2023届四川省绵阳南山中学高三上学期11月月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届四川省绵阳南山中学高三上学期11月月考数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：,,所以，故选A.
【解析】集合的运算.
2．已知复数满足（是虚数单位）,则复数的共轭复数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.
【详解】由已知可得，因此，.
故选：B.
3．若直线与直线垂直，则（ ）
A．或0B．C．或0D．1
【答案】A
【分析】根据直线垂直：即可求解.
【详解】由题意可得，
解得或0.
故选：A
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ）
A．1B．－1C．2D．
【答案】A
【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.
【详解】＝＝＝1.
故选：A.
5．已知与之间的线性回归方程为，其样本点的中心为，样本数据中的取值依次为2.5，，3.4，4.2，5.4，则（ ）
A．2B．2.8C．3D．3.2
【答案】C
【分析】根据线性回归方程过样本中心点求出，再根据平均数的算法可求m.
【详解】因为线性回归方程过样本中心点，所以，
所以.
故选：C.
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，然后利用诱导公式求解即可.
【详解】设，则，
故．
故选：B
7．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由可知，为偶函数，则，易知在上为增函数，由，则可选出答案.
【详解】因为，所以为偶函数，
所以．
因为在上且单调递增，且单调递增，
所以在上为增函数，且，
所以，
故选：C．
8．在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ）
A．该省考生数学成绩的中位数为75分
B．若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分
C．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人
D．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.
【答案】A
【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．
【详解】由频率分布直方图知中位数在上，设其为，则，
解得，A错；
要全省的合格考通过率达到，设合格分数线为，则，，B正确；
由频率分布直方图优秀的频率为，因此人数为，C正确；
由频率分布直方图得平均分为，考试数学成绩的平均分约为70,D正确．
故选：A.
9．已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由周期求得，再由最小值求得函数解析式，然后由单调性可得的范围，从而得最大值．
【详解】由题意，，，又，∴，
，时，，
又在上单调递减，所以，，即，的最大值是．
故选：D．
10．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可得已知圆与圆相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.
【详解】由题意可得：已知圆与圆相交，
∴，
∴，
解得且，
故选：B.
11．已知O为坐标原点，A，F分别是双曲线的右顶点和右焦点，以为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若的面积满足，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，为直角三角形，再根据，和，可知，根据离心率公式化简即可求出结果.
【详解】因为以为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），
所以为直角三角形；
设，
在中，，，，
因为，所以，
又，所以，两边平方得，
可化为，解得.
故选: C.
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，以及离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．
12．已知函数，若有极值，且与（为的导函数）的所有极值之和不小于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由有个不等实根，可得，可得的取值范围，设函数的极值点为，，由根与系数的关系可得，则与的所有极值之和，由单调性可得的范围，即可求解.
【详解】由题意得，
因为有极值，所以有个不等实根，
即，即，
因为，解得．
令，
由得，
设的极值点为，，则，为方程的根，
则，，
因为
，
所以，
令，易得在上单调递减，且，
所以．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是判断出有个不等实根，，计算
的值，对求导可得的极值，利用函数的单调性解不等式.
二、填空题
13．如图的矩形，长为5 m，宽为2 m，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为____；
【答案】4.6
【详解】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是,矩形的面积为10，设阴影部分的面积为
14．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影______．
【答案】
【解析】对式子两边平方化简后得，然后由平面向量的投影公式计算即可得解.
【详解】是单位向量，∴，
∵，∴，
化简得，即，
∴在方向上的投影是．
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题主要考查向量数量积的运算性质，平面向量的投影公式，解决向量的投影问题，应注意区分在方向上的投影，还是在方向上的投影，属于常考题.
15．已知函数，函数在处是连续的，若，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】构造，利用导数证明，再证明在上单调递增，转化为解不等式即得解.
【详解】构造，
∴，
当时，，函数单调递减，
当，，函数单调递增.
∴成立，
当时，
，
故在单调递增；
当时，单调递增，
又函数的图象在处连续不间断，
∴在上单调递增，因为，
所以，可得，
求得或，
故答案为:.
16．已知抛物线的焦点为，点的坐标为，动点在抛物线上，且，则的最小值是__________.
【答案】
【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立方程组求得点坐标（只要求得横坐标即可），然后计算，同理得，利用二次函数性质求得的最小值．
【详解】易知在抛物线上，的斜率都存在且不为0，
设的斜率为，直线方程为，
由得，是方程的一解，另一解为（不重合，因此），
抛物线的焦点为，
，（∵），
同理，
，
∴时，取得最小值11，此时满足题意．
故答案为：11.
【点睛】方法点睛：直线与抛物线相交弦长问题，弦所在直线为，可设，，直线方程与抛物线方程联立方程组后消元，应用韦达定理得,然后由弦长公式计算，本题中由于弦的一个端点已知，即方程的一个解已知，因此可由韦达定理求得另一解，从而由两点间距离公式直接计算．
三、解答题
17．随机调查了上海的两家物业公司：万科物业和绿地物业，为了深人了解这两家物业公司在市场上的声誉情况，随机调查了万科物业和绿地物业在上海的多个小区居民，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家物业公司在上海获得好评的概率；
(2)能否有的把握认为这两家物业公司是否获得好评与物业公司有关？
附：.
【答案】(1)，
(2)有的把握
【分析】（1）根据表格数据直接计算即可.
（2）利用公式计算随机变量的观测值，利用临界值表判断这两家物业公司是否获得好评与物业公司有关的可靠程度.
【详解】（1）根据表中数据，万科物业共有500人次评价，获得好评有480人次，
设万科物业获得好评事件为，则；
绿地物业共有500人次评价，获得好评有360人次，
设绿地物业获得好评事件为，则.
故：万科物业在上海获得好评的概率为；绿地物业在上海获得好评的概率为.
（2）列联表
，
根据临界值表可知，有的把握认为这两家物业公司是否获得好评与物业公司有关.
18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求；
(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长度.
①；②的周长为；③面积为.
【答案】(1)
(2)选①，无解；选②，；选③，
【分析】（1）利用正弦定理将条件中的边转化成角，将代入，即可求出，进而求出角；
（2）若选①，可得，不满足题意，故不存在满足条件的三角形；
若选②，首先根据的周长求出三角形三边长度，然后在中使用余弦定理即可求出中线的长度；
若选③，首先根据的面积求出与的长度，进而得到的长度，然后在中使用余弦定理即可求出中线的长度；
【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，，由于，所以.
（2）由（1）知，，故不能选①.
如图所示，设为的中点，则为边上的中线.
若选②，由（1）知，
设，由，得，则，
故周长为，解得.
从而，.
则在中，
由余弦定理得，解得.
若选③，已知，
得，即，则，
在中，由余弦定理得，
.因此边上的中线长为.
19．已知数列为正项等比数列，；数列满足.
(1)求；
(2)设的前项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先令和求出，从而得到公比，再求通项公式即可.
（2）首先根据已知求出，再利用裂项求和即可得到，根据数列的函数性质证明.
【详解】（1）令，得，所以，
令，得，
所以，又，所以，
设数列的公比为，
则，所以；
（2）当时，①
又，②
②–①，
因为，所以，时也成立，所以.
，
所以
.
易知单调递增，且，.
20．已知直线l过点P（1，0），与椭圆C：交于A，B两点，且直线l不与椭圆C的对称轴垂直．
(1)若直线l的斜率为1，M（，－）为线段AB的中点，求的值；
(2)若，点Q（16，0），当l变化时，直线AQ，BQ的斜率总是互为相反数，求C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）假设A，B两点坐标代入椭圆方程，构造出可利用中点坐标公式，构造出可利用斜率公式，即可求出答案.
（2）设直线l的方程，根据题意写出AQ，BQ的斜率，列出式子写出关系式；，再联立方程写出韦达定理化简关系式即可求出C的方程.
【详解】（1）设，代入椭圆方程得：
①-②得：
因为直线l的斜率为1，所以；因为M（，－）是线段AB的中点，所以，故
（2）设直线l的方程为，联立方程
化简得方程：
将代入方程得:
因为直线l与椭圆存在两个交点，故，
根据韦达定理:，
设，，则，
根据题意可知
因为，所以化简原式可得
即，得，则
故椭圆方程为：
21．已知函数．
(1)当时，求过点且和曲线相切的直线方程；
(2)若对任意实数，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意求得时的解析式，设出切点，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）对原不等式进行配凑，并构造函数，根据其单调性，转化原不等式并分离参数，结合函数最值，即可求得结果.
【详解】（1）当时，，，
因为点没有在曲线上，故不是切点，设切点为，直线斜率为，
则切线方程为，又因为该直线过点，
所以，即，
记，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，又，∴，
故切线方程为；
（2）当时，由可得，
即，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，
由可得，
所以，即，其中，
令，其中，则．
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数根据不等式恒成立求参数范围的问题，其中第二问中处理问题的关键是对原不等式，经过配凑后构造函数，从而简化问题，属综合中档题.
22．在平面直角坐标系​中，曲线​的参数方程是​(​为参数)，正方形​的顶点均在​上，且​依逆时针次序排列，点​.
(1)求​的普通方程及点​的坐标；
(2)设​为​内（包含边界）任意一点，求​的最小值.
【答案】(1)​，；​
(2)4
【分析】（1）消去参数得到普通方程，画出图形，数形结合求出点​的坐标；
（2）利用两点间距离公式表达出，利用配方法求出最小值.
【详解】（1）变形为，平方后相加得到
曲线​的普通方程为；
结合图象可求出
（2）设​.
原式​
，
当即​时取等号，其最小值为​.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得，再利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
（2）∵，当且仅当时等号成立，
∴函数的最小值为，则，
又∵，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
上式相加可得：，当且仅当时等号成立，
∴.
获得好评
未获得好评
万科物业
480
20
绿地物业
360
140
获得好评
未获得好评
万科物业
480
20
500
绿地物业
360
140
500
合计
840
160
1000