第37讲 2023高考热点分类提分复习 不等式选讲归类

第37讲 不等式选讲归类目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc21959" 【题型一】 解不等式：含参  PAGEREF _Toc21959 2 HYPERLINK \l "_Toc31363" 【题型二】 绝对值恒成立（存在）求参1：公式法“和”  PAGEREF _Toc31363 4 HYPERLINK \l "_Toc12394" 【题型三】 绝对值恒成立（存在）求参2：公式法“差”  PAGEREF _Toc12394 5 HYPERLINK \l "_Toc31443" 【题型四】 绝对值恒成立（存在）求参3：给解集（或子集）  PAGEREF _Toc31443 7 HYPERLINK \l "_Toc3564" 【题型五】 绝对值恒成立（存在）求参4：利用单调性求参  PAGEREF _Toc3564 9 HYPERLINK \l "_Toc6543" 【题型六】 绝对值恒成立（存在）求参5：形如技巧型  PAGEREF _Toc6543 12 HYPERLINK \l "_Toc5135" 【题型七】 绝对值和均值型  PAGEREF _Toc5135 15 HYPERLINK \l "_Toc18374" 【题型八】 证明不等式1：柯西型“定位法”  PAGEREF _Toc18374 17 HYPERLINK \l "_Toc4266" 【题型九】 证明不等式2：柯西“分母分子配对”型  PAGEREF _Toc4266 19 HYPERLINK \l "_Toc24788" 【题型十】 证明不等式3：柯西取等与“圆系凑配”型  PAGEREF _Toc24788 22 HYPERLINK \l "_Toc11015" 【题型十一】 证明不等式4：三元不等式证明  PAGEREF _Toc11015 24 HYPERLINK \l "_Toc10955" 【题型十二】 证明不等式5：分析法与综合法  PAGEREF _Toc10955 26热点题型总结【题型一】 解不等式：含参【典例分析】已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围.【解析】试题解析：（1）∵，∴， ∵的解集为，∴，∴. （2）∵，…8分∵，使得成立，∴，即，解得，或，∴实数的取值范围是. 【提分秘籍】基本规律基本公式法1.2.【变式演练】1.已知函数（1）若的解集为，求实数的值；（2）当且时，解关于的不等式试题解析：（1）因为所以 （2）时等价于当所以舍去当成立当成立所以，原不等式解集是2.设函数,其中．（Ⅰ）当时，求不等式的解集;（Ⅱ）若不等式的解集为,求的值．试题解析：（Ⅰ）当时，可化为． 由此可得 或．故不等式的解集为． ( Ⅱ) 由得 此不等式化为不等式组或 即 或 8分因为，所以不等式组的解集为， 由题设可得，故． 3.已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得， .又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为， ， ，，解得.∴实数的取值范围为．【题型二】 绝对值恒成立（存在）求参1：公式法“和”【典例分析】已知函数．（1）若，解不等式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．试题解析：（1）当时，，即，解得；（2），若恒成立，只需，即或，解得或.【提分秘籍】基本规律 利用公式|a±b|≤|a|+|b|【变式演练】1.设（1）当，求 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的取值范围；（2）若对任意x∈R，恒成立，求实数的最小值．试题解析：（1），即依题意： 由此得a的取值范围是（2）当且仅当时取等号解不等式得.故实数a的最小值为.2.已知不等式|x+3|<2x+1的解集为{x|x>m}.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x-t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值.试题解析：（Ⅰ）由|x3|2x1得，或，解得x=2，依题意m=2. （Ⅱ）因为m=2=|x-t|+|x-|≥|x-t-（x+）|=|t+|，当且仅当（x-t）（x+）≤0时，等号成立∵m=2， ∴需要|t|+≤2，另一方面，|t|+≥2，当且仅当|t|=时，等号成立，∴只有|t|=即t=±13.已知．（ = 1 \* ROMAN I）解不等式；（ = 2 \* ROMAN II）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围．试题解析： （ = 1 \* ROMAN I）当时，由解得，当时，不成立.当时，解得，综上有的解集是.（ = 2 \* ROMAN II）因为，所以的最小值为3.要使得关于的不等式对任意的恒成立，只需解得，故的取值范围是.【题型三】 绝对值恒成立（存在）求参2：公式法“差”【典例分析】已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实的取值范围．试题解析：（4-3不等式）（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|， 1分当x≥3时，，即为，即成立，则有x≥3；当x≤2时，即为，即，解得x∈∅；当2＜x＜3时，即为，解得，，则有． 4分则原不等式的解集为 即为 ； 5分（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|， 7分即有的最大值为|a﹣3| 8分若存在实数x，使得不等式成立，则有． 9分即或，即有a∈∅或a≤．所以的取值范围是 【提分秘籍】基本规律利用公式||a|-|b||≤|a±b| 【变式演练】1.已知函数.（1）若,解不等式；（2）若存在实数 , 使得不等式成立,求实数的取值范围.试题解析：（1）不等式化为,则或,或,解得,所以不等式的解集为.不等式等价于,即,由基本不等式知,若存在实数,使得不等式成立, 则, 解得,所以实数的取值范围是.2.已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实的取值范围．试题解析：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，当x≥3时，，即为，即成立，则有x≥3；当x≤2时，即为，即，解得x∈∅；当2＜x＜3时，即为，解得，，则有．则原不等式的解集为 即为 ；（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即有的最大值为|a﹣3|．若存在实数x，使得不等式成立，则有即或，即有∈∅或≤．所以的取值范围是3.已知函数.（1）解不等式；（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.试题解析： （1）当时， ，∴当时， ，∴解为当时， ，∴综上可得不等式的解集为.（2）由，只需.【题型四】 绝对值恒成立（存在）求参3：给解集（或子集）【典例分析】已知函数，；（1）求不等式的解集；（2）若对任意的，，求的取值范围．试题解析：（1）原不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．（2）①当时，易知成立：当时，即在时恒成立．因为，所以当且仅当时，取到最小值3，故，即．②当时，即在时恒成立；因为，所以当且仅当时取到最小值3，故，即，综上可知，的取值范围为．【提分秘籍】基本规律一般情况下，通过所给解集（或子集范围）可去掉式子中不分绝对值【变式演练】1.已知函数=,=.(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.设函数=,=, 其图像如图所示 从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是. (Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为, ∴对∈[,)都成立,故,即≤, ∴的取值范围为(-1,]. 2.已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范围.【解析】(1)当时, 或或 或 (2)原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 3.已知函数．（1）若求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围． 试题解析：（1）当时，，即或或，解得或，不等式的解集为；（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即，实数的取值范围为．【题型五】 绝对值恒成立（存在）求参4：利用单调性求参【典例分析】已知函数求a=1时，f（x）3的解集。若f（x）有最小值，求a的取值范围，并写出相应的最小值。 解析：（1）当时,当时解得当时恒成立，当时解得综上可得解集………………5分（2）当,即时,无最小值；当,即时,有最小值；当且,即时, 当且,即时, 综上：当时,无最小值；当时,有最小值；当时, 当时, 【提分秘籍】基本规律分类讨论去掉绝对值，所得分段函数单调性讨论点，主要在于“斜率”【变式演练】1.已知函数已知函数(1).当m=3时，求不等式f（x）4的解集。(2)若 解：（1）当时，，原不等式等价于 或 或， 解得：或无解或， 所以，的解集为． （2）．则 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当x=12时，f(x)取得最小值，． 因为对任意恒成立，所以.又因为，所以，解得 （不合题意）．所以的最小值为1． 2.设函数．（1）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围．试题解析：（1）由绝对值的性质得：， ∵对任意恒成立，∴，解得， ∵，∴实数的取值范围是 当时，， 若关于的不等式有解，则函数的图象与直线有两个交点， ∴，解得，． ∴实数取值范围是 【题型六】 绝对值恒成立（存在）求参5：形如技巧型【典例分析】已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）当时，当时，，解得；当时，不等式无解；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）由题意知，，所以.记，则，当时，，则， 又当时，，所以，所以，所以实数m的取值范围为.【提分秘籍】基本规律1.可以配凑绝对值不等式来放缩。2.可以通过分参构造形如来求解【变式演练】1. 设．（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．试题解析：（1）由得：或或解得∴的解集为．（2）当且仅当时，取等号．由不等式对任意实数恒成立，可得，解得：或．故实数的取值范围是．2. 已知都是实数，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若对满足条件的所有都成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1），由得或，解得或，故所求实数的取值范围为（2）由且得，，又∵，∴，3.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．【详解】（1）当时，，即，解法一：作函数的图象，它与直线的交点为，所以，的解集的解集为． 解法2：原不等式等价于 或 或， 解得：或无解或， 所以，的解集为．（2）．则 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，． 因为对，恒成立，所以．又因为，所以，解得 （不合题意）．所以的最小值为1．【题型七】 绝对值和均值型【典例分析】函数.（1）求不等式的解集;（2）已知函数的最小值为，正实数满足证明:【详解】(1)解:由题可得，所以即或或解得或所以不等式的解集为.证明:，则则，故当且仅当时取等号.【提分秘籍】基本规律和均值不等式常规求解结合【变式演练】1.已知函数．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）原不等式为，当时，得，得，所以．当时，得成立，所以，当时，，所以．综上得不等式的解集为．（Ⅱ）因为为正实数，并且，当时取等号，当时等号成立，所以的最大值．又因为，当时取到等号，要使恒成立，只需．所以或．2.已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，，满足，求证：.【详解】（1）①当时，，无解②当时，，解得③当时，，无解综上：不等式的解集为；（2）因为，所以，所以，，，，，当且仅当，即时，等号成立，3.已知函数．（1）解不等式；（2）已知的最小值为，且正实数，满足，求的最小值．【详解】解：（1）由题意知，由，可得或或，所以所求不等式的解集为．（2）由（1）可知，，则．因为，所以可得．当且仅当时，取等号；由柯西不等式得，当且仅当时，取等号；因为，所以当且仅当时，的最小值为．【题型八】 证明不等式1：柯西型“定位法”【典例分析】已知，求的最小值.【解】根据柯西不等式，有，所以，即当且仅当，即时，取最小值【提分秘籍】基本规律位置1和2是等价齐次。否则就是需要凑配具体可以用下边推论来待定系数配凑【变式演练】1.已知a，b，c eq \o(\s\up1(),∈)R，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值．解：由柯西不等式，得[a2＋(eq \R(,2)b)2＋(eq \R(,3)c)2][12＋(eq \F(1,eq \R(,2)))2＋(eq \F(1,eq \R(,3)))2]≥(a＋b＋c)2．……8分因为a2＋2b2＋3c2＝6，所以(a＋b＋c)2≤11，所以－eq \R(,11)≤a＋b＋c≤eq \R(,11)．所以a＋b＋c的最大值为eq \R(,11)，当且仅当a＝2b＝3c＝ eq \f(6 eq \r(11),11)． ……10分2.已知关于的不等式的解集为．（I）求实数，的值；（II）求的最大值．【解析】试题解析：（I）由，得则解得,（II）当且仅当，即时等号成立，故.3.已知不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（x2+2y2+3z2）（1++）≥（x+y+z）2故x2+2y2+3z2≥，当且仅当x=，y=，z=时取等号，∵不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，∴|a﹣2|≤，∴≤a≤．【题型九】 证明不等式2：柯西“分母分子配对”型【典例分析】已知都是正数，且则的最小值是 .答案: 方法一：柯西不等式=>(1++1)=方法二：构造均值不等式【提分秘籍】基本规律具有分子和分母这类特性，相乘可以消去，那么可使用柯西证明（较简单），也可以用展开用均值证明。【变式演练】1.已知，，为非负实数，函数.（1）若，，，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为2，证明：.【详解】（1）当，，时，不等式，化简得：，采用零点讨论法，设， 当时，；当时，；当时，；故，由，解得：或，所以，不等式的解集为.或（2）因为，∵函数的最小值为2，∴.证法一：根据柯西不等式可得： 当且仅当：，即，，时等式成立.综上，证法二：，当且仅当，，等式成立.综上，已知求 的最小值；【答案】 . ：根据柯西不等式，[ ](1+1+1)≥[(x+2y+3z)+ ]=[3+]=[3+]≥(3+)²=所以≥，的最小值为。3.若关于的不等式在实数范围内有解.（1）求实数的取值范围；（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.解：（Ⅰ）因为所以又因为所以（Ⅱ）由（1）可知，,则方法一： 方法二：利用柯西不等式【题型十】 证明不等式3：柯西取等与“圆系凑配”型【典例分析】设,,,,,是正数，且++=10, ++=40, ++=20,则=（ ）【答案】由柯西不等式得当且仅当时等号成立，,等号成立故答案选【提分秘籍】基本规律属于整体化配凑思维，一般情况下，平方内是整体，需要凑配平方数形式（还有两个地方，也是这个思维：根号下，与分母位置）【变式演练】1.已知，且，则的最小值是由于 ，所以，当且仅当，即时取等号．故选C．2.已知a，b，c为实数且.(1)若a，b，c均为正数，当时，求的值；(2)证明：.(1)解：（1）由基本不等式得：，，.以上三个式子相加得，所以，当且仅当时等号成立，此时，，，所以.(2)，当且仅当即，，时，等号成立.3.已知函数.（1）解不等式；（2）记函数f（x）的最小值为m.若a，b，c均为正实数，且a+b+2c＝2m，若成立，证明：或.【详解】解：（1），故等价于或或，解得或或，即或，∴所求不等式的解集为.（2）证明：由（1）值，，∴，则，，∴，∴，解得或，即得证.【题型十一】 证明不等式4：三元不等式证明【典例分析】已知都是正数，且，用表示的最大值，.（1）证明；（2）求M的最小值.【详解】1证明：， ，当且仅当时等号成立，故；2解：由题意，，，， ，当且仅当时上式等号成立．，即M的最小值为．【提分秘籍】基本规律三元形式不等式较难，具有明显的“对称特性”可参考用柯西，较复杂的，需要用分析法综合法，构造均值来证明。【变式演练】1.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1.（1）证明：；（2）证明：.【详解】（1），当且仅当“a=b=c”时取等号；（2），当且仅当“a=b=c”时取等号.【点睛】2.已知正数，，满足．(1)求的最大值；(2)证明：．(1)由，当且仅当时，取得等号．又，所以．故当且仅当时，取得最大值1．(2)证明：要证，需证．因为，即，当且仅当时取得等号．故．3.已知、、，且．（1）求的最小值；（2）证明：．【详解】（1）由，得，即，又因为，所以，故，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；（2）由，得，两边平方，得．由此得，所以．【题型十二】 证明不等式5：分析法与综合法【典例分析】已知，，为正数，且满足.（1）证明：.（2）证明：.【详解】证明：（1）因为，为正数，所以，同理可得，，所以， 当且仅当时，等号成立故. （2）要证，只需证 即证，即证，即证. 因为，，， 所以， 当且仅当，，时，等号成立，从而得证.【变式演练】1.已知，，，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）由题意，因为，且，所以，当且仅当时，取“=”，所以，所以．（Ⅱ）由,所以,,所以，所以，所以，所以．2.已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若，证明：.(1)解：由可得出，所以，，解得，故不等式的解集为.(2)解：∵，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，因为，则，又因为，则，，所以，，当且仅当时等号成立，因此，成立.3.设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求证：.(1)由已知，令，则原不等式等价于，即，当时，，不等式无解，当时，，解得，则，当时，，不等式无解，综上得：.(2)要证>1，只需证，只需证，只需证，只需证，由a，b，c∈A，得，，于是得恒成立，而上述推理过程可逆，所以.最新模考题提高训练1.已知函数f(x)=x−m−3，且f(x)≥0的解集为(−∞ ，  −2]∪[4 ，  +∞)（1）求m的值；（2）若∃x∈R，使得f(x)≥t+2−x成立，求实数t的取值范围. 试题解析：（1）不等式x−m−3≥0的解集为(−∞ ，  m−3]∪[3+m ，  +∞)又∵f(x)=x−m−3≥0的解集为(−∞ ，  −2]∪[4 ，  +∞)∴m+3=4，m−3=−2∴m=1（2）∵∃x∈R，使得f(x)≥t+2−x成立∴∃x∈R，使得x−1−3≥t+2−x∴∃x∈R，x−1−x−2≥t+3令g(x)=x−1−x−2=−1      x≤12x−3     12∴∃x∈R，x−1−x−2≥t+3∴t+3≤g(x)max=1∴t≤−2.2.已知函数（其中）.(Ⅰ) 当时，求不等式的解集；(Ⅱ) 若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.试题解析：(Ⅰ) 当时，即.①当时，得，解得；②当时，得，不成立，此时；③当时，得成立，此时.综上，不等式的解集为或 (Ⅱ) 因为＝，由题意，即或,解得或，即的取值范围是.3.设函数 （Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）∵ 综上，不等式的解集为： （Ⅱ）存在使不等式成立 由（Ⅰ）知，时，时， ∴实数的取值范围为 4. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）不等式的解集中的整数有且仅有，求实数的取值范围.试题解析：（1）由题知：的解集为.（2）由题意知，代入得解得或或，又.①当时，，所以恒成立， 解集为空集，不合题意；②当时，由（1） 可知解集为，符合题意；③当时，，所以恒成立， 解集为空集，不合题意；综上所述，当时，不等式的解集中的整数有且仅有.5. 已知函数，．（1）解不等式；（2）对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最小值．【解析】 试题分析：（1）由题意不等式可化为，分类讨论，即可解不等式；（2）由不等式，可得，分离参数，得，所以，即可求出实数的最小值．试题解析：（1）由题意不等式可化为，当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即综上所述，不等式的解集为或．（2）由不等式可得，分离参数，得，∴∵，∴，故实数的最小值是．6. 已知函数，（）．（1）当时，解不等式；（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．试题解析：（1）当时，，即，得或或，解得或或，∴不等式的解集为．（2）令，∴当时，当时，当时，∴的最小值为或，则解得或．7.已知函数．（1）解不等式；（2）已知的最小值为，且正实数，满足，求的最小值． 【详解】解：（1）由题意知，由，可得或或，所以所求不等式的解集为．（2）由（1）可知，，则．因为，所以可得．当且仅当时，取等号；由柯西不等式得，当且仅当时，取等号；因为，所以当且仅当时，的最小值为．8.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若正数，，满足，求的最小值. 【详解】（1）化简得.①当时，，由，即，解得，又，所以；②当时，，由，即，解得，又，所以；③当时，不满足，此时不等式无解；综上，不等式的解集为：.（2）由于，故，∴，∵，∴由柯西不等式：上式.当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.9. 已知函数，不等式的解集为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若三个实数，，，满足.证明：. 【详解】（Ⅰ）由题意知：且，，∴，可得，即，∴，当时，，解得(舍)；当时，，解得；∴综上，有，.（Ⅱ）由，则，∴证即可，而，∴，即得证.10.设函数的最小值为.（1）求；（2）设，且，求证：. 【详解】（1）∵，∴时，，且时 ，，∴，∴；（2）由（1）知，∴，∵， ∴，当且仅当取等号.11.已知函数（1）求不等式的解集；（2）设，求证：. 【详解】（1）由f(x)+f(2x+2)>3得|2x+1|+|x﹣1|>3，当时，原不等式可化为﹣(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x<﹣1；当时，原不等式可化为(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x>1，此时无解；当x>1时，原不等式可化为(2x+1)+(x﹣1)>3，解得x>1；综上，所求不等式的解集为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)；（2）证明：要证，只需证，即证，即证|b﹣a|<|ab﹣1|，即证(b﹣a)2<(ab﹣1)2，而(ab﹣1)2﹣(b﹣a)2=a2b2﹣a2﹣b2+1=(a2﹣1)(b2﹣1)，由a，b∈M，得a2>1，b2>1，∴(a2﹣1)(b2﹣1)>0，即得证.12.已知函数，不等式的解集为A.（1）求A；（2）当a，时，证明：. 【详解】（1）当时，，解得(舍)；当时，，解得；当时，，解得.综上可知；（2）要证：只要证：只要证：只要证：只要证：，，，成立，所以原命题成立．