江苏省G4联盟2022-2023学年高三数学上学期12月联考试题（Word版附解析）

G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学

2022－2023学年第一学期12月联合调研

高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合间的交集运算即可.

【详解】由，，所以.

故选：A.

2. 若复数的共轭复数满足（其中为虚数单位），则的值为（    ）

A  B. 5 C. 7 D. 25

【答案】D

【解析】

【分析】求出共轭复数，以及复数，即可求出的值.

【详解】解：由题意，则，所以，，

∴

故选：D.

3. 如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．

根据该折线图，下列说法错误的是（    ）

A. 城镇人口与年份呈现正相关 B. 乡村人口与年份的相关系数接近

C. 城镇人口逐年增长率大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势

【答案】B

【解析】

【分析】根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，A对；

对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以接近，B错；

对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数接近，

故城镇人口逐年增长率大致相同，C对；

对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D对.

故选：B.

4. 函数在的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，

因为，

所以排除选项；

当时，有一零点，设为，当时，为减函数，

当时，为增函数．

故选：D.

5. 椭圆焦点为，，过的最短弦PQ长为10，的周长为36，则此椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：设椭圆方程为其焦点坐标为(-c,0)，由已知

P、Q坐标为：M(-c, ),N(-c,-)

所以，2 ·=10，；

△PQ的周长为36

| P|=|Q|==13,c=6

=+36，

所以(a-9)(a+4)=0

因为a>0,所以，a=9，椭圆的离心率为，故选C．

考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质．

点评：过的最短弦PQ垂直于x轴，另外，由椭圆的对称性，△PQ是一直角三角形．

6. 南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为，盆底半径为，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】补全圆台为圆锥，可得到以为底面半径的圆锥体积与以为底面半径的圆锥体积之比为，再结合题意分析即可.

【详解】经圆台形的天池盆补形为圆锥，则以为底面半径的圆锥体积与以为底面半径的圆锥体积之比为，如图所示，

设以为底面半径的圆锥体积为，则以为底面半径的圆锥体积为，

以为底面半径的圆锥体积为，

则由题意，即.

故选：D.

7. 在数列中，，则该数列项数的最大值为（    ）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意确定为等差数列，并根据的范围即可确定求解.

【详解】

，

所以为等差数列，公差为，

所以，

所以，

故选:C.

8. 在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由可得，再结合余弦定理，面积公式可求出、、边上高，内切圆半径，最后根据平行线等比关系即可求解.

【详解】，由在内切圆上，

故，

假设，由于，，

则，且为上一点，，，三点共线，

由平行线等比关系可得，要使，即与之间的比例最小，则在内切圆的最高点，如图所示，

由，

因为，所以，

设边上高为，内切圆半径为，

由，

所以，，

可得的最小值为，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到，令，观察到分母的系数相加为1，则可得到为上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合基本不等式即可判断A、B、C选项，D选项先利用和差化积公式可得到，再结合三角函数性质即可判断.

【详解】，，，

，当且仅当，即时取等号，故A不正确；

又，当且仅当，即时取等号，故B正确；

，当且仅当时取等号，故C正确；

又，

,，故D正确；

故选：BCD.

10. 已知函数，，则（    ）

A. 函数有且仅有一个零点 B. 且

C. 函数的图象是轴对称图形 D. 函数在R上单调递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据零点的定义判断A，根据导数运算公式判断B，通过判断函数的奇偶性判断C，根据导数与函数的单调性的关系判断D.

【详解】对于A，令可得，解得，A正确；

对于B，由，可得，，B正确；

对于C，设，则，所以，因为，所以函数为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，即函数的图象关于点对称；故C错误；

对于D，函数的定义域为，

又，所以函数在R上单调递增，

D正确；

故选：ABD.

11. 乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（    ）

A. 三局就结束比赛的概率为 B. 的常数项为3

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.

【详解】设实际比赛局数为，

则，

，

，

因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；

则，

由，则常数项为3，则B正确；

由，则D正确；

由，

，所以，

令，则；令，则，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，

所以关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得，则C不正确.

故选：ABD.

12. 在四棱锥中，底面为正方形，底面， 为的中点，为平面上一点下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值为

B. 若则点的轨迹是椭圆

C. 若，则点的轨迹围成图形的面积为

D. 存在点，使得直线与所成角为30°

【答案】AC

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标运算求出点到平面的距离即可判断选项A，先根据题意确定点在椭球上，再证明椭球的长轴垂直于所在的平面，即可判断选项B，根据题意求出为定值，即可确定的轨迹进而判断选项C，根据线线角大度等于线面角可判断选项D.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，

则,

设平面的一个法向量为，

则有，令则，所以，

,则点到平面的距离，

所以当平面时，的最小值为，故A正确；

因为,,，

所以点的轨迹在以为焦点的椭球面，

又因为，所以平面，

即平面垂直于椭球的长轴所在直线,

所以点的轨迹是圆，故B错误；

设平面，平面，

由以上过程知到平面的距离，

所以到平面的距离,

，所以点的轨迹围成图形是以为圆心为半径的圆，

面积等于，故C正确；

，设与平面所成的角为，

则有，

所以，

因为平面，所以与所成角，

故不存在点，使得直线与所成角为30°，故D错误.

故选:AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中常数项是______.

【答案】15

【解析】

【分析】由二项式定理求出通项公式，得到，从而求出常数项.

【详解】的展开式的通项公式为：，

令，解得：，

故.

故答案为：15

14. 如图，将绘有函数

部分图象的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则＝_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数图象的性质结合函数图象求解即可.

【详解】如图，因为的周期为，所以，

，

所以，

解得，所以，

所以，，

因为，所以或，

又因为函数在轴右侧单调递减，所以．

故答案为: .

15. 我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下：

由于，

，

从而，

所以，

始比如上方法可求数列的前项和，则_____________.

【答案】

【解析】

【分析】结合求的操作步骤类比求即可.

【详解】由题意，，

，

两式相减得，

即，

即，

即

所以.

故答案：.

16. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据函数奇偶性求出函数解析式，再将，恒成立问题转化为恒成立，即可求解.

【详解】由题意，是定义在上的偶函数，且当时，，

设，则，即，所以，

即，

由，，即，

所以，即，即恒成立，

所以，即实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在数列中，，其前项和满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若为正整数，记集合元素个数为，求数列的前20项和．

【答案】（1）   

（2）397

【解析】

【分析】(1)根据的关系求通项公式；

(2)利用等差数列的前项和公式求解.

【小问1详解】

，

所以，所以，即，

经检验满足上式子，故

【小问2详解】

，

因为，当且仅当时成立，

所以，，

当，因为，

，

所以能使成立的的最大值为，

所以，

所以的前20项和为．

18. 在轴截面为正方形的圆柱中，分别为弧，弧的中点，且在平面的两侧．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据几何位置关系，先证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理即可证明；

（2）利用几何法找到二面角，用余弦定理求解即可.

【小问1详解】

证明：设轴截面正方形边长为，取弧另一侧的中点，

则与垂直平分，且，

所以四边形为正方形，，

因为为弧中点，所以，四边形为矩形，

所以，所以，所以四边形为平行四边形，

因为，，

所以，所以，所以四边形为矩形；

小问2详解】

解：由（1）知，，，，

所以

所以，斜边上的高，

作交于点，连接，

因为，，，所以，

则，所以

即为二面角平面角，，，

在中，由余弦定理得，

二面角的余弦值为.

19. 文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．

（1）若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；

（2）若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．

【答案】（1）分布列见解析，   

（2）0.6

【解析】

【分析】(1)利用超几何概率分布模型求解即可；

(2)根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解.

【小问1详解】

方法一：

随机变量X的可能取值为0，1，2，

，，，

随机变量X的分布列如下表：

随机变量X的期望为

法二：

随机变量X服从超几何分布，所以.

【小问2详解】

设脱落一个“学”为事件，脱落一个“好”为事件，脱落一个“数”为事件，

事件为脱落两个字，

，，

，，，

所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为

，

法二：

掉下的两个字不同的概率为，

所以标语恢复原样的概率为．

20. 记的内角、、的对边分别为、、，已知，．

（1）若，，求；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）由已知条件结合三角形的内角和可得出，，由已知可得出结合两角差的正弦公式化简可得出，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.

【小问1详解】

解：因为，则，所以，，

所以，

，

所以，，又因为，故.

【小问2详解】

解：因为，所以，，

因为，，则，

所以，，化简整理得，

所以，

故的面积为.

21. 在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，圆

（1）若，为圆上的动点，求线段长度的最小值；

（2）若点的纵坐标为4，过的直线与圆相切，分别交抛物线于（异于点），求证：直线过定点．

【答案】（1）1    （2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)转化为抛物线上的点到圆心距离减去半径的最小值；(2)根据直线圆的位置关系、与抛物线的位置关系建立方程，进而求直线恒过定点.

【小问1详解】

设，则，

当，Q为线段与圆的交点时，

【小问2详解】

题意可知，过P点直线与圆相切，

则，即，①

设直线为：，则与抛物线C的交点方程可化为：

，

令，则：，②

题意有，①②方程同解，故有

，

即：，所以直线为：，

即，由，解得，

直线恒过．

22. 若对实数，函数，满足且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”.已知，.

（1）若1是平滑函数的“平滑点”，

（ⅰ）求实数，的值；

（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数的取值范围；

（2）对任意，判断是否存在，使得函数存在正的“平滑点”，并说明理由．

【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）   

（2）存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）（ⅰ）求导列出a.b的方程求解即可, （ⅱ）转化为方程：有3个不同根，构造函数结合图像求解即可；（2）消参得成立，转化为是否恒成立，构造函数证明即可

【小问1详解】

（ⅰ）由，，

则，，

由题意，1是平滑函数的“平滑点”，

可知，且，解得：，.

（ⅱ）由题意，，过点作的切线，

切点满足方程：，

故题意等价于方程：有3个不同根，

设，

则，

令，即；令，即或，

所以函数在单调递增，在和上单调递减，

且，，如图所示，

所以.

【小问2详解】

题意等价于：，是否，使得有解，

消去a有：，，其中由，可得，

故题意进一步化简，是否，使得成立，

，是否恒成立，

设，，

故时，单调递减；，单调递增，

故得证，

即，，使得存在的“平滑点”．

【点睛】方法点睛：定义函数问题，主要根据定义理解函数性质特征，结合函数求导求解即可.