直线的方程为，即
故选：．
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三视图知该几何体为半圆柱，再结合面积公式求解即可
【详解】由三视图知该几何体为半圆柱，
底面是半径为的半圆，高为，
因此表面积为.
故选：.
5．已知、是两条不同的直线，是一个平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】根据空间中线与面的位置关系判断即可.
【详解】解：对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；
对于C：若，，则或或或与相交（不垂直），故C错误；
对于D：若，，由线面垂直的性质可得，故D正确；
故选：D
6．若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ）
A．圆锥的母线长为B．圆锥的底面半径为
C．圆锥的体积为D．圆锥的侧面积为
【答案】C
【分析】根据已知条件及圆锥的表面积公式，结合圆锥的侧面积公式及体积公式即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，由于其侧面展开图是一个半圆，
所以，解得，
又因为圆锥的表面积为，
所以表面积，解得，得母线长，
所以圆锥的高，
所以侧面积，体积
故选：C.
7．一束光线从点出发，经轴反射到圆：上的最短路径的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】求出点关于轴的对称点，则最短路径的长为（圆的半径），计算求得结果.
【详解】由题意可得圆心，半径，点关于轴的对称点，如图：
所以，最短路径的长.
故选：B.
8．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
9．设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求出，由椭圆的定义得，，所以为椭圆的通径时最小，此时取得最大值5，即可得，从而求出b的值，最后求出椭圆的离心率
【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知，
因为过的直线交椭圆于A，B两点，
所以由椭圆的定义知：，
所以，
当轴时，最小，的值最大，
此时为椭圆的通径，由通径公式可得：
所以，解得：，所以，，
故选：A
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，属于中档题.
10．已知正方体，给出下列四个结论：
①直线与所成的角为；
②直线与所成的角为；
③直线与平面所成的角为；
④直线与平面所成的角为.
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题意，作图，利用线面垂直判定定理，以及线面角定义，结合三角函数的定义，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
在正方体中，平面，由平面，则，在正方形中，，
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，，故①②正确；
同理可得平面，垂足为，所以为直线与平面所成的角，
设正方体的棱长为，，，则，即，故③错误；
易知为直线与平面所成的角，由，则，故④正确.
故选：C.
11．在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点．现有以下命题：①三棱锥的体积是定值；②的周长的最小值为；③直线与平面所成的角是定值；④异面直线与所成的角是定值．其中真命题是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】①用等体积法判断；②用平面展开图，根据两点间直线段最短求三角形周长最小值判断；③用反证法判断；④动直线始终在垂直的平面上．
【详解】解：对①：因为，又因为平面，所以点到平面距离不变，所以为定值，从而三棱锥的体积是定值，所以①对；
对②：如图2所示的平面展开图，当点运动到点时，的周长的最小值为
，所以②对；
对③：假设直线与平面所成的角是定值，则点的轨迹是平面上的圆弧，而不是直线，所以③错；
对④：因为平面，平面，所以，所以④对．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：①的关键点是转换三棱锥顶点，再证动顶点所在直线平行于三棱锥底面；
②的关键点利用平面展开图将空间问题平面化；
④的关键点是把定直线与动直线的垂直转化为定直线与动直线所在平面垂直来解决.
12．已知椭圆的离心率为 ，动是其内接三角形，且 ．若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：设，，则，由，得．因为C是椭圆上一点，所以
得(定值) 设 所以
【解析】直线与圆锥曲线的综合问题
二、填空题
13．已知圆锥的高为1，体积为，则该圆锥表面积为______．
【答案】
【分析】求得圆锥的底面半径和母线长，由此求得圆锥的表面积.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，高为.
由题意可得V＝πr2•h＝•1＝，所以r2＝2，
所以圆锥的母线l＝＝＝，
所以圆锥的表面积．
故答案为：
14．已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，若是以为顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.
【答案】．
【分析】由椭圆对称性得，从而得离心率．
【详解】是以为顶点的等腰直角三角形，则为短轴顶点，
所以，，
故答案为：．
15．已知四棱锥的顶点都在球上,底面是矩形,平面平面,为正三角形,,则球的表面积为______．
【答案】
【详解】试题分析：过点P作PE∥AB,交球面于点E,连接BE,CE,则BE∥AP,CE∥DP,三棱柱APD-BEC为正三棱柱,故球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点,因为△PAD为正三角形,AD=2,所以△PAD外接圆的半径为,所以球O的半径 ,所以球O的表面积为.
【解析】球与几何体的切接；球的表面积.
16．已知椭圆 离心率， 过椭圆中心的直线交椭圆于两点 (在第一象限)， 过作轴垂线交椭圆于点， 过作直线垂直交椭圆于点， 连接交于点， 则_______________．
【答案】
【分析】首先求得 ， 然后由求得点的纵坐标， 从而求得．
【详解】．
设， 则，
设，
两式相减并化简得，
即，
由， 可得，则，
，即
解得，，,
故答案为：.
三、解答题
17．如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，
(1)求证：.
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接进行证明即可；
（2）首先利用面面垂直的性质定理得到平面，即，然后分别利用勾股定理证明，，最后利用线面垂直的判定定理进行证明即可.
【详解】（1）如图，设正方形的对角线与交于，连.
，，得.
，，
为平行四边形，
.
又
.
（2），，
，平面，.
连接，由（1）易知是边长为1的正方形，
故，得，
，
，
，
，
同理，在中，，
，平面，平面，
.
18．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆与直线：交于两点，_____，求的值.
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；条件②：.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆心和半径，根据题意列式求解，即可得圆的方程；（2）对①、②分析均可得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离运算求解.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，由题意可得，解得，
即圆心，半径为，故圆的方程为.
（2）选①：∵，则为等边三角形，，
圆心到直线：的距离，
则，解得或.
选②：圆心到直线：的距离，
则，解得或.
19．在三棱锥中，如图，，，，．
(1)证明：；
(2)求侧面与底面所成的二面角大小；
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明平面得到，再证明平面得到证明.
（2）确定为侧面与底面所成的二面角的平面角，计算各线段长度，在直角中计算角度大小即可.
（3）根据勾股定理得到，再利用体积公式计算得到答案.
【详解】（1），，，故平面，平面，
故，又，，故平面，
平面，故.
（2），，故即为侧面与底面所成的二面角的平面角.
在直角中，，
在直角中，，，故，
即侧面与底面所成的二面角大小为.
（3）在直角中，.
.
20．分别求解以下两个小题：
(1)设椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的标准方程；
(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）结合椭圆的定义求得曲线的方程.
【详解】（1）由题意可知，，又，所以，
所以椭圆的标准方程为．或.
（2）由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3．
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝4－1＝3，故所求C的方程为．
21．如图，在三棱锥 中， ，点分别是 的中点，底面.
(1)求证:平面;
(2)求直线 与平面所成角的正弦值大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1） 由已知，根据点 分别是的中点，可知，然后利用线面平行的判定定理即可完成证明;
（2） 取 的中点，连接，过点作交于，连接，先证明平面，得到 ，从而证明平面，得到是与平面所成的角，设出边长，计算即可得答案
【详解】（1）由已知，点 分别是的中点，所以，
又 平面平面，所以平面.
（2）由题意点分别是 的中点，
因为 ，所以，
又因为 平面平面，故,
则 ,所以，
取的中点，连接，则，

平面平面，所以，
平面 ，且 ，所以平面，
过点O作交于，连接，
因为 平面平面，所以 ，
又因为平面，且，所以平面，
因为 ，所以直线与平面所成角就是与平面所成的角，
所以 是与平面所成的角，
可设 ，而，
所以 ，
，
在 中， ,
所以直线 与平面所成角的正弦值大小为.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点.点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求得直线的方程，由此求得焦点坐标，即求得，结合三角形的最大面积求得，进而求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合三角形的面积来求得直线的方程.
【详解】（1）直线，直线过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为，则，又的面积最大值，则，所以，，，
故椭圆的方程为③.
（2）①当直线的斜率存在时，设，
代入③整理得，
设、，则，.
所以，.
点到直线的距离.
因为，即，
又由，得，
所以，..
而，，即，
解得，此时；.
②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.
也有，经检验，上述直线均满足，
综上：直线的方程为或.