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2022-2023学年浙江省杭州第二中学高三上学期第二次月考试题 数学(解析版)
展开杭州二中2022学年第一学期高三年级第一次月考
数学试卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得;,再根据交集的定义即可求得答案.
【详解】解:因为=,
当时,;当时,;当时,;
=,
又因为,
所以.
故选:C.
2. 已知向量,,若,则锐角的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据,可得,进而解得锐角.
【详解】由,得,
所以,
又为锐角,
所以,,
故选:A.
3. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析】利用以及二倍角公式,逐个选项判断,即可得到答案.
【详解】若,则,即.
若,则,则.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
4. 已知是方程的虚数根,则( )
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题设有且,将目标式化简为,即可得结果.
【详解】由题设,且,
而,
所以原式等于.
故选:C
5. 与函数的奇偶性相同,且在上有相同的单调性的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用幂函数的性质判断为偶函数,且在上单调递增,再根据奇偶性与单调性的定义,结合初等函数的性质依次判断各选项即可.
【详解】由幂函数的性质,得函数为偶函数,且在上单调递增;
令,其定义域为,
因为
,
所以为奇函数,故排除选项A;
令,因为,,
所以为非奇非偶函数,故排除选项B;
令,其定义域为,
因为,
所以为偶函数,
当时,在上单调递减,
所以排除选项C;
令,其定义域为,
因为,
所以为偶函数,
且对于,时,
由于,所以,,
所以,
所以,即,
即函数在上单调递增,故选项D符合题意.
故选:D.
6. 已知是自然对数的底数,若,则有( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件变形为,令,利用导数法求解.
【详解】解:因为,
所以,
令,则,
当时,,当时,,
又因为,
所以,
即,
又因为,且递减,
所以,
故选:A
7. 已知点P在函数的图像上,点Q是在直线上,记,则( )
A. M有最小值 B. 当M取最小值时,点Q的横坐标是
C. M有最小值 D. 当M取最小值时,点Q的横坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】先判定与直线平行且与的图像相切的直线的位置,切点到直线的距离即为M的最小值,再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值,再联立直线方程求出Q的横坐标.
【详解】将化为,
即直线l的斜率为,
因为,所以,
令,得,
∴当M最小时,点P的坐标为,
此时点P到直线的距离为,
所以M的最小值为;
过点P且垂直于的直线方程为,
联立,得,
即点Q的横坐标为.
故选D
8. 在中,三边长满足,则的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一:利用正弦定理边化角可得到,利用两角和差正弦公式可得,结合二倍角公式可得,利用两角和差余弦公式和同角三角函数商数关系可求得结果;
方法二:利用特殊值法,取,,,利用二倍角正切公式可求得,结合即可求得结果.
【详解】方法一:,由正弦定理得:,
,,;
,
,
,又,
,
,,,
,即,
整理可得:,
,,,,;
方法二:令,,,则满足;
则可知:,;
由得:,解得:或,
,,,.
故选:C.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知在同一平面的单位向量和非零向量,,则下列命题正确的是( )
A. B.
C. 若且,则 D. 若,则
【答案】CD
【解析】
【分析】直接利用单位向量,向量的垂直和向量共线的充要条件,向量数量积的运算判断选项的结论.
【详解】表示与共线的向量,表示与共线的向量,故A错误;
,,与不能比较大小,故B错误;
且,有且,单位向量和非零向量,在同一平面内,则,故C正确;
两个非零向量,,若,有,化简得,则,故D正确;
故选:CD
10. 在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列条件中,能使得的形状唯一确定的有( )
A. ,,
B. ,,
C. ,,
D. ,,
【答案】AB
【解析】
【分析】先利用三角形的三边关系得到,再结合得到,即判定选项A正确;先利用三角形的内角和定理得到,再结合正弦定理和边角关系判定选项B正确;先利用正弦定理将边角关系转化为边边关系,再利用余弦定理得到,再利用判定选项C错误;先利用诱导公式、两角差的正弦公式得到,进而判定三角形是直角三角形或等边三角形,即选项D错误.
【详解】对于A:根据三角形的三边关系得,
即,又,所以,
即的形状唯一确定,故选项A正确;
对于B:因为,所以,
解得,又因为,,
所以由,得,
解得,又,所以,
即三角形唯一确定,故选项B正确;
对于C:因为,
所以,则,
则,
因为,所以,
又,则,
所以三角形不存在,即选项C错误;
对于D:因为,
所以,
所以,
所以,
则或,
即或,
若,又,,所以;
若,又,,所以;
即是直角三角形或等边三角形,即选项D错误.
故选:AB.
11. 已知,则( )
A. 不等式的解集为
B. 函数在单调递减,在单调递增
C. 方程有两个不同的根的充要条件是
D. 若关于x的方程无解,则实数m的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,不等式转化为,从而可求出其解集,对于B,对函数求导后,利用导数可求出函数的单调区间,对于C,D,由选项B可求出函数的值域,从而可求出实数m的取值范围.
【详解】对于A,由,得,且,因为,
所以,且,解得,所以不等式的解集为,所以A正确,
对于B,的定义域为,由,得,令,得或,令,得或,所以在和上递增,在和上递减,所以B正确,
由选项B可知,在和上递增,在和上递减,因数,,且当从1的左侧趋近于1时,,当从1的右侧趋近于1时,,所以的值域为,所以若关于x的方程有两个不同的根的充要条件是,故C错误.
关于x的方程无解,则实数m的取值范围是,故D正确.
故选:ABD.
12. 下列命题正确是( )
A. 函数的最小值为9
B. 函数的最小值为
C. 函数的最小值为12
D. 函数的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A、B、C,令,,则,再构造函数,利用导数说明函数的单调性,即可求出函数的最小值;
【详解】解:对于A:因为,
所以
,
当且仅当,即时取等号,故A正确.
对于B:因,所以,
当且仅当,即取等号,显然,故等号不成立,故B错误.
对于C:
当且仅当时取等号,故C正确.
对于D,令,,则.
所以,
令,
则,,
,
令,解得或(舍去)或(舍去)或(舍去),
当时,当时,
所以,故D正确;
故选:ACD
三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.
13. 已知,则______.
【答案】
【解析】
【分析】由同角三角函数关系可得,由,根据正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】由得:,
.
故答案为:.
14. 已知关于x的方程有实数解,则最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据关于x的方程有实数解,结合辅助角公式可得,则点的轨迹为以原点为圆心,半径大于等于的同心圆,不妨设点的轨迹方程为,表示点到点距离的平方,求出点到圆上的点的最小值即可得解.
【详解】解:,
因为关于x的方程有实数解,
所以,即,
则点的轨迹为以原点为圆心,半径大于等于的同心圆,
设点的轨迹方程为,
表示点到点距离的平方,
因为,
所以点在圆内,
点到圆上的点的最小值为,
所以最小值时.
故答案为:.
15. 在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且,点F为线段BD上的一动点(包含端点),若,则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由向量加法法则可得,根据F为线段BD上的一动点(包含端点)有且、,构造并利用导数研究单调性,进而确定值域,即可得结果.
【详解】由,
所以且,结合目标式有,
,,
,(舍),
故在、上递减,在上递增,
当时,当时,
所以.
故答案为:
16. 已知对所有的非负整数均有,若,则______.
【答案】31
【解析】
【分析】根据已知关系式推得,进而可得,再分别求得、,由此求得,则,最后求.
【详解】令,则,可得,
当时,令,令,
令,,则,可得,
所以,
令,,则,可得.
故答案为:31
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图,已知边长为的正方形中,点在以为直径的的圆周上运动.
(1)当、、三点共线时,求的值;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)以点为坐标原点,、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系,求出点的坐标,利用平面向量数量积的坐标表示可求得的值;
(2设点,其中,且,利用平面向量数量积的坐标表示可求得的取值范围.
【小问1详解】
解:以点为坐标原点,、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系,
则、、、,,,
所以,直线的方程,圆的方程为,
联立,解得或,即点或.
(i)当点的坐标为,,,
此时,;
(ii)当点的坐标为,,
此时,.
综上所述,.
【小问2详解】
解:设点,其中,且,
,,
.
18. 已知函数.
(1)如果函数在处取到最大值或最小值,求的最小值;
(2)设,若对任意的x有恒成立,求的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先利用两角和的正弦公式得到,再利用题意得到,解出,,进而求出的最小值;
(2)先利用诱导公式、二倍角公式、两角和差的余弦公式得到,再利用恒成立得到进行求解.
【小问1详解】
,
因为在处取到最大值或最小值,
所以,解得,,
则当时,的最小值为.
【小问2详解】
因为
,
且恒成立,
即恒成立,
所以,解得,即;
即的取值集合为.
19. 在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足:.
(1)求的值;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1);
(2)或.
【解析】
【分析】(1)由和角正弦公式及三角形内角性质、正弦定理边角关系即可求值;
(2)由已知和(1)得、,应用余弦定理求a、c,再由三角形面积公式求面积.
【小问1详解】
,则,
所以.
【小问2详解】
由,且,则,
设,则
所以或,又,
当时;当时.
20. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1,2进行构造,第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2;依次构造,第次得到的数列的所有项的积记为,令.
(1)①求,,的值;
②求数列的通项公式;
(2)求证:.
【答案】(1)①,,,②;
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)①直接计算得解;②设第n次构造后得到的数列为1,,,…,,2,求出,再构造数列得解;
(2)求出,再代入化简即得证.
【小问1详解】
①,,
.
②设第n次构造后得到的数列为1,,,…,,2.
则,则第次构造后得到的数列为1,,,,,…,,,,2.
则,
∴,∴,
又∵,∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,
∴,所以.
【小问2详解】
证明:
.
21. 有3名志愿者在2022年10月1号至10月5号期间参加核酸检测工作.
(1)若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作,且各志愿者的选择互不影响,求3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作的概率;
(2)若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作,且各志愿者的选择互不影响,记表示这3名志愿者在10月1号参加核酸检测工作的人数,求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析,
【解析】
【分析】(1)先利用计数原理、排列知识得到所有结果数和满足要求的结果数,再利用古典概型的概率公式进行求解;
(2)先写出随机变量的所有可能取值,利用组合知识、古典概型的概率得到每个变量对应的概率,列表得到分布列,进而求出期望.
【小问1详解】
3名志愿者每人任选一天参加核酸检测,共有种不同的结果,
这些结果出现的可能性都相等.
设“3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作”为事件A,
则该事件共包括不同的结果.
所以.
小问2详解】
的可能取值为0、1、2、3,
,,
,,
0 | 1 | 2 | 3 | |
P |
.
22. 已知函数.
(1)是否存在实数使得在上有唯一最小值,如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由;
(2)已知函数有两个不同的零点,记的两个零点是,.
①求证:;
②求证:.
【答案】(1)存在,
(2)①证明见解析;②证明见解析
【解析】
【分析】(1)求导,根据的取值范围讨论函数的单调性与最值情况;
(2)分离参数,根据函数有两个零点,可转为两函数有两个公共点,进而确定,且,,①先证:,再证:,进而得证;②若证,即证,设,构造,根据导数判断函数单调性与最值,即可得证.
【小问1详解】
,,则,,
当时,恒成立,函数单调增,没有最值;
当时,令,解得,负值舍去,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
所以当时,函数取到最小值,,解得,
所以存在满足条件的;
【小问2详解】
由,得,
令,则,
令,解得,
函数在上单调递减,在单调递增,
故在上有唯一最小值点,
若方程有两个不同零点,,
则,且,
①函数的图象在点,处的切线方程分别为和
且在内,在上
先证:即,即,,
,令,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以;
再证:,即
令,则恒成立,
所以在上单调递减,所以,
令,,
即可得,,即;
②,则,
所以若证,即证,
即,即,即证,
即,
令,即证明
令,显然,
,
令,
∴,,,
故在区间,上单调递减,
在区间,上单调递增,
又因,所以在区间上单调递增,
故
所以在区间上单调递增,
所以,则不等式得证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三数学上学期第一次月考试题(Word版附解析): 这是一份浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三数学上学期第一次月考试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了 已知集合,集合,则,1,36,6B, 苏格兰数学家纳皮尔, 已知,则等内容,欢迎下载使用。
浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一数学上学期分班考试题(Word版附解析): 这是一份浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一数学上学期分班考试题(Word版附解析),共17页。试卷主要包含了选择题.,填空题,解答题.等内容,欢迎下载使用。
【数学】浙江省杭州四校联盟(杭州第二中学等四校)2022-2023学年高二下学期期中联考试题(解析版): 这是一份【数学】浙江省杭州四校联盟(杭州第二中学等四校)2022-2023学年高二下学期期中联考试题(解析版),共20页。试卷主要包含了考试结束后,只需上交答题卷, 已知函数,则下列结论正确的是, 已知,则的大小为, 已知函数,则等内容,欢迎下载使用。