重难点15 数列的概念与简单表示法—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点15  数列的概念与简单表示法

1.an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝

2.形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．

3.形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．

4.已知Sn求an的3个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当n≥2时an的表达式；

(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．

5.在数列中有（均为常数且），从表面形式上来看是关于的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

一般方法：设 则而

  即  ，故

数列是以为公比的等比数列，借助它去求

6.求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)函数法，利用函数求最值．

(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．

(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1.

2023年高考仍将以考查由递推公式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和与关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知数列满足，，则当时，等于

A． B． C． D．

2．已知数列对任意的满足，且，那么等于

A． B． C． D．

3．已知数列对任意的满足，且，那么等于

A． B． C． D．

4．已知数列满足， ，则（    ）

A． B．

C． D．

5．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则

A． B． C． D．

6．已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

7．数列满足，，则________．

8．数列中，若=1，=2+3 （n≥1），则该数列的通项=________

9．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.

10．设数列中，，则通项 ___________．

11．设数列的通项公式为N*），则__________．

12．设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.

13．已知数列{}的前项和，则其通项_______；

若它的第项满足，则__________

14．已知数列，满足，，则的通项．

15．数列满足，前16项和为540，则 ______________.

16．已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；   ②为等比数列；

③为递减数列；       ④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

三、解答题

17．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

18．已知数列的前n项和满足．

(1)写出数列的前三项；

(2)求数列的通项公式；