【寒假自学】2023年人教A版高一数学必修第二册-第06讲《平面向量的概念》寒假精品讲学案（含解析）

第06讲 平面向量的概念

【学习目标】

1、了解向量的实际背景和概念．

2、清楚向量的几何表示．

3、区分相等向量与共线向量．

【考点目录】

考点一：向量的基本概念

考点二：向量的表示方法

考点三：利用向量相等或共线进行证明

考点四：向量知识在实际问题中的简单应用

【基础知识】

知识点一：向量的概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．

2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．

知识点诠释：

（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．

知识点二：向量的表示法

1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．

2、向量的表示方法：

（1）字母表示法：如等．

（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．             

知识点诠释：

（1）用字母表示向量便于向量运算；

（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

知识点三：向量的有关概念

1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．

知识点诠释：

（1）向量的模．

（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．

2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．

3、单位向量：长度等于1个单位的向量．

知识点诠释：

（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．

4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．

知识点诠释：

在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．

知识点四：向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．

规定：与任一向量共线．

知识点诠释：

1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．

2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．

3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．

【考点剖析】

考点一：向量的基本概念

例1．给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

考点二：向量的表示方法

例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，

（1）与向量相等的向量；

（2）与向量共线的向量；

（3）与向量平行的向量.

例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．

（1）试以B为起点画一个向量，使；

（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．

考点三：利用向量相等或共线进行证明

例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．

例7．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.

（1）写出与向量共线的向量；

（2）求证:.

考点四：向量知识在实际问题中的简单应用

例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．

（1）试作出向量；

（2）求．

例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：

（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；

（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.

【真题演练】

1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（    ）

A．质量 B．功 C．温度 D．力

2．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（    ）

A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量

C．若，则 D．任意向量的模都是正数

3．（2022·山东东营·高一期中）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）

A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起点的向量 D．共线向量

4．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；

③若与同向，且，则>；

④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．

其中假命题的个数为（　　）

A．1 B．2

C．3 D．4

5．（多选题）（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列说法正确的是（    ）

A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件

B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上

C．与是非零向量，若与同向，则与反向

D．设为实数，若，则与共线

6．（2022·全国·高一课时练习）下列各量中，是向量的是___________.（填序号）

①密度；②体积；③重力；④质量.

7．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.

(1)写出与向量共线的向量；

(2)求证：.

8．（2022·全国·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量，使；

(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？

【过关检测】

一、单选题

1．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（  ）

A．若，则

B．若，则存在唯一实数使得

C．若，，则

D．与非零向量共线的单位向量为

2．（2022·陕西师大附中高一期中）下列命题正确的是（    ）

A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等

C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线

3．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2022·全国·高一课时练习）若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（    ）

A．①④ B．③ C．①②③ D．②③

5．（2022·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD是等腰梯形，则下列关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（    ）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量

C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

7．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中，正确的是（    ）

A．长的有向线段不可能表示单位向量

B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量

C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量

D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移

8．（2022·陕西渭南·高一期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

二、多选题

9．（2022·广西贺州·高一期末）以下选项中，能使成立的条件有（    ）

A． B．或

C． D．与都是单位向量

10．（2022·全国·高一课时练习）下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

11．（2022·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）下列叙述中错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则与方的方向相同或相反

C．若且，，则

D．对任一向量，是一个单位向量

12．（2022·全国·高一单元测试）下列说法中正确的是（    ）

A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或

C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量

三、填空题

13．（2022·陕西渭南·高一期末）若为任一非零向量，为单位向量，给出下列说法：

①；    ②；

③；    ④；

⑤若是与同向的单位向量，则.

其中正确的说法有______个.

14．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是__________（写序号）．

①若与共线，则点A、B、C、D共线；

②四边形为平行四边形，则；

③若，则；

④四边形中，，则四边形为正方形．

15．（2022·全国·高一课时练习）已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.

16．（2022·全国·高一课时练习）“”是“A，B，C，D四点共线”的________条件．

四、解答题

17．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.

18．（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：

(1)与相等的向量有哪些？

(2)的相反向量有哪些？

(3)与的模相等的向量有哪些？

19．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．

(1)写出与向量共线的向量；

(2)求证：．

20．（2022·全国·高一课前预习）判断下列各小题中的向量与是否共线.

(1)    

(2) ，

21．（2022·全国·高一专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量，使；

(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？

22．（2022·全国·高一专题练习）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.

（1）求证：；

（2）求.