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    2022-2023学年浙江省杭州第二中学高三上学期第二次月考试题 数学(解析版)
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    2022-2023学年浙江省杭州第二中学高三上学期第二次月考试题 数学(解析版)

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    杭州二中2022学年第一学期高三年级第一次月考

    数学试卷

    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 集合,,   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由题意可得,再根据交集的定义即可求得答案.

    【详解】解:因为=

    时,;当时,;当时,

    =

    又因为

    所以.

    故选:C.

    2. 已知向量,若,则锐角的值是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据,可得,进而解得锐角.

    【详解】,得

    所以

    为锐角,

    所以

    故选:A.

    3. 的(   

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【解析】

    分析】利用以及二倍角公式,逐个选项判断,即可得到答案.

    【详解】,则,即.

    ,则,则.

    的充分不必要条件.

    故选:A

    4. 已知是方程的虚数根,则   

    A. 0 B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由题设有,将目标式化简为,即可得结果.

    【详解】由题设,且

    所以原式等于.

    故选:C

    5. 与函数的奇偶性相同,且在上有相同的单调性的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】先利用幂函数的性质判断为偶函数,且在上单调递增,再根据奇偶性与单调性的定义,结合初等函数的性质依次判断各选项即可.

    【详解】由幂函数的性质,得函数为偶函数,且在上单调递增;

    ,其定义域为

    因为

    所以为奇函数,故排除选项A

    ,因为

    所以为非奇非偶函数,故排除选项B

    ,其定义域为

    因为

    所以为偶函数,

    时,上单调递减,

    所以排除选项C

    ,其定义域为

    因为

    所以为偶函数,

    且对于时,

    由于,所以

    所以

    所以,即

    即函数上单调递增,故选项D符合题意.

    故选:D.

    6. 已知是自然对数的底数,若,则有(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】由条件变形为,令,利用导数法求解.

    【详解】解:因为

    所以

    ,则

    时,,当时,

    又因为

    所以

    又因为,且递减,

    所以

    故选:A

    7. 已知点P在函数的图像上,点Q是在直线上,记,则(   

    A. M有最小值 B. M取最小值时,点Q的横坐标是

    C. M有最小值 D. M取最小值时,点Q的横坐标是

    【答案】D

    【解析】

    【分析】先判定与直线平行且与的图像相切的直线的位置,切点到直线的距离即为M的最小值,再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值,再联立直线方程求出Q的横坐标.

    【详解】化为

    即直线l的斜率为

    因为,所以

    ,得

    ∴当M最小时,点P的坐标为

    此时点P到直线的距离为

    所以M的最小值为

    过点P且垂直于的直线方程为

    联立,得

    即点Q的横坐标为.

    故选D

    8. 中,三边长满足,则的值为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】方法一:利用正弦定理边化角可得到,利用两角和差正弦公式可得,结合二倍角公式可得,利用两角和差余弦公式和同角三角函数商数关系可求得结果;

    方法二:利用特殊值法,取,利用二倍角正切公式可求得,结合即可求得结果.

    【详解】方法一:由正弦定理得:

    ,又

    ,即

    整理可得:

    方法二:令,则满足

    则可知:

    得:,解得:

    .

    故选:C.

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

    9. 已知在同一平面的单位向量和非零向量,则下列命题正确的是(   

    A.  B.

    C. ,则 D. ,则

    【答案】CD

    【解析】

    【分析】直接利用单位向量,向量的垂直和向量共线的充要条件,向量数量积的运算判断选项的结论.

    【详解】表示与共线的向量,表示与共线的向量,故A错误;

    不能比较大小,故B错误;

    ,有,单位向量和非零向量在同一平面内,则,故C正确;

    两个非零向量,若,有,化简得,则,故D正确;

    故选:CD

    10. 中,角ABC所对的边分别是abc,下列条件中,能使得的形状唯一确定的有(   

    A.

    B.

    C.

    D.

    【答案】AB

    【解析】

    【分析】先利用三角形的三边关系得到,再结合得到,即判定选项A正确;先利用三角形的内角和定理得到,再结合正弦定理和边角关系判定选项B正确;先利用正弦定理将边角关系转化为边边关系,再利用余弦定理得到,再利用判定选项C错误;先利用诱导公式、两角差的正弦公式得到,进而判定三角形是直角三角形或等边三角形,即选项D错误.

    【详解】对于A:根据三角形的三边关系得

    ,又,所以

    的形状唯一确定,故选项A正确;

    对于B:因为,所以

    解得,又因为

    所以由,得

    解得,又,所以

    即三角形唯一确定,故选项B正确;

    对于C:因为

    所以,则

    因为,所以

    ,则

    所以三角形不存在,即选项C错误;

    对于D:因为

    所以

    所以

    所以

    ,又,所以

    ,又,所以

    是直角三角形或等边三角形,即选项D错误.

    故选:AB.

    11. 已知,则(   

    A. 不等式的解集为

    B. 函数单调递减,在单调递增

    C. 方程有两个不同的根的充要条件是

    D. 若关于x的方程无解,则实数m的取值范围是

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】对于A,不等式转化为,从而可求出其解集,对于B,对函数求导后,利用导数可求出函数的单调区间,对于C,D,由选项B可求出函数的值域,从而可求出实数m的取值范围.

    【详解】对于A,由,得,且,因为

    所以,且,解得,所以不等式的解集为,所以A正确,

    对于B的定义域为,由,得,令,得,令,得,所以上递增,在上递减,所以B正确,

    由选项B可知,上递增,在上递减,因数,且当1的左侧趋近于1时,,当1的右侧趋近于1时,,所以的值域为,所以若关于x的方程有两个不同的根的充要条件是,故C错误.

    关于x的方程无解,则实数m的取值范围是,故D正确.

    故选:ABD.

    12. 下列命题正确是(   

    A. 函数的最小值为9

    B. 函数的最小值为

    C. 函数的最小值为12

    D. 函数的最小值为

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】利用基本不等式判断ABC,令,则,再构造函数,利用导数说明函数的单调性,即可求出函数的最小值;

    【详解】解:对于A:因为

    所以

    当且仅当,即时取等号,故A正确.

    对于B:因,所以

    当且仅当,即取等号,显然,故等号不成立,故B错误.

    对于C

    当且仅当时取等号,故C正确.

    对于D,令,则

    所以

    ,解得(舍去)或(舍去)或(舍去),

    ,当

    所以,故D正确;

    故选:ACD

    三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.

    13. 已知,则______

    【答案】

    【解析】

    【分析】由同角三角函数关系可得,由,根据正余弦齐次式的求法可求得结果.

    【详解】得:

    .

    故答案为:.

    14. 已知关于x的方程有实数解,则最小值是______

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据关于x的方程有实数解,结合辅助角公式可得,则点的轨迹为以原点为圆心,半径大于等于的同心圆,不妨设点的轨迹方程为表示点到点距离的平方,求出点到圆上的点的最小值即可得解.

    【详解】解:

    因为关于x的方程有实数解,

    所以,即

    则点的轨迹为以原点为圆心,半径大于等于的同心圆,

    设点的轨迹方程为

    表示点到点距离的平方,

    因为

    所以点在圆内,

    到圆上的点的最小值为

    所以最小值时.

    故答案为:.

    15. 在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且,点F为线段BD上的一动点(包含端点),若,则的取值范围为______

    【答案】

    【解析】

    【分析】由向量加法法则可得,根据F为线段BD上的一动点(包含端点)有,构造并利用导数研究单调性,进而确定值域,即可得结果.

    【详解】

    所以,结合目标式有

    (舍),

    上递减,在上递增,

    ,当

    所以

    故答案为:

    16. 已知对所有的非负整数均有,若,则______

    【答案】31

    【解析】

    【分析】根据已知关系式推得,进而可得,再分别求得,由此求得,则,最后求.

    【详解】,则,可得

    ,令,令

    ,则,可得

    所以

    ,则,可得

    故答案为:31

    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. 如图,已知边长为的正方形中,点在以为直径的的圆周上运动.

    1三点共线时,求的值;

    2的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)以点为坐标原点,的方向分别为轴的正方向建立平面直角坐标系,求出点的坐标,利用平面向量数量积的坐标表示可求得的值;

    2设点,其中,且,利用平面向量数量积的坐标表示可求得的取值范围.

    【小问1详解】

    解:以点为坐标原点,的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系,

    所以,直线的方程,圆的方程为

    联立,解得,即点.

    i)当点的坐标为

    此时,

    ii)当点的坐标为

    此时,.

    综上所述,.

    【小问2详解】

    解:设点,其中,且

    .

    18. 已知函数

    1如果函数处取到最大值或最小值,求的最小值;

    2,若对任意的x恒成立,求的取值集合.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)先利用两角和的正弦公式得到,再利用题意得到,解出,进而求出的最小值;

    2)先利用诱导公式、二倍角公式、两角和差的余弦公式得到,再利用恒成立得到进行求解.

    【小问1详解】

    因为处取到最大值或最小值,

    所以,解得

    则当时,的最小值为

    【小问2详解】

    因为

    恒成立,

    恒成立,

    所以,解得,即

    的取值集合为

    19. 中,角ABC的对边分别为abc,若满足:

    1的值;

    2,求的面积.

    【答案】1   

    2.

    【解析】

    【分析】1)由和角正弦公式及三角形内角性质、正弦定理边角关系即可求值;

    2)由已知和(1)得,应用余弦定理求ac,再由三角形面积公式求面积.

    【小问1详解】

    ,则

    所以.

    【小问2详解】

    ,且,则

    ,则

    所以,又

    ;当.

    20. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列12进行构造,第一次得到数列122;第二次得到数列12242;依次构造,第次得到的数列的所有项的积记为,令

    1①求的值;

    ②求数列的通项公式

    2求证:

    【答案】1,②   

    2证明见解析.

    【解析】

    【分析】1)①直接计算得解;②设第n次构造后得到的数列为12,求出,再构造数列得解;

    (2)求出,再代入化简即得证.

    【小问1详解】

    .

    ②设第n次构造后得到的数列为12

    ,则第次构造后得到的数列为12

    ,∴

    又∵,∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,

    ,所以.

    【小问2详解】

    证明:

    .

    21. 3名志愿者在2022101号至105号期间参加核酸检测工作.

    1若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作,且各志愿者的选择互不影响,求3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作的概率;

    2若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作,且各志愿者的选择互不影响,记表示这3名志愿者在101号参加核酸检测工作的人数,求随机变量的分布列及数学期望

    【答案】1   

    2分布列见解析,

    【解析】

    【分析】1)先利用计数原理、排列知识得到所有结果数和满足要求的结果数,再利用古典概型的概率公式进行求解;

    2)先写出随机变量的所有可能取值,利用组合知识、古典概型的概率得到每个变量对应的概率,列表得到分布列,进而求出期望.

    【小问1详解】

    3名志愿者每人任选一天参加核酸检测,共有种不同的结果,

    这些结果出现的可能性都相等.

    “3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作为事件A

    则该事件共包括不同的结果.

    所以

    小问2详解】

    的可能取值为0123

    0

    1

    2

    3

    P

    .

    22. 已知函数

    1是否存在实数使得上有唯一最小值,如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由;

    2已知函数有两个不同的零点,记的两个零点是.

    ①求证:

    ②求证:

    【答案】1存在,   

    2①证明见解析;②证明见解析

    【解析】

    【分析】1)求导,根据的取值范围讨论函数的单调性与最值情况;

    2)分离参数,根据函数有两个零点,可转为两函数有两个公共点,进而确定,且,①先证:,再证:,进而得证;②若证,即证,设,构造,根据导数判断函数单调性与最值,即可得证.

    【小问1详解】

    ,则

    时,恒成立,函数单调增,没有最值;

    时,令,解得,负值舍去,

    时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,

    所以当时,函数取到最小值,,解得

    所以存在满足条件的

    【小问2详解】

    ,得

    ,则

    ,解得

    函数上单调递减,在单调递增,

    上有唯一最小值点

    若方程有两个不同零点

    ,且

    ①函数的图象在点处的切线方程分别为

    且在,在

    先证:,即

    ,令,解得

    所以上单调递减,在上单调递增,

    所以

    再证:,即

    ,则恒成立,

    所以上单调递减,所以

    即可得,即

    ,则

    所以若证,即证

    ,即,即证

    ,即证明

    ,显然

    在区间上单调递减,

    在区间上单调递增,

    又因,所以在区间上单调递增,

    所以在区间上单调递增,

    所以,则不等式得证.

    【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.


     


     

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