2023届四川省部分学校高三上学期12月大联考数学（理）试题含解析

2023届四川省部分学校高三上学期12月大联考数学（理）试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】结合复数乘法以及复数相等的知识求得正确答案.

【详解】依题意，

即，

所以，即.

故选：C

2．已知数列满足，且，则（    ）

A．18 B．10 C．8 D．5

【答案】A

【分析】根据递推公式及可求出结果.

【详解】因为，，

所以，

，

.

故选：A

3．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，再根据，，分别来求出的值即可.

【详解】,

，

当，即时，符合；

当时，，得；

当时，，得；

则a的取值集合是

故选：C

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式将化为，两边平方并利用二倍角的正弦公式可求出结果.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以.

故选：B

5．某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表：

则这组数据的中位数和众数分别为（    ）A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49

【答案】D

【分析】根据中位数和众数的定义即可求解.

【详解】数据总个数为20个，

因此中位数是第10个与第11个数据的中位数，即，

众数为出现最多的数据，即数据49（出现6次），

故选：D.

6．明朝朱载培发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别是，，则大吕和夹钟的波长之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】等比数列第一和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二和第三项可得答案.

【详解】

故选：C

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数函数的单调性得到，根据指数函数的单调性得到，由此可得答案.

【详解】因为，，

所以，

因为，，

所以.

故选：D

8．在中，，分别在，上，且，，，交于点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过点作的平行线，根据线线平行可得三角形相似，进而得到的长度之比.

【详解】

如图，过点作的平行线交于

在中，为中位线，

又

在中，

所以

故选：A

9．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.

【详解】记3种玩偶分别为，小明购买4个盲盒，4个盲盒包含的玩偶有:

，，，

，，，，，，，，，，，，,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,, ,,,,, ,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,, ,,,,, ,,,,,

所以基本事件总数为种，

其中他能集齐3种玩偶的有种，

所以他能集齐3种玩偶的概率是.

故选：B

10．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，成立，当时，，若对任意的，都有，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数在区间、上的值域，然后在时解不等式，根据题意可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，即可得解.

【详解】令，其中，则，

所以，函数为偶函数，

当时，，

则当时，，

则，

当时，，

则，

当时，由可得或，

当时，，

由可得，解得.

故选：A.

11．设数列的前n项和为，，，且，则的最大值是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】将化为，可得，，解不等式组求出，可得结果.

【详解】当时，由，

得，

因为，所以，

所以，所以，

又满足上式，

所以，

所以，

所以，

设为数列中的最大项，

则，所以，所以，

所以，所以，

因为，所以，

所以的最大值是.

故选：C

12．已知定义在上的函数的导函数为，对任意的x满足.若，且关于x的方程有2个不同的实根，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由及，求出，将关于x的方程有2个不同的实根，转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，画出函数的草图，结合图象列式可求出结果.

【详解】由，得，得，

所以，所以，

因为，所以，所以，所以，

所以，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

当时，恒成立，又，

所以的草图如图：

因为关于x的方程有2个不同的实根，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，

由图可知，，得.

故选：B

【点睛】关键点睛：将关于x的方程有2个不同的实根，转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象求解是解题关键.

二、填空题

13．若函数的值域是，则______.

【答案】

【分析】根据二次函数的值域列式可求出结果.

【详解】因为函数的值域是，

所以，解得.

故答案为：.

14．的展开式中的系数为_________.

【答案】60

【分析】先求出展开式通项，令的指数为3即可求出.

【详解】的展开式通项为，

令，解得，所以展开式中的系数为.

故答案为：60.

15．已知函数，则曲线经过点的切线方程是______．

【答案】或.

【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点即可.

【详解】设切点为对求导得：

，

切线方程为：，

切线过，

解之：或1，所以斜率或，

又过，

代入点斜式得切线方程为：或，

故答案为：或.

16．已知函数在上恰有3个零点.给出下列4个结论：①，②在上单调递减，③在上恰有2个极值点，④函数在上最多有3个零点.其中所有正确结论的序号是______.

【答案】②④

【分析】对于①：根据零点个数列不等式求的范围；

对于②：求出范围，再根据函数来判断来判断；

对于③：求出极值点，再根据的取值逐一验证；

对于④：求出零点，再根据的取值逐一验证.

【详解】对于①：

，则

因为函数在上恰有3个零点

，解得，①错误；

对于②：当时，加上，有，

函数在上单调递减，故在上单调递减，②正确；

对于③：令，得，

当时，，

当时，

当时，，

当，，

故在上可能有3个极值点，故③错误；

对于④：，则，

，

，

当时，函数在上有2个零点；

当时，函数在上有1个零点；

当时，函数在上有2个零点；

当时，函数在上有3个零点；

故函数在上最多有3个零点，故④正确

故答案为：②④

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，，且．

(1)求的值；

(2)若，的面积是，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式等知识化简已知条件，从而求得的值.

（2）先求得，利用三角形的面积公式求得，再利用余弦定理求得.

【详解】（1）依题意，，

由正弦定理得，

，

所以

，由于，所以，

所以，则．

（2）由（1）得，所以，

由解得，

由于，所以，

由余弦定理得.

18．现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人.某机构随机抽取了100名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根据调查结果，得到如下表数据：

(1)根据表中调查数据，判断是否有95%的把握认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.

(2)若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列与期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)有95%的把握

(2)分布列见解析，

【分析】（1）直接根据的公式计算即可判断；

（2）先确定这10人中，男性3人，女性7人，再通过超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求出期望.

【详解】（1）由已知，

故有95%的把握认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.

（2）若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，

则这10人中，男性3人，女性7人，

随机抽取4人，则X的可能取值有，

，

，

，

，

则X的分布列为

则.

19．如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．

(1)证明：平面．

(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求二面角的余弦值．

【详解】（1）等腰梯形中，，，，

则

则，∴

又由，可知

又，面，面

故面

（2）过点C作平面，以C为原点，分别以

所在直线为轴建立空间直角坐标系

则，，，，

则，

设面法向量为

则，则，

令，则，，则

又面一个法向量为

故二面角的余弦值为

20．已知椭圆C：与椭圆的离心率相同，为椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在的坐标为，理由见解析

【分析】（1）先求出椭圆的离心率为，由此得到，将点的坐标代入椭圆，得到，再代入，解得，，则可得结果；

（2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB为直径的圆经过定点，再证明猜想，设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，，利用，，，证明即可.

【详解】（1）在椭圆中，，，，离心率，

在椭圆C：中，，

所以，化简得，

因为在椭圆C：上，

所以，所以，所以，，

所以椭圆.

（2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB为直径的圆的方程为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB为直径的圆的方程为，

联立，解得，

由此猜想存在，使得以AB为直径的圆是经过定点，

证明如下：

当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线，

联立，消去并整理得，

，

设、，

则，，

则，

，

因为

，

所以，所以点在以为直径的圆上，

综上所述：以AB为直径的圆是经过定点.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．已知函数，是的导函数．

(1)若关于的方程有两个不同的正实根，求的取值范围；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．（参考数据：）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，关于的方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的正实根，令，利用导数求出其单调区间，从而可得出答案；

（2）当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，利用导数求出函数的最小值即可得解.

【详解】（1）解：，

关于的方程有两个不同的正实根，

即方程有两个不同的正实根，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，上递增，

所以，

又当时，，当时，，

所以，即，

所以；

（2）解：当时，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，

则

,

当时，，所以函数在上递增，

当时，

令，

则，

所以函数在上递增，

所以，

所以当时，，即，

所以函数在上递增，

所以，

所以，

所以.

【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根及函数不等式恒成立问题，解决两个问题的关键都是分离参数，计算量较大，有一定的难度.

22．在直角坐标系xOy中，直线l：，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为.

(1)求直线l与曲线C的极坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求的面积.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）直接根据可得极坐标方程；

（2）求出圆心到直线l的距离以及弦长，再求出点P到直线l的距离，进而可得的面积.

【详解】（1）直线l的极坐标方程为，

对于曲线C的参数方程为（为参数），

消去参数得，

代入得，

整理得，

即曲线C的极坐标方程为，，直线l的极坐标方程为；

（2）曲线C：，圆心为，半径为，

圆心到直线l的距离，

，

又点P到直线l的距离为

.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)记的最小值是m，若，，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值可求出结果；

（2）分类讨论去绝对值求出，再利用基本不等式可求出结果.

【详解】（1）由题意得

当时，不等式可化为，解得；

当时，不等式可化为，解得；

当时，不等式可化为，解得，

所以不等式的解集为.

（2）当时，，

当时，，

当时，，

所以当时，取得最小值，所以，，

所以,

当且仅当且，即，时，等号成立.

所以的最小值为.