2022-2023学年辽宁省六校高二上学期12月联合考试数学试卷（Word版含答案）

辽宁省六校2022-2023学年高二上学期12月联合考试

数学试题

考试时间：120分钟  满分150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2-x-2<0，x∈Z}，则A∪B＝()

A．{1}                           B．{1，2}

C．{0，1，2，3}                  D．{－1，0，1，2，3}

2.若直线l的倾斜角α满足0≤α<，且α≠，则其斜率k满足(  )

A．-<k≤0B．k>-

C．k≥0或k<-D．k≥0或k<-

3.若向量a＝(x,4,5)，b＝(1,-2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x等于()

A．3 B．-3C．-11 D．3或-11

4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数的值为(  )

A．0或4B．1或3C．-2或6D．-1或

5.(＋)8的展开式中常数项为(  )

A.B.C.D．105

6.已知直线l：x-y+3=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是()

A．y=xB．y=2xC．y=x D．y=4x

7.某大学开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，不同的选课方案有(  )

A.96种          B.84种        C.78种          D.16种

8.已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为(  )

A.             B.C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分。

9.已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为(  )

A．两圆有两条公切线B．直线的方程为

C．线段的长为D．圆上点，圆上点，的最大值为

10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足=++，则下列结论正确的是(  )

A.直线AC1平面A1BD

B.直线BB1与平面A1BCD1所成的角为

C.直线OE与平面A1BCD1的距离为

D.点P到直线AD的距离为

11.过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于A，B两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围可以是(  )

A.(0,1)   B.(1,2)   C.(2,3)    D.

12.直线l与抛物线y2=2x相交于A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，若OAOB,则(  )

A.直线l经过定点              B.直线l斜率为定值  

C.ΔOAB面积最小值为4       D.y1y2=-4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分。

13.设(2x＋)4＝a0＋a1x＋…＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为________

14.设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋2)上单调递增，则实数a的取值范围是________

15.已知三棱锥P-ABC，PA面ABC，PA=2，A=，BC=.则三棱锥P-ABC外接球表面积为_________

16.过x轴上点P(a ，0)的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则实数a的值为________

四、解答题：本题共6小题，计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本题满分10分)

在△ABC中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上.

(1)求AB边上的高CH所在直线方程；

(2)设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程.

18．(本题满分12分)

设△ABC内角所对边分别为，已知，．

(1)若，求△ABC的周长；

(2)若边的中点为，且，求△ABC的面积．

19.(本题满分12分)

如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES．

(1)证明：直线SD //平面ACE；

(2)求直线AS与平面ACE所成角的余弦值．

20.(本题满分12分)

在平面直角坐标系xoy中,动点与两点连线斜率分别为,且满足,记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的标准方程;

(2)已知点为曲线在第一象限内的点,且,若MA交y轴于点交轴于点,试问:四边形的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

21.(本题满分12分)

如图，在四边形中，交于点，.沿将△PAB翻折到的位置，使得二面角的大小为.

(1)证明：平面平面SAD；

(2)在线段SC上（不含端点）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.

22.(本题满分12分)

已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求双曲线的方程；

(2)已知点P是双曲线C的右支上异于顶点B的任意点，点Q在直线x= 上，且，M为PB的中点，求证：直线OM与直线QF的交点在某定曲线上．

数学试题参考答案

一、单项选择题

1---5  CCAAB            6---8  BBD

二、多项选择题

9、AD     10、ABD     11、AD    12、ACD 

三、填空题

13、1    14、(-∞，0]∪[4，＋∞)   15、8    16、4

四、解答题

17．（1）设，则 ， 解得，∴，

由  得，………………………………………2分

，即………………………………………4分

（2）当斜率不存在时，，不满足题意；

当斜率存在时，设，即，

依题意得： ，

有或，

解得或 ，…………8分

直线l的方程为：或 ，

即：或.…………10分

18.（1）∵，∴，∴，

因为，故，即，

解得（舍）或；则

故△的周长为.…………6分

（2）由（1）知，，又，故，

又，则；

因为边的中点为，故，故，

即，即；

联立与可得，

故△的面积.…………12分

19.（1）连接交于点，连接．因为，所以与相似．所以．又

则，所以．

又因为平面，平面，所以直线平面．…………5分

（2）平面平面，平面平面，平面，，所以平面．以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴的正方向，与均垂直的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，0，，，1，，，2，，，

，2，，．

设平面的一个法向量为，，，

则，令，得…………8分

设直线AS与平面ACE所成的角为，则

则．

又，则

故直线AS与平面ACE所成角的余弦值为…………12分

20.（1）解:由题知不妨设,

则有:所以,

即,化简得;…………4分

（2）四边形的面积为定值6,证明如下:

不妨设,则有,

方程为:,

令,则,所以…………6分

方程为:,

令,则,所以,…………8分

所以

,故四边形的面积为定值6.……12分

21.（1）因为，所以，平面,平面,

又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.……………4分

（2）过作，因为平面，所以，因为，平面,平面所以平面，如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，与过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系.

因为，所以二面角的平面角为，即

则，，.

设，则.

设是平面的一个法向量，

则，取

因为是平面的一个法向量.……………10分

所以，解得或（舍）.

所以为上靠近点的三等分点，即.

故：存在点为上靠近点的三等分点满足条件.………12分

22.（1）解：由于双曲线右焦点为，渐近线为，

所以，，解得，

所以双曲线的方程为：………………………………………4分

（2）证明：设，直线与直线的交点为，

设直线为，由题可知：，

联立 ，化简得(3-k2)x2+2k2x-k2-3=0，

所以，由可得 ，…………………………………6分

那么，所以，

由于是中点，所以，

因为，所以 且，解得，………8分

因为直线与直线的交点为，

根据斜率相等可得，

代入的坐标得化简得 ，

将两式相乘得，即为，

所以直线与直线的交点在定曲线上.……………12分