重难点19 不等式性质与基本不等式—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点19   不等式性质与基本不等式

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

3.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).

2. 求解一元二次不等式的三个步骤

(1) 解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0得到根；

(2) 结合二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；

(3) 写出一元二次不等式的解集．

[常用结论与微点提醒]

1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.

2.有关分式的性质

(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).

(2)若ab>0，且a>b⇔<.

2023年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法，基本不等式的多在解析几何、函数最值中考查，难度为基础题或中档题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知集合，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解不等式得，所以，

所以可以求得，故选B.

2．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】结合图像易知，不等式的解集，

故选：A.

3．设，是实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.

4．若，且，则下列不等式中，恒成立的是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．

5．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

6．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.

7．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（    ）

A．< B．a2>b2

C．> D．a|c|>b|c|

【答案】C

【解析】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2<b2，排除A，B；

因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；

当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，

故选：C

8．若则一定有

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选

9．若实数满足，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.

10．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】因为，且，所以

设，则，所以单调递增，

所以 ，所以选B.

11．若，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误，

因为选项C正确，故选C．

12．设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】.

,即

又即

故选B.

二、填空题

13． 设，使不等式成立的的取值范围为__________.

【答案】

【解析】，即，即，

故的取值范围是．

14．若正数x，y满足，则的最小值是______．

【答案】

【解析】因为正数x，y满足，

所以，

当且仅当时取等号，即当时取等号，

所以的最小值是

故答案为：

15．已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

16．对于实数，若，，则的最大值为___________.

【答案】5

【解析】由题意，，，故，作出可行域，设目标函数，则.易得过时取得最大值，过时取得最小值.故，，故 .

故的最大值为5.

故答案为：5

三、解答题

17．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）.（2）.

【解析】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

  当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.

[方法三]：分类讨论+分段函数法

 当时，

则，此时，无解．

当时，

则，此时，由得，．

综上，a的取值范围为．

[方法四]：函数图象法解不等式   

由方法一求得后，构造两个函数和，

即和，

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，

由图易知，则．

18．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）    

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又