2023届甘肃省陇南、临夏、甘南三地高三上学期期中联考数学（理）试题（解析版）

2023届甘肃省陇南、临夏、甘南三地高三上学期期中联考数学（理）试题

一、单选题

1．集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为(　　)

A．7 B．8

C．15 D．16

【答案】C

【详解】A＝{0,1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.选C

2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】由，得：，则“”是“”的必要条件，

而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.

故选：B.

3．命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】全称命题的否定是特称命题,进而得到答案

【详解】由题, “,”的否定是,,

故选:C

【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题

4．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】依题意，直接写不等式，即可求得定义域．

【详解】依题意，，解得或，

函数的定义域为．

故选：．

5．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（    ）

A．60 B．11 C．50 D．55

【答案】D

【解析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，，

所以.

故选：D.

6．点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程．

【详解】设圆上任意一点为，中点为，

则，可得，

代入得，

化简得．

故选：A．

7．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为 (　　)

A． B． C． D．4

【答案】B

【详解】BC边所在直线的方程为，即x＋y＋1＝0；则d＝ .

8．已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 (　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【答案】D

【详解】∵由条件知过A(1,1)，B(1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD＝0，即＝0，得m＝2，n≠－3，∴点(m，n)有无数个．

9．直线恒过一定点，则此定点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】法一：利用分离参数法；法二：令参数，得到一条直线，令，得到另一条直线，解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.

【详解】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，

则，即，直线恒过点，

故选：D.

法二：在方程中，令得：，即，

令得：，将代入得，

将代入，得恒成立，

∴直线恒过点，

故选：D.

10．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．

【详解】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，

由题意知：当、时，、、、共面，

设平面的法向量为，，，

则，取，解得，

设平面的法向量为，，，

则，取，解得，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

故选：B.

11．若偶函数在上是增函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据在上是增函数，且，可得，，的大小关系，再根据偶函数的性质可得，，的大小关系．

【详解】因为在上是增函数，且，

所以，

又为偶函数，所以，

则，

故选：B．

12．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．

点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．

二、填空题

13．已知的定义域为[-2，3)，则的定义域是__________.

【答案】[1，6)

【解析】由x∈[-2，3)，得x+1∈，进而得到y=f（x）的定义域为，由–1≤x–2≤4，解出x的范围即可.

【详解】由x∈[-2，3)，得x+1∈，

∴y=f（x）的定义域为，

∴y=f（x–2）应满足–1≤x–2<4，解得1≤x<6，

故y=f（x–2）的定义域为[1，6)．

故答案为：[1，6)

14．已知，若，则n＝________．

【答案】－1或2

【分析】由题可得在上为减函数，由幂函数的性质即可得解.

【详解】∵，且，

∴在上为减函数，

又，∴ n=－1或n=2．

故答案为：－1或2.

【点睛】本题考查了幂函数性质的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.

15．设是数列的前项和，若，则________.

【答案】

【解析】令计算得出，然后推导出当为偶数时，，当为奇数时，，利用等比数列的求和公式可求得的值.

【详解】当时，，解得；

当时，.

当为偶数时，可得，则；

当为奇数时，可得，则.

因此，.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题考查已知与的关系求和，常用的数列求和方法如下：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.

16．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．

【答案】－6

【分析】分别根据斜率公式求出两条直线的斜率，再根据两直线平行，斜率相等即可求出a的值．

【详解】直线l2经过点M（1，1）和点N（0，﹣2），

∴==3，

∵直线l1经过点A（0，﹣1）和点B（﹣，1），

∴==﹣，

∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2，

∴﹣=3，解得a=﹣6，

故答案为﹣6．

【点睛】本题考查了两直线平行的条件，斜率公式，属于基础题．

三、解答题

17．已知函数，．

(1)当时，求的最值；

(2)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）利用二次函数的性质求的最值即可.

（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围．

【详解】（1）当时，，

∴在上单凋递减，在上单调递增，

∴，.

（2），

∴要使在上为单调函数，只需或，解得或．

∴实数a的取值范围为．

18．已知函数 .

(1)求不等式的解集；

(2)若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，不等式化为；当时，不等式化为；求并集即可；

（2）画出的图象，方程有三个不同实数根等价于与有三个不同的交点，解不等式即可求解.

【详解】（1）当时，由得，，

当时，由得或，，

综上所述，不等式的解集为；

（2）方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象：

由图可知：，得：或

所以，实数的取值范围.

19．已知数列的前项和与通项满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先由题中条件，求；再由，根据题中条件，得到，判定数列为等比数列，进而可求出其通项公式；

（2）由（1），根据题中条件，得到，求出，再由裂项相消的方法，即可求出数列的和.

【详解】（1）当时，.

当时，，又，，

即数列是首项为，公比为的等比数列，故.

（2）由已知得，

，

.

.

.

【点睛】本题主要考查由递推公式求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，属于常考题型.

20．如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点.

（1）证明平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，再证出，由线面垂直的判定定理即可证明.

（2）以、、为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据，利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】（1）证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，

∵，，∴平面，∴，

又，，∴，又，

∴平面；

（2）解：由（1）可知，，，，

故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

则即，

设，则、，则，

设与平面所成角为，

则，

∴与平面所成角的正弦值为.

【点睛】思路点睛：

解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：

（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；

（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.

（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.

（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.

21．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

【答案】（1） （2）

【详解】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．

∴＝3．

即2λ2－5λ＋2＝0，

∴λ＝2或．

∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．

(2)由

解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．

∴dmax＝|PA|＝．

22．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的焦点为，点在椭圆上，且的面积为1，求点的坐标.

【答案】（1）.（2）.

【详解】试题分析：（1）根据题设条件列出关于基本量的方程组，解出即可．（2）中已知焦点三角形的面积，但其底边已知，故的纵坐标可求，再利用在椭圆上求出其横坐标即可．

解析：

（1）的焦点为，设方程为，焦距为，则，把代入，则有，整理得，故或（舎），，故椭圆方程为．

（2），设，则面积为，则，而 ，所以，，所以点有4个，它们的坐标分别为．