2022-2023学年辽宁省抚顺市重点高中高三上学期12月考试数学试题（解析版）

抚顺市重点高中2022-2023学年高三上学期12月考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：集合与逻辑､函数与导数､三角函数､不等式､向量与复数､数列.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知集合，则集合可能为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若复数的实部与虚部异号，则的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

3.设命题，命题：每个三角形都有内切圆，则（    ）

A.是真命题    B.的否定：

C.是假命题    D.的否定：存在一个三角形没有内切圆

4.已知数列满足，若，则（    ）

A.    B.1    C.6    D.12

5.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知的垂心为，则“不在的外部”是“为锐角三角形”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

7.若函数恰有3个零点，则的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形边上任意一点，则的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若，则的值可能为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A.

B.

C.直线是图象的一条对称轴

D.函数在上单调递减

11.若对任意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”.（    ）

A.至少存在一个等比数列不是“数列”

B.至少存在两个常数列为“数列”

C.若是“数列”，则也是“数列”

D.对任意的总是“数列”

12.已知函数，则（    ）

A.的最小值为

B.的极大值为

C.当的零点个数最多时，的取值范围为

D.不等式的解的最大值与最小值之差小于

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量且，则__________.

14.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环，已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为__________.

15.写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________.

①为奇函数；②为偶函数；③在上的值域为.

16.如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径相等（半径大于1分米）.若该几何体的表面积为平方分米，其体积为立方分米，则的取值范围是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

定义矩阵运算：.

（1）计算；

（2）若，求的最小值.

18.（12分）

已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.

（1）求的解析式；

（2）将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，求曲线的对称中心的坐标.

19.（12分）

已知某观赏渔场有四个观赏亭，观赏亭A位于观赏亭B的正北方向且距离为300米，观赏亭C位于观赏亭B的东偏南30°方向且距离为500米，观赏亭D位于观赏亭C的东北方向.假设这四个观赏亭处于同一高度

（1）求观赏亭A与观赏亭C之间的距离；

（2）设观赏亭B与观赏亭D之间的距离等于观赏亭A与观赏亭C之间的距离，求.

20.（12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性.

（2）当时，试问曲线是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，请说明理由.

21.（12分）

已知数列满足.

（1）证明：数列为等差数列.

（2）设数列的前项和为，求，并求数列的最大项.

22.（12分）

已知函数.

（1）若，证明：当时，.

（2）若，求的取值范围.

高三数学试卷参考答案

1.D  .故集合可能为.

2.A  因为，所以，解得.

3.D  是假命题，是真命题.的否定：的否定：存在一个三角形没有内切圆.

4.D  由题可知，，则，因为，所以数列是以为公比的等比数列，因为，所以.

5.C  因为，所以.故

6.B  因为锐角三角形的垂心在三角形的内部，直角三角形的垂心为直角的顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部，所以“不在的外部”是“为锐角三角形”的必要不充分条件.

7.A  由，得作出函数的图象，如图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，从而有3个零点.

但对恒成立，则，故.

8.D  取的中点（图略），则.

当点与点或点重合时，取得最大值，且最大值为，故.的最大值为.

9.AD  设，则，解得或.

10.BC  由题可知，的最小正周期，解得，则.又，所以，A不正确.，B正确.当时，，所以直线是图象的一条对称轴，C正确.，当时，，函数不单调，D不正确.

11.AB  对于，若，则是等比数列，由，得，则不是“数列”.

对于B，由，得或1，所以至少存在两个常数列为“数列”.

对于C，若，则是“数列”，令，设，则，故不是“数列”.

对于D，取，则.当时，，此时，故对任意的不总是“数列”.

12.BCD  .当或时，；当或时，.故的极大值为的最小值为，B正确，A错误.

的零点个数最多为4，此时，解得，C正确.

因为，所以不等式的解的最大值与最小值之差小于，D正确.

13.  因为且，所以解得.

14.  如图，依题意可得弧的长为，弧的长为，则，即.因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数.

15.（答案不唯一）  或均可.

16.  设圆柱的底面半径与高分别为分米，分米，则该几何体的表面积平方分米，则，所以该几何体的体积，

则.当时，，则在上单调递增，而，故的取值范围是.

17.解：（1）

.

（2）因为，

所以，则，

又，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

18.解：（1）依题意可得

解得，

则，因为的图象关于直线对称，

所以，

又，所以.

故.

（2）依题意可得，

令，得，

故曲线的对称中心的坐标为.

19.解：（1）依题意可得，，

米，米，设米，

由余弦定理可得，

故观赏亭与之间的距离为700米.

（2）依题意可得，，

.

由正弦定理可得，

则.

20.解：（1）.

当时，在上单调递增.

当时，若

；若.

则在上单调递减，在上单调递增.

当时，若；若.

故在上单调递增，在上单调递减.

（2）设切点为，则

消去，得，

即，解得或.

当时，；当时，.

所以曲线存在过坐标原点且斜率不为0的切线，且切点的横坐标为.

21.（1）证明：因为，

，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列.

（2）解：由（1）可得，即，

则，

故，

，

则

，

得.

设，则.

当时，，则；

当时，.

则.

故.

22.（1）证明：因为，

所以.

令函数，则.

当时，，所以在上单调递增，

故，即，

则在，上单调递增.

故当时，.

（2）解：等价于等价于.

令函数，则等价于.

令函数，则，当时，

单调递减，当时，单调递增，故，即恒成立.

若，则在上恒成立，

单调递增，恒成立，符合题意.

若，则.

当时，单调递减；

当时，单调递增

.此时，这与恒成立矛盾，不符合题意.

综上所述，的取值范围为.