2022宁波咸祥中学高一下学期期末考试数学含解析

咸祥中学2021--2022学年第二学期期末考试试卷

高一数学试题

一、 选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）

1. 已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的运算法则和几何意义即可判断.

【详解】，

z对应的点为，在第三象限.

故选：C.

2. 设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量共线定理即可求解．

【详解】∵是两个不共线的向量，且∥，故存在实数λ，

使得．

故选：A．

3. 高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100.则在男生中抽取的样本量为（    ）

A 48 B. 51 C. 50 D. 49

【答案】B

【解析】

【分析】利用分层抽样的比例关系列式求解即可得到答案。

【详解】高一年级共有人，所以男生抽取的人数为人.

故选：B.

4. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（    ）

A. 9 B.  C. 18 D.

【答案】D

【解析】

【分析】将直观图还原为原图，并由此计算出三角形的面积.

【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，

还原原图形如图：

则，，则.

故选：D.

5. 一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（    ）

A. 与 B. 与 C. 与 D. 以上都不对

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.

【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，

事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；

事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；

事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.

故选：B

6. 在中，已知则该三角形的形状为（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦定理可得出，从而可得出，然后可得出C为钝角，从而得出正确的选项.

【详解】因为，

所以根据正弦定理得，，

则，

故，且，

所以C为钝角，为钝角三角形.

故选：C.

7. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】由线、面平行和垂直的判断与性质定理判断每个选项.

【详解】对A，若，则或，故A错；

对B，若，则或相交，故B错；

对C，由面面垂直的性质、线面垂直的判定定理可知，故C正确；

对D，，则或相交，故D错.

故选：C

8. 已知图1是棱长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，其中，则空间几何体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】过作，过作，易得平面平面，将几何体转化为三棱柱和两个三棱锥的体积之和求解..

【详解】如图，

过作，垂足为，

连接，则，

过作，垂足为，

连接，则，

所以，又平面，平面，

所以平面，

同理平面，又，

所以平面平面，即三棱柱为直三棱柱.

∵，，

所以，，

同理求得，，

又，

∴，

∴空间几何体的体积为：

.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（    ）

A. 这组数据的平均数是8

B. 这组数据的极差是4

C. 这组数据的中位数是8.5

D. 这组数据的方差是2

【答案】AB

【解析】

【分析】根据平均数，极差，中位数，方差的定义和计算公式分别求得，即可判断各个选项的正误.

【详解】解：对于A，这组数据的平均数是，故A正确；

对于B，这组数据的极差是，故B正确；

对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，

∴这组数据的中位数是8，故C错误；

对于D，这组数据的方差是，故D错误.

故选：AB.

10. 已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（    ）

A. 当时，复平面内表示复数的点位于第二象限

B. 当时，为纯虚数

C. 最大值为

D. 的共轭复数为

【答案】BC

【解析】

【分析】利用复数几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.

【详解】对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；

对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；

对于C，，最大值为，故C正确；

对于D，的共轭复数为，故D错误.

故选：BC.

11. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（    ）

A. 该圆台轴截面ABCD面积为

B. 该圆台的体积为

C. 该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°

D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出圆台的高，根据梯形面积公式可求圆台轴截面的面积，从而可判断A；根据圆台的体积公式可判断B；圆台的母线与下底面所成的角为，从而可判断C；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，设的中点为P，连接，求出，即为沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离，从而可判断D.

【详解】由，且CD＝2AB，可得，高,

则圆台轴截面的面积为,故A正确；

圆台的体积为，故B正确；

圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为,

所以，故C错误；

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，

侧面展开图的圆心角.

设的中点为P，连接，可得,

则.

所以沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离为5cm，故D正确.

故选:ABD.

12. 已知的顶点坐标为、、，点的横坐标为14，且、、三点共线，点是边上一点，且，为线段上的一个动点，则（　　）

A. 点的纵坐标为-5

B. 向量在向量上的投影向量为

C.

D. 的最大值为1

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：设，再由、、三点共线，得存在，使得，即可记得，，即可判断A是否正确；

对于B：向量在向量上的投影向量为，计算即可判断B是否正确；

对于C：设，由，得①，由点在边上，得②，解得，，进而可得点坐标，计算，，即可判断C是否正确；

对于D：由为线段上的一个动点，设，且，利用二次函数的性质，计算最大值，即可判断D是否正确.

【详解】解：对于A：设，

则，，

由、、三点共线，得存在，使得，

得，

解得，，

所以，故A错误；

对于B：由上可知，，

向量在向量上的投影向量为，故B正确；

对于C：设，则，

又，

则由，得①，

因为点在边上，

所以，即②，

由①②得，，，

所以，

所以，，

所以，故C正确；

对于D：因为为线段上的一个动点，

设，且，

则，，

所以，，

所以当时，的最大值为1.故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若球的大圆半径为2，球的体积为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由球的大圆半径为2，可得球的半径为2，从而可求出球的体积.

【详解】因为球大圆半径为2，

所以球的半径为2，

所以球的体积为，

故答案为：

14. 天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．

【答案】0.38

【解析】

【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.

【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，

∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝P(A)P()＋P()P(B)

＝0.2×0.7＋0.8×0.3

＝038.

故答案为：0.38.

15. 如图，在三棱锥中，，，则二面角的余弦值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值.

【详解】取的中点，连接､，

因为，所以，，

所以即为二面角的平面角，

因为，，所以，

而，在中，由余弦定理可得，

故答案为：.

16. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为___________千米.

【答案】2

【解析】

【分析】根据条件可得，，，然后利用正弦定理即可求出的长度，从而可求出的长

【详解】解：作,垂足为，如图所示：

由题意得，，

所以，，，且，

在中，由正弦定理得，即，

，解得，

所以，

故答案为：2

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 现有两个红球（记为，），两个白球（记为，），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球.

（1）写出试验的样本空间；

（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）按树形结构写出基本事件得事件空间；

（2）事件空间中有6个样本点，再观察恰好抽到一个红球一个白球这个事件含有的样本点的个数后可得概率．

【详解】解：（1）两个红球（记为，），两个白球（记为，），

采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，

则试验的样本空间.

（2）试验的样本空间，包含6个样本点，

其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，

∴恰好抽到一个红球一个白球的概率.

18. 已知向量，若，

（1）求与的夹角θ；

（2）求；

（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可；

（2）根据结合数量积的运算律计算即可；

（3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可.

【小问1详解】

解：因为，，

所以，

又因，所以；

【小问2详解】

解：；

【小问3详解】

解：当向量与向量互相垂直时，

，

即，

即，解得.

19. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.

【小问1详解】

证明：连接交于点，则为的中点，

因为为的中点，则，

平面，平面，因此，平面.

【小问2详解】

证明：因为且，为的中点，为的中点，

所以，，，所以，四边形为平行四边形，

所以，，平面，平面，所以，平面，

因为，因此，平面平面.

20. 为了了解我市参加年浙江高中数学学考的考试结果情况，从中选取名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成、、、、、六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：

（1）求分数在内的频率；

（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值和分位数.

【答案】（1）   

（2）均值为分，分位数为分

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得分数在内的频率；

（2）利用百分位数和平均数的定义可求得结果.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图可知，分数在内的频率为.

【小问2详解】

解：本次考试成绩的均值为（分），

分数在内的频率为，

分数在内的频率为，

设本次考试成绩分位数为，则，则，

解得，

因此，本次考试成绩的均值为分，分位数为分.

21. 如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．

（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；

（2）当点F与C点重合，求 PB与平面AEF所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论，

（2）过点作∥交于点，则，设点到平面的距离为，利用可求出，然后由可求得结果.

【小问1详解】

证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，

所以，

又为⊙的直径，所以，

因为，所以平面，

又平面，所以，

因为，

所以平面，

又平面，   

所以平面平面．

【小问2详解】

因为，，所以，

又，所以，

由，得,

如图，过点作∥交于点，则，可得，

又，所以，

所以，

设点到平面的距离为，

由，可得，

所以

解得，

所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为

．

22. 在中，内角的对边分别为，且，.

（1）求的大小；

（2）若，求的面积；

（3）求的最大值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得；

（2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果；

（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值.

【小问1详解】

由正弦定理得：，又，

，

即，又，，，

又，.

【小问2详解】

由余弦定理得：，解得：，

.

【小问3详解】

由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），，

又，；

，

令，，则在上单调递增，

，即，的最大值为.