2023届高考物理二轮复习专题讲义能量与动量——板块模型讲义

板块模型

本专题主要讲解应用动量守恒定律解决板块模型问题。高考常以结合牛顿运动定律、运动学公式、能量观点的综合题形式出现，考查学生模型建构的能力，灵活选用牛顿运动定律，结合运动学规律、功能关系、动量守恒定律解答力学综合问题的能力。

探究1 滑块与木板模型

典例1：（2022北京联考）如图所示，两形状完全相同的平板A、B置于光滑水平面上，质量均为m，平板B的右端固定一轻质弹簧，处于原长状态，物块C置于平板A的最右端，质量为2m且可视为质点。平板A和物块C以相同速度v0向右运动，与静止平板B发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后平板A、B粘连在一起，物块C滑上平板B，并压缩弹簧，后被弹回并相对于平板B静止在其最左端Q点。弹簧始终在弹性限度内，平板B的上表面粗糙，求：

（1）平板A、B刚碰完时的共同速率v1；

（2）在上述过程中，系统的最大弹性势能EP。

训练1：（2022湖南模拟）如图甲所示，质量为M＝1 kg、长度L＝1.5 m的木板A静止在光滑水平面上（两表面与地面平行），在其右侧某一位置有一竖直固定挡板P。质量为m＝3kg的小物块B（可视为质点）以v＝4m/s的初速度从A的最左端水平冲上A，一段时间后A与P发生弹性碰撞。以碰撞瞬间为计时起点，取水平向右为正方向，碰后0.3s内B的速度v随时间t变化的图像如图乙所示。取重力加速度g＝10m/s2，求：

（1）B刚冲上A时，挡板P离A板右端的最小距离；

（2）A与P第1次碰撞到第2次碰撞的时间间隔内产生的热量；

（3）A与P碰撞几次，B与A分离？

探究2  滑块与凹槽模型

典例2:（2022安徽模拟）如图所示半径为R的半圆形凹槽放在光滑水平面上，凹槽内侧光滑，其质量为M＝2m，A点是凹槽圆弧上与圆心等高的一点，现有一个可视为质点，质量为m的滑板小孩从距离A点高R处由静止开始下落，恰好从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽（忽略空气阻力和小孩体内能量的转化），下列说法正确的是（  ）

A．从滑板小孩开始下落到运动到最低点过程中，滑板小孩机械能守恒

B．从滑板小孩开始下落到运动到最低点过程中，滑板小孩和凹槽组成的系统动量守恒

C．滑板小孩运动到最低点的速度为

D．滑板小孩运动到最高点与静止下落位置等高

训练2：（2022安徽模拟）如图所示，光滑水平面上静止放置质量均为m、半径均为R的四分之一光滑圆弧槽A和B，两圆弧底部距离地面高度均为R，初始时A、B紧靠在一起锁定为一半圆弧槽。现将一质量为2m的小球C由A槽上方2R处静止释放，恰能沿切线方向进入圆弧槽A，当小球C刚滑上B槽时立即解除锁定，重力加速度为g，求：

（1）小球C运动到两槽连接处时速度的大小；

（2）两槽解除锁定后，小球C能上升的最大高度；

（3）已知小球C从开始运动至落地过程，槽B发生的位移为L，那么该过程中小球C的水平位移为多大？

板块模型答案解析

典例1：关键信息：碰撞后平板A、B粘连在一起 → A、B碰撞为完全非弹性碰撞

光滑水平面 → A、B、C组成的系统遵循动量守恒

相对于平板B静止在其左端Q点 → ①末状态三者共速  ②C滑上B至弹簧被压缩最短的过程与C被反弹回至Q点，系统滑动摩擦力做功相等。

最大弹性势能EP → 弹簧被压缩最短，A、B、C共速

解题思路：

（1）AB碰撞瞬间，C的速度来不及改变，可以对AB组成的系统应用动量守恒定律求解平板A、B刚碰完时的共同速率v1

（2）C与AB作用的过程中，对“C和AB相互作用至弹簧压缩到最短的过程”与“C和B相互作用至C被反弹回至其最左端”的这两个过程分别应用动量守恒和系统能量守恒求解。

（1）对A、B，碰撞前后瞬间，A、B组成的系统动量守恒。

有：mv0＝(m＋m)v1

解得：v1＝v0

（2）设C停在Q点时A、B、C共同速度为v2，从A、B碰撞结束瞬时到C停在木板B最左端的过程中，A、B、C组成的系统动量守恒．

有：2mv0＋(m＋m)v1＝4mv2

解得：v2＝v0

根据功能关系有；Wf＝(2m)v02＋(2m)v12－(4m)v22

设弹簧压缩到最短时A、B、C共同速度为v3，此时系统的弹性势能EP最大，

对于A、B、C组成的系统，从弹簧压缩到最短至C被反弹回至木板B最左端的过程中，

根据动量守恒定律有：4mv2＝4mv3

C压缩弹簧至最大弹性势能处与弹簧将C反弹至B的最左端的两个过程中，BC的相对位移大小相等，系统滑动摩擦力做功相等，根据功能关系有：

Wf＝Ep＋(4m)v22－(4m)v32，

解得：Ep＝mv02。

训练1：

（1）由题图乙得：A第1次与P碰前瞬间B的速度为vB0＝3m/s，设此时A的速度vA0，对A、B系统由动量守恒定律有mv＝MvA0＋mvB0

代入数据解得vA0＝3m/s

由题图乙得：0～0.3s，B的加速度大小aB＝＝5m/s2

由牛顿第二定律有：μmg＝maB    解得μ＝0.5

A第1次与P碰撞前A一直向右加速，设A与P的距离最短为xAm

对A由动能定理有：μmgxAm＝   代入数据得：xAm＝0.3 m

故挡板P离A板右端的最小距离为0.3m；

（2）在A、B不分离时，A每次与P碰后到下次与P再次碰撞前，最后两者共速。

设A与P第2次碰撞前的速度为v1。以水平向右为正方向，对A、B系统由动量守恒定律可得：mvB0－MvA0＝(M＋m)v1

解得：v1＝1.5 m/s

A与P第1次碰撞到第2次碰撞的时间间隔内的热量为：Q＝＋－(M＋m)＝13.5J，故A与P第1次碰撞到第2次碰撞的时间间隔内产生的热量为13.5J；

（3）A第1次与P碰前，B在木板A上的滑动距离为x相对1，对A、B组成的系统，由能量守恒有：mv2＝＋＋μmgx相对1

代入数据得：x相对1＝0.4 m

A第1次与挡板P碰后到共速的过程中，对A、B系统，由功能关系：

Q＝μmgx相对2

解得x相对2＝0.9 m

假设第3次碰撞前，A与B仍不分离，A第2次与挡板P相碰后到共速的过程中，以水平向右为正方向，由动量守恒有：mv1－Mv1＝(M＋m)v2

解得：v2＝0.75 m/s

由能量守恒有：＋＝(M＋m)＋μmgx相对3

解得：x相对3＝0.225 m

由于x相对＝x相对1＋x相对2＋x相对3＝1.525 m＞L＝1.5 m，故不能发生第3次碰撞。

所以A与P碰撞2次，B与A分离。

答：（1）挡板P离A板右端的最小距离为0.3m；

（2）A与P第1次碰撞到第2次碰撞的时间间隔内产生的热量为13.5J；

（3）A与P碰撞2次，B与A分离。

典例2：关键信息：光滑水平面上， 恰好从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽 → 水平方向动量守恒，初态系统水平方向动量为零

凹槽内侧光滑 → 系统机械能守恒

解题思路：根据机械能守恒的条件判断单个物体、系统的机械能是否守恒。

根据动量守恒的条件判断动量是否守恒。

A．滑板小孩开始下落到运动到最低点过程中，滑板小孩机械能有一部分转化为凹槽的动能，故滑板小孩机械能不守恒，故A错误；

B．滑板小孩和凹槽组成的系统，在水平方向上动量守恒，竖直方向上合力不为零，动量不守恒，故B错误；

C，滑板小孩运动到最低点的过程中，设最低点小孩的速度大小为v1，凹槽的速度大小为v2，系统水平方向动量守恒，有：

系统能量守恒，则

代入数据解得

故C错误；

D．滑板小孩运动到凹槽右侧与A点齐平的A′点时，滑板小孩相对凹槽水平方向静止，根据动量守恒可知凹槽水平速度也为0，根据能量守恒可知，滑板小孩可以运动到与开始下落等高的位置，故D正确。

故选D。

训练2：

（1）以向右为正方向，对A与B、C系统，由开始至C运动到连接处过程，水平方向动量守恒，

则有：2mv1＋2mv2＝0

系统机械能守恒：×＋×＝2mg·3R

解得：v1＝－v2＝

（2）C从连接处运动至最高点过程，C在最高点时，B、C具有相同的速度v3，对B、C系统，水平方向动量守恒，取向右为正方向，则有：2mv1＋mv2＝3mv3

系统机械能守恒：×＋＝2mgh＋×

解得：h＝2R

（3）C从连接处运动至最高点过程再返回至连接处，对B、C系统，水平方向动量守恒，

则有：2mv1＋mv2＝2mv1′＋mv2′

系统机械能守恒：×＋＝×＋

解得：v1′＝，v2′＝

C离开B平抛至落地过程：R＝gt2

平抛过程C相对于B的水平位移大小为：Δx＝(v2′－v1′)t＝

如图所示，小球C从开始运动至落地过程的水平位移向右，C的水平位移为：xC＝L－＋R＝L＋(1－)R

答：（1）小球C运动到两槽连接处时速度的大小为gR；

（2）两槽解除锁定后，小球C能上升的最大高度为2R；

（3）该过程中小球C的水平位移为L＋(1－)R。