2023届湖南省长沙市重点中学高三上学期12月月考(四)数学试题（Word版含解析）

长沙市重点中学2022-2023学年高三上学期12月月考(四)

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则中元素的个数为（   ）

A．2    B．3    C．4    D．6

2．已知等差数列满足，则的值为（    ）

A．－3    B．3    C．－12    D．12

3．已知，，且，则的最小值是（    ）

A．1    B．2    C．    D．

4．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺），则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ）

A．2丈4尺   B．2丈5尺   C．2丈6尺   D．2丈8尺

5．若直线与圆交于A，B两点，当最小时，劣弧AB的长为（    ）

A．    B．π    C．2π    D．3π

6．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程，则下列说法不正确的是（    ）

A．k的值是20       B．变量x，y呈正相关关系

C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25 D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5℃

7．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，AC边上的高为，则的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．关于函数的描述正确的是（    ）

A．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到

B．在上单调递增

C．在上有3个零点

D．在上的最小值为

10．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，E，F分别是AC，的中点，D，M分别是，上的两个动点，则（    ）

A．FM与BD一定是异面直线

B．三棱锥的体积为定值

C．直线与BD所成的角为

D．若D为的中点，则四棱锥的外接球表面积为5π

11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ）A．

B．若，则直线AB的斜率为

C．若抛物线上存在一点到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为

D．若点F到抛物线准线的距离为2，则的最小值为

12．已知当时，不等式恒成立，则正实数a的值可以为（    ）

A．1    B．    C．e    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．

13．设复数，满足，，则______．

14．在平面四边形ABCD中，已知，P为CD上一点，，，，与的夹角为，且，则______．

15．已知（e为自然对数的底数），，直线l是与的公切线，则直线l的方程为______．

16．设，同时为椭圆与双曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程演算步骤．

17．由整数构成的等差数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的通项公式为，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，，，，，，，，，…，求数列的前项和．

18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，点D在边AC上，．

（1）证明：；

（2）若，求．

19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．

（1）证明：；

（2）当为何值时，平面与平面DFE夹角的正弦值最小？

20．为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为．每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分．

（1）若，求分数X的分布列与均值．（若结果不为整数，用分数表示）

（2）若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为，如．

①求；

②问是否存在，使得为等比数列，其中，？若有，求出；若没有，请说明理由．

21．在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线，经过的直线l与C交于A，B两点．

（1）若，求AP长度的最小值；

（2）设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

22．已知函数．

（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数a；

（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．

长沙市重点中学2022-2023学年高三上学期12月月考(四)

参考答案

一、单选选择题：

1．答案 C解析，共4个元素．

2．答案B解析  由等差中项的性质可得，，解得，

∵，∴．

3．答案 C解析 因为，，且，所以，

所以．

4．答案 C解析 如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即圆木的高）长24尺，另一条直角边长（尺），因此葛藤长的最小值为（尺），即为2丈6尺．

5．答案 B解析 直线可化为，则当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，设圆的圆心为，半径，当时，取得最小值，且最小值为，此时弦长AB对的圆心角为，所以劣弧AB的长为．

6．答案 D解析 由题意，得，，则，故A正确；

由经验回归方程可知，，变量x，y呈正相关关系，故B正确；

若x的值增加1，则y的值约增加0.25，故C正确；

当时，，故D不正确．

7．答案 A解析 设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为．

8．答案 B解析∵，

由余弦定理可得，整理可得，又AC边上的高为，

∴，即，

∵，当且仅当时取等号，∴，

即，即，∵，∴，

则，∴，故的最大值为．

二、多项选择题

9．答案 AD解析，

对于A，由的图象向左平移个单位长度，得到，故选项A正确；

对于B，令，，解得，，所以的单调递增区间为，，所以在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确；

对于C，令，得，，解得，，因为，所以，；，，所以在上有2个零点，故选项C不正确；

对于D，因为，所以，所以，所以，所以在上的最小值为，故选项D正确．

10．答案 BCD解析 A项，当M，B重合时，FM（即BF）与BD是相交直线，故A错误；

B项，由已知可得，又平面平面，所以平面．

在矩形中，的面积．

又，所以三棱锥的体积，所以B正确；

C项，由平面，得，

又，，，平面，

所以平面，因为平面，所以，所以C正确；

D项，由题意可得四边形为矩形，连接BF（图略），

则矩形外接圆的圆心为BF的中点，且．

过作，垂足为N，连接DN，，则，，，故，

所以是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，

则外接球的表面积为，所以D正确．

11．答案 AD解析 设，，直线l的方程为，

由  得，则，．

对于A，，故A正确；

对于B，根据抛物线的定义可知，，

故

，所以，解得，

所以直线l的斜率，故B不正确；

对于C，由题意可知，解得，则抛物线的方程为，故C不正确；

对于D，由题意可知，所以．

易得，其中d是点P到y轴的距离，r为以AB为直径的圆的半径，

且，．又，，且，

所以，，所以，

当时，取得最小值，故D正确．

12．答案 ABC解析 由题意，原不等式可变形为，

即，设，则当时，恒成立，

因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，，所以，，因为在上单调递增，

所以要使，只需， 取对数，得，

因为，所以．令，因为，

所以在上单调递增，所以，所以，

则，故正实数a的最小值为．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．

13．答案解析 方法一 设，，因为，

所以，．

因为，所以，所以，①

，②  ①+②，得．所以．

方法二  设复数，在复平面内分别对应向量，，则对应向量．

由题意知，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，

则对应向量，且，可得．

故．

14．答案-2解析 如图所示，∵，∴四边形ABCD为平行四边形，

∵，∴，，

又∵，，，则，

∴．

15．答案或解析 设直线l与的切点为，则，，

∴，∴切点为，切线斜率，∴切线方程为，即，①

同理设直线l与的切点为，∴，

，∴，切点为，切线斜率，

∴切线方程为，即，②

由题意知，①与②相同，∴

把③代入④有，即，解得或，

当时，切线方程为；当时，切线方程为，

综上，直线l的方程为或．

16．答案解析 如图，设，，焦距为2c，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，

当时，可得，即，可得，

由，可得，可得，即，则，

可设，则，由在上单调递增，可得，则．

四、解答题：

17．解 （1）由题意，设数列的公差为d，因为，，

可得 整理得，

即，解得或，因为为整数数列，所以，

又由，可得，所以数列的通项公式为．

（2）由（1）知，数列的通项公式为，又由数列的通项公式为，

根据题意，得新数列，，，，，，，，，…，

则

．

18．解（1）由题设，，由正弦定理知：，即，

∴，又，∴，得证．

（2）由题意知：，，，

∴，同理，

∵，

∴，整理得，又，

∴，整理得，解得或，

由余弦定理知：，

当时，不合题意；当时，；

综上，．

19．（1）证明 因为E，F分别是AC和的中点，且，所以，．

如图，连接AF，由，，得，于是，

所以．由，点2，故以B为坐标原点，

以BA，BC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，．

设，则，于是．所以，所以．

（2）解 易知平面的一个法向量为．

设平面DEF的一个法向量为，则

又，，所以

令，得，，于是平面DFE的一个法向量为，

所以．

设平面与平面DFE的夹角为，则，

故当时，平面与平面DFE夹角的正弦值最小，为，即当时，平面与平面DFE夹角的正弦值最小．

20．解  （1）进行一次试验，获得0分的概率为，获得1分的概率为，获得2分的概率为，进行两次试验，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

，，，

，．

所以分数X的分布列为

．

（2）①，

②据题意有，，其中，

设

．比较系数得，解得，

所以是公比为的等比数列，其中，，．

21．解  （1）设，由，可得

，当时，取得最小值．

（2）设直线AB的方程为，，，

联立 可得，即有，，

设以AB为直径的圆上任一点，，，

所以Q的轨迹方程为，，

．

所以Q的轨迹方程化为．

令，得．所以上式方程的两根分别为，，

则．由，即有，解得．

所以存在，使得．

22．解  （1），，

所以在点处的切线方程为，所以，即，．

（2）因为，所以，所以可转化为，

设，则，当时，，

所以在区间上单调递增．当时，设，

此时，所以在上单调递增，

又，，所以存在使得且时单调递减，时单调递增．

综上，对于连续函数，当时，单调递减，

当时，单调递增．又因为，所以当，即时，

函数在区间上有唯一零点，

当，即时，函数在区间上无零点，

综上可知，当时，函数在上有1个零点；

当时，函数在上没有零点．