2023届河北省唐山市一中等部分学校高三上学期12月月考数学试题（word版）

唐山市部分学校2023届高三上学期12月月考

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知，则的虚部为（    ）

A.    B.2    C.    D.

3.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.在数列中，“数列是等比数列”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

5.双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ）

A.    B.    C.2    D.

6.若直线是曲线的一条切线，则实数（    ）

A.    B.    C.    D.

7.直线被圆截得的弦长的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为，体积为，则的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知在某校运动会上，参加男子跳高比赛的8名运动员的成绩如图所示，设这8名运动员成绩的平均数是米，第分位数为米，则（    ）

A.    B.    C.    D.

10.某大型商场开业期间为吸引顾客，推出单次消费满100元可参加抽奖活动，奖品为该商场的现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级与购物卡面值（元）的关系式为等奖比4等奖面值多100元，比5等奖面值多120元，且4等奖面值是5等奖面值的3倍，则（    ）

A.    B.

C.1等奖面值为3130元    D.3等奖面值为130元

11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则的最小值为5

C.以线段为直径的圆与直线相切

D.若，则直线的斜率为

12.在正方体中，为的中点，点在线段上运动，点在棱上运动，为空间中任意一点，则下列结论正确的有（    ）

A.异面直线与所成角的取值范围是

B.的最小值为

C.若，则平面截正方体所得截面的面积是

D.若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量，若，则__________.

14.将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则的一个取值可能为__________.

15.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若从一个阳马的8条棱中任取2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为__________.

16.已知，则__________；的系数为__________.（本题第一空2分，第二空3分）

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，内角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且边上的高为，求的周长.

18.（12分）

设正项数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）若是首项为5，公差为2的等差数列，求数列的前项和.

19.（12分）

如图，在梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，且.

（1）证明：平面.

（2）若为线段的中点，求二面角的余弦值.

20.（12分）

甲､乙两个同学去参加学校组织的百科知识大赛，规则如下：甲先答2道题，至少答对1道题，乙同学才有机会答题，乙同样答2道题.每答对1题可以得50分，已知甲答对每道题的概率都是，乙答对第1道题的概率为，答对第2题的概率为，乙有机会答题的概率为.

（1）求；

（2）求甲与乙总得分的分布列与数学期望.

21.（12分）

已知椭圆与椭圆的离心率相同，点为椭圆上一点.

（1）求椭圆的方程.

（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，试问以为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）

已知函数.

（1）在上单调递增，求的取值范围；

（2）若，证明：当时，.（参考数据：）

唐山市部分学校2023届高三上学期12月月考

数学参考答案

1.B 

2.A 

3.D  因

4.A

5.C

6.D

7.B

8.A

9.BC

10.ACD

11.AC 

12.ACD 

13. 

14.（或）（只需从中写一个答案即可） 

15. 

16.

17.解：（1）因为，所以，

所以，解得或（舍去），

则，故.

（2）因为，所以，

由三角形面积公式可得，则，故.

由余弦定理可得，则，解得.

从而，故的周长为.

18.解：（1）因为，所以，

所以，即，

所以.

因为，所以，即.

当时，，解得或（舍去），

则是首项为2，公差为1的等差数列，

故.

（2）由（1）可得.

因为是首项为5，公差为2的等差数列，所以，

则，

故.

19.（1）证明：因为，所以，所以，

则，故.

取的中点，连接，则.

因为，所以.

因为，且为的中点，所以.

因为平面，且，所以平面.

因为平面，所以.

因为平面，且，所以平面.

（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，过

作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意可得，则，

0），.

设平面的法向量为，

则令，得.

平面的一个法向量.

设二面角为，由图可知是锐角，

则，即二面角的余弦值为.

20.解：（1）甲先答2道题，至少答对1道题，乙才有机会答题，且乙有机会答题的概率为，所以

所以，解得.

（2）随机变量的可能取值为，

则，

，

，

，

.

所以的分布列为

则.

21.解：（1）设椭圆的焦距为，

由题意可得解得

故椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率为0时，以为直径的圆方程为.

当直线的斜率不存在时，以为直径的圆方程为.

联立解得故若存在定点，则此定点为.

当直线斜率存在，且不为0时，设直线，

联立整理得，

则.因为

，

所以以为直径的圆经过定点.

综上，以为直径的圆经过定点.

22.（1）解：由题意可得，则在上恒成立.

故.

设，则.

由，得，由，得，

则在上单调递减，在上单调递增，故.

从而，即.

（2）证明：设，

因为，所以.

设，则.

设，

由，得，由，得，

则在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增.

因为，

所以存在，使，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以对一切的恒成立，即当时，.