安徽省合肥市第六中学、第八中学、168中学等校2021-2022学年高一数学上学期期末联考试题（Word版附解析）

合肥八中2021-2022学年度高一第一学期期末联考

数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 角的终边落在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由于，所以由终边相同的定义可得结论

【详解】因为，

所以角的终边与角的终边相同，

所以角的终边落在第一象限角．

故选：A．

2. 集合用列举法表示是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式，结合列举法可得结果.

【详解】.

故选：D．

3. 若，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.

【详解】对于A，因为，，故，故A错误．

对于B，因为，，故，故，故B错误．

对于C，取，易得，故C错误．

对于D，因为，所以，故D正确．

故选：D．

4. 函数的值域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定.

【详解】设,因，所以，

因为正切函数在上为单调递增函数，且,

所以．

∴函数的值域为，

故选：A．

5. 已知定义在上的函数满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】分别令，，得到两个方程，解方程组可求得结果

【详解】∵，

∴当时，，①，

当时，，②，

，得，解得．

故选：B．

6. 根据下表数据，可以判定方程的根所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，通过表格判断，判断零点所在区间，即得结果.

【详解】设函数，易见函数在上递增，

由表可知，，

故，由零点存在定理可知，方程的根即函数的零点在区间上.

故选：B.

7. 已知，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的性质，三角函数的性质比较大小即可

【详解】∵，，

∴；

∵，∴；

∵，∴，

∴，又，，

∴，∴．

综上可知．

故选：B．

8. 若函数的图象与轴有交点，且值域，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，综合二者即可得到的取值范围.

【详解】定义在上的函数，

则，由函数有零点，所以，解得；

由函数的值域，所以，解得；

综上，的取值范围是．

故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列各式正确的是（    ）

A. 设，则

B. 已知，则

C. 若，则

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.

【详解】对于A，，故A对；

对于B，，故B对；

对于C，，，，故C对；

对于D，，故D错．

故选：ABC．

10. 已知函数的部分图象如图所示，则能够使得变成函数的变换为（    ）

A. 先横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度

B. 先横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度

C. 先向右平移个单位长度， 再横坐标变为原来的倍

D. 先向左平移个单位长度， 再横坐标变为原来的倍

【答案】AC

【解析】

【分析】利用图象求出函数的解析式，结合三角函数图象变换可得出结论.

【详解】由图可知，，函数的最小正周期为，则．

又，得，即，

而，所以，所以．

把图象向右平移得图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍即得的图象；

或者先将图象上所有点的横坐标变为原来的，再将所得图象右移个单位长度得到的图象．

故选：AC．

11. 已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小值是4

B. 的最小值是2

C. 的最小值是

D. 最小值是

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：利用“乘1法”转化后，利用基本不等式求得最小值，进而判定；

对于B：先利用基本不等式求得的取值范围，根据此范围利用基本不等式求最小值时注意基本不等式取等号的条件不能成立，进而判定；

对于C：利用基本不等式和指数幂的运算性质得到最小值，进而判定；

对于D：利用对数的运算法则、对数函数的单调性和B中求得的的取值范围，得到所求式子的最大值为-2，进而判定.

【详解】对于A：，当且仅当时等号成立，

故A正确；

对于B：，当且仅当时等号成立，

∵,∴，当且仅当时取等号.

但,故等号取不到，∴，故B错误；

对于C：，当且仅当时等号成立，

故C正确；

对于D：，当且仅当时等号成立，故D错误．

故选：AC．

12. 已知是定义在上的偶函数，当时，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数在上单调递增

B. 函数有两个零点

C. 不等式的解集为

D. 方程有6个不相等的实数根

【答案】BD

【解析】

【分析】画出函数的图象结合图象可判断A；令求出可判断B；由解不等式可判断C；得，若，即，求出；若，即，求出可判断D．

【详解】由题意，函数的图象如图所示：

对于A，在上单调递减，A错误；

对于B，令，即解得．只有2个零点，B正确；

对于C，由图知只需得，解得，C错误；

对于D，，即，且，解得，

若，即，解得或；若，

即，解得，D正确．

故选：BD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题后的横线上．

13. 命题“，使关于的方程有实数解”的否定是_________.

【答案】，关于的方程无实数解

【解析】

【分析】直接利用特称命题的否定为全称命题求解即可.

【详解】因为特称命题的否定为全称命题，

否定特称命题是，既要否定结论，又要改变量词，

所以命题“，使关于的方程有实数解”的否定为：

“，关于的方程无实数解”.

故答案为：，关于的方程无实数解

14. 函数的图象关于原点对称，则__________

【答案】

【解析】

【分析】根据余弦型函数的对称性可得出结果.

【详解】函数的图象关于原点对称，则.

故答案为：.

15. ___________

【答案】

【解析】

【分析】利用、两角和的正弦展开式进行化简可得答案.

【详解】

．

故答案为：.

16. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，f（x－1）是奇函数，且当时，，则________．

【答案】1

【解析】

【分析】由函数f(x)是定义在R上的偶函数及f（x－1）是奇函数得到函数的周期，进而根据函数的性质求得答案.

【详解】根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则有f（－x）＝f(x)，又f（x－1）是奇函数，则f（－x－1）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝f[－（x＋2）]＝f[－（x＋1）－1]＝－f[（x＋1）－1]＝－f(x)，即f（x＋2）＝－f(x)，则有f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，则，，故．

故答案为：1.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知集合且．

（1）若，求的值;

（2）若，求实数组成的集合．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值；

（2）求得集合，由分类讨论可得值．

【小问1详解】

因，，

且，，所以，，所以，

解得，所以．所以，所以，解得．

【小问2详解】

若，可得，因为，

所以．当，则；当，则；当，．

综上，可得实数a组成的集合为．

18. 已知函数

（1）判断并证明函数的奇偶性;

（2）判断函数在区间上的单调性（不必写出过程），并解不等式

【答案】（1）函数是R上的偶函数，证明见解析   

（2）函数在上单调递增，

【解析】

【分析】（1）利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数；

（2）根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性，然后结合函数是偶函数，将不等式转化为，进而两边同时平方，等价转化为二次方程，求解即得.

【小问1详解】

证明：依题意，函数的定义域为R．对于任意，

都有，

所以函数是R上的偶函数．

【小问2详解】

解：函数在上单调递增．

因为函数R上的偶数函数，所以

等价于．因为函数在上单调递增，

所以，即，解得，

所以不等式的解集为．

19. 如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为．

（1）求的表达式，并求

（2）若，求的值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由点的坐标可求得，再由三角函数的定义可求出，从而可求出的值，

（2）由题意可得，则可求得，从而利用三角函数恒等变换公式可求得结果

【小问1详解】

因为，所以，

由三角函数定义，得．

所以．

【小问2详解】

因为，所以，

因为，

所以．

所以

20. 已知函数

（1）求的值域；

（2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由．令，换元后再配方可得答案；

（2）由得，令，转化为时有解的问题可得答案．

【小问1详解】

，

令，则，

所以的值域为．

【小问2详解】

，即，

令，则，即在上有解，

当时，m无解；当时，可得，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以．综上，实数m的取值范围为．

21. 已知函数

（1）求的图象的对称轴的方程；

（2）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换即可求得对称轴方程.

（2）方程有两个不同的实数根转化成图像与有两个交点即可求得实数的取值范围．

【小问1详解】

，

由，，得，．

故的图象的对称轴方程为，．

【小问2详解】

因为，当时，不满足题意；

当时，可得．画出函数在上的图象，

由图可知或，解得

或．综上，实数a的取值范围为．

22. 如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm．

（1）建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;

（2）求的最大面积以及此时的的值．

【答案】（1），定义域   

（2），的最大面积为

【解析】

【分析】（1）由题意可得，再由可求出的取值范围，

（2）设，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，从而可求得，化简后利用基本不等式可求得结果

【小问1详解】

因为，，矩形ABCD的周长为20cm，

所以，因为，所以，

解得．所以，定义域为．

【小问2详解】

因为ABCD是矩形，所以有，．

因为是沿折起所得，

所以有，，因此有，

，所以≌，因此，．

设．而ABCD是矩形，所以，

因此．

在直角三角形ADP中，有，．

所以，

化简得，

当且仅当时取等号，即时，的最大面积为．