2023届福建省龙岩市高三上学期期中复习数学试题（解析版）

2023届福建省龙岩市高三上学期期中复习数学试题

一、单选题

1．已知集合，．若，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：集合，，，故选B．

【解析】集合的运算．

2．已知中，，，，则的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.

【详解】由余弦定理得：，解得：，

.

故选：.

【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理构造方程求得，属于基础题.

3．在△ABC中，“A＞60°”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】 因为为的内角，则，

 又由，则， 而当时，，

 所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.

4．等差数列中的、是函数的极值点，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：.因为、是函数的极值点，所以、是方程的两实数根，则.而为等差数列，所以，即，从而，选A.

【解析】

5．不等式的解集是（    ）

A． B．且 C．或 D．

【答案】C

【解析】不等式化为即可求出.

【详解】将不等式化为，解得或，

故不等式的解集为或.

故选：C.

6．已知函数，下列结论正确的是(　　)

A．函数的最小正周期为2π

B．函数在区间上单调递增

C．函数的图像关于直线x＝对称

D．函数的图像关于对称

【答案】C

【分析】对 作恒等变换，转化为单一三角函数表达式，再判断其函数性质.

【详解】由已知，得 ，

函数的最小正周期T＝＝π，A错误；

当<x<时， <2x＋<，所以函数在上不具有单调性，B错误；

因为 ，即当x＝时，函数取得最大值，所以函数的图像关于直线x＝对称，C正确；

， 是函数的图像的一个对称中心，D错误；

故选：C.

7．给出下列四个结论：

①若命题，则；

② “”是“”的充分而不必要条件；

③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；

④若，则的最小值为1．

其中正确结论的个数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】①由存在命题的否定即可判断；②求出方程的解即可判断；③由逆否命题的概念，写出逆否命题即可判断；④利用基本不等式求目标式最值即可判断

【详解】对于①，若，则，故正确；

对于②，由可得或，则“”是“”的必要不充分条件，故不正确；

对于③，命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”，故正确；

对于④，若，，，则，当且仅当时取等号，故正确，

故选：C

8．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=

A． B．7 C．6 D．

【答案】A

【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝

故答案为

【解析】等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．

二、多选题

9．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为，，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为（       ）

A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列

C．a1b30＝105 D．

【答案】BD

【分析】由题意知，{an}为等差数列，a1＝5，由S30＝390，求出数列的公差，然后根据题意逐个分析判断即可

【详解】由题意知，{an}为等差数列，a1＝5，S30＝390，设公差为d，则，所以.

对于B，{bn}中，，故{bn}为等比数列，故B正确.

对于A，，故A错误.

对于C，因为，所以，故C错误.

对于D，，故D正确.

故选：BD

10．已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．+ C． D．

【答案】AB

【分析】对于A，由，可得，即可判断；

对于B，由+，利用基本不等式求解即可；

对于C，由，即可判断；

对于D，由，及即可求得，从而即可判断.

【详解】解：因为，且，

对于A，，所以，当，即时，等号成立，故正确；

对于B，因为，所以，+，当，即时，等号成立，故正确；

对于C，因为，当，即时，等号成立，故错误；

对于D，因为，又因为，所以，所以，即，当，即时，等号成立，故错误.

故选：AB．

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意得，进而构造函数并根据其单调性可判断，再构造函数可得，进而可判断.

【详解】解：由已知得 ，

设，得，

所以，当时，，单调递减，

所以，即，所以，A正确，B错误；

设，则，

所以，在上上单调递增，

所以，即

又

，

所以，C错误，D正确．

故选：AD

12．已知偶函数的定义域为R，也是偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为是偶函数，所以，．因为是偶函数，所以，则．

．解得．因为在上单调递增，所以．因为，所以．

故选：AC

三、填空题

13．用符号“”或“”填空．

______，______，______.

【答案】              

【分析】根据R，N，Z所代表的集合，填入正确结果.

【详解】因为R为实数集，N为自然数集，Z为整数集，

故，，

故答案为：，，.

14．已知，，则______．

【答案】

【分析】先根据，，求出，再根据凑角法，余弦的差角公式进行求解.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

故

故答案为：.

15．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________.

【答案】

【解析】由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，将侧面积表示成关于的函数，再利用一元二次函数的性质求最值.

【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，

所以.

∴，

当时，的最大值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.

16．若函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的一个可能的值为___________；

【答案】（答案不唯一）

【分析】先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出，即可得出结果．

【详解】解：将函数的图像向右平移个单位长度后，

得到函数的图像，

即与函数的图像重合，

即，，

所以，，

故答案为：（答案不唯一）．

四、解答题

17．在中，角所对的边分别为，且满足，．

（Ⅰ）求的面积；

（Ⅱ）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用二倍角公式由已知可得；根据向量的数量积运算，由得，再由三角形面积公式去求的面积；（2）由（1）知，又，解方程组可得或，再由余弦定理去求的值．

【详解】（1）因为，所以

又，所以，

由，得，所以

故的面积

（2）由，且，得或

由余弦定理得，故

【解析】（1）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（2）余弦定理．

18．设复数，其中，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．

（1）求复数的值；

（2）证明：当时，；

（3）求数列的前100项之和．

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)

【分析】(1)根据复数的运算法则求解即可；

(2)由题设条件得出，当时，，结合向量共线定理即可证明；

(3)由题设条件推导出，利用这个条件以及等比数列的求和公式化简即可得出答案.

【详解】(1)，

(2)由已知得

当时，

令，则，即

即存在非零实数，使得

所以当时，

(3),得

又，，则

【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、等比数列的求和公式，属于较难题.

19．已知函数在上单调递增，在上单调递减.

（1）求的值；

（2）当时，函数恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围及的值.

【答案】（1）（2）    

【分析】（1）由时取得最大值1，从而有，，又由题意且，可得，从而可求的值；

（2）令，可求的值域为，，由题意可得，从而解得实数的取值范围．

【详解】（1）由已知条件知，时取得最大值1，从而有，，即，，

又由题意可得该函数的最小正周期满足：且，

于是有，，满足的正整数的值为0，

于是.

（2）∵函数恰有两个不同的零点，

∴与在有两个不同的交点；

由（1）得在单调递增，在单调递减，

∵，

∴.

∵，

∴.

【点睛】本题考查正弦函数的周期性、根据函数的零点个数求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

20．已知，，函数，，且曲线与曲线在处有相同的切线．

(1)求，的值；

(2)证明：当时，曲线恒在曲线的下方．

【答案】(1)

(2)证明过程见解析

【分析】（1）对求导，根据曲线与曲线在处有相同的切线，得到，且，列出方程，求出；

（2）要使当时，曲线恒在曲线的下方，只需证，构造，二次求导后得到在上单调递增，在上单调递减，结合，得到时，，即.

【详解】（1）因为，

，

所以，，

因为曲线与曲线在处有相同的切线，

所以，且，

即，解得：，

故；

（2）要使当时，曲线恒在曲线的下方，

只需证，

设，即，定义域为，

，

令，

则恒成立，

所以在上单调递减，

又因为，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

即当时，取得极大值，也是最大值，，

当时，，即，

所以当时，曲线恒在曲线的下方．

21．已知函数．

(1)若曲线在点处的切线与直线：垂直，求；

(2)若对，存在，使得有解，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，得到，根据切线与直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出；

（2）问题转化为当时，，，对求导，对导函数因式分解，结合和的取值范围及导函数两零点的大小，对进行分类讨论，求出不同范围下的的最小值，在构造关于的函数，求导研究其单调性，极值，最值情况，从而求出的取值范围.

【详解】（1）,

则,

因为曲线在点处的切线与直线：垂直，

所以，解得：；

（2），存在，使得有解，

等价于当时，，，

，

当时，，即在上单调递增，

所以，所以，即；

当时，，易得在上单调递增，

故，即，恒成立，

即，恒成立，

令，则在上单调递增，

所以当时，，所以；

当时，，故在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以此时，恒成立，

①当时，恒成立，此时，

②当时，，可转化为，，

设，，，

则，令，得，

当，，令，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极大值，也是最大值，，

即，

③当时，，可转化为，恒成立，

即，，

设，，

，，

则，

令，，令，，令，，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，也是最小值，

，即，

又，所以，

综上：的取值范围是.

【点睛】导函数解决不等式恒成立或能成立问题，参变分离是一种很重要的方法，注意参变分离时，乘以或除以某一项正数时，不等号方向不改变，若是负数，则要不等号方向改变，再构造函数，求出其单调性，极值和最值情况，从而求出参数的取值范围.

22．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场.据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量（单位：L）与速度（单位：km/h）的关系近似地满足除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元.已知燃油价格为每升（L）7.5元.

（1）设运送这车水果的费用为（元）（不计返程费用），将表示成速度的函数关系式；

（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

【答案】（1）；（2）卡车以100km/h的速度行驶.

【分析】（1）由题意，分与两种情况，分别计算，由此能将表示成速度的函数关系式．

（2）当时，是单调减函数，故时，取得最小值，当时，，由导数求得当时，取得最小值，比较即可得解．

【详解】解：（1）由题意，当时，

，

当时，

，

∴.

（2）当时，

是单调减函数，

故时，取得最小值，

当时，，

由，

得.

当时，，

函数单调递增，

∴当时，取得最小值，

由于，

所以，当时，取得最小值.

答：当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少.

【点睛】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．