考点22 抛物线（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练

考点22  抛物线（核心考点讲与练）

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

1.求抛物线的标准方程的方法：

①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．

②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．

2.确定及应用抛物线性质的技巧：

①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．

②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．

3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．

抛物线的定义与方程

一、单选题

1．（2022·广东·二模）已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

2．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且，则点P到准线l的距离为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

3.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线第一象限上一点到其焦点的距离为，则点的纵坐标为（    ）

A．    B．    C．    D．

答案】D

二、多选题

4．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（       ）

A．对于任意直线m，均有AE⊥PF

B．不存在直线m，满足

C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切

D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|

【答案】AC

5．（2022·山东潍坊·二模）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2，，且，则（       ）

A．平面ACD⊥平面ABC

B．球心O为△ABC的中心

C．直线OM与CD所成的角最小为

D．若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分

【答案】ABD

6．（2022·山东聊城·二模）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（       ）

A．的准线方程为

B．若，则

C．若，则的斜率为

D．过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则

【答案】BCD

7．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线过点，焦点为F，则（       ）

A．点M到焦点的距离为3

B．直线MF与x轴垂直

C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切

D．过点M与C相切的直线方程为

【答案】AC

三、填空题

8．（2022·辽宁沈阳·二模）已知抛物线的焦点为F，在C上有一点P，，则点P到x轴的距离为______．

【答案】

抛物线的几何性质

1.（2021北京八中高三上学期期中）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

2.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则周长的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

直线与抛物线的位置关系

1.（云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线l： y=x+1与抛物线C： x2=2py（p>0）相交于A， B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得 （O为坐标原点）.

（1）求此抛物线的标准方程；

（2）若正方形PQHR的三个顶点P， Q， H都在抛物线C上，求正方形PQHR面积的最小值.

【解】（1）设，联立方程组整理得，

则，可得

由点为的中点，所以

设，因为，可得，

又由点在抛物线：上，

可得，

即，

解得或（舍去），

所以抛物线的标准方程为.

（2）设，直线的斜率为，

不妨设，则，且，

因为，

所以.

由，得，即，

即，

将代入得，

所以，

所以，

所以正方形的面积为

，

，

，

，

因，

所以（当且仅当时取等号）.

因为，所以

所以（当且仅当时取等号），

所以（当且仅当时取等号），

所以正方形的面积的最小值为32.

2.（2021四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线：上的点到焦点的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．

【解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，

由点到焦点的距离为，得，解得，

所以抛物线的标准方程为．

（2）设，，

显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，

联立消去得，

由得，即．

所以，．

又因为，，

所以，

所以，

即，

解得，满足，

所以直线的方程为．

1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

【答案】C

2.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

3.（2021年全国高考乙卷） 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

【解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，

所以该抛物线的方程为；

（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法

设，则，

所以，

由在抛物线上可得，即，

据此整理可得点的轨迹方程为，

所以直线的斜率，

当时，；

当时，，

当时，因为，

此时，当且仅当，即时，等号成立；

当时，；

综上，直线的斜率的最大值为.

[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法

同方法一得到点Q的轨迹方程为．

设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．

一、单选题

1．（2022·山东泰安·二模）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（       ）

A． B． C．3 D．4

【答案】D

2．（2022·河北唐山·二模）F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（       ）

A． B． C．5 D．12

【答案】B

3．（2022·天津·一模）已知抛物线的准线与双曲线相交于D､E两点，且OD⊥OE（O为原点），则双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

4．（2022·辽宁锦州·一模）已知抛物线的焦点为F，点P是C上一点，且，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则（       ）

A．2 B．2或4 C．4 D．4或6

【答案】D

5．（2022·广东惠州·一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（       ）

A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x

【答案】D

二、多选题

6．（2022·河北秦皇岛·二模）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，，则（       ）

A．的准线方程是

B．过的焦点的最短弦长为8

C．直线过定点

D．当点到直线的距离最大时，直线的方程为

【答案】AD

7．（2022·江苏江苏·二模）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（       ）

A．若为线段中点，则 B．若，则

C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2

【答案】AD

8．（2022·广东·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（       ）

A．时，

B．时，的最小值为9

C．时，

D．时，的最小值为8

【答案】BC

9．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（       ）

A．焦点的坐标为

B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点

C．直线与抛物线相交所得弦长为8

D．抛物线与圆交于两点，则

【答案】ACD

10．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（       ）

A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切

C．的最小值为32 D．当最小时，

【答案】BCD

11．（2022·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（       ）

A．抛物线方程为 B．F是的重心

C． D．

【答案】BCD

三、填空题

12．（2022·北京丰台·二模）已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______．

【答案】

13．（2022·福建·模拟预测）已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则___________.

【答案】

14．（2022·重庆八中模拟预测）若抛物线上的点到焦点的距离是点A到y轴距离的2倍，则___________.

【答案】2

四、解答题

15．（2022·山东济宁·二模）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值.

(1)由题意可得解得p=2.

故抛物线E的方程为.

(2)由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，，

设，，，

由消去x得.

所以，.

由AC垂直于l，直线AC的方程为

由消去x得.

所以，.

∴

.

同理可得，

所以，

令，，则，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以当x=2时，取得最小值，即当时，最小值为.

16．（2022·湖北武汉·二模）已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离.

(1)求的方程；

(2)设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值.

(1)设抛物线焦点，由题意，故，解得：.

故抛物线的标准方程为.

(2)由题意，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设点，，联立得：，由，得

，联立得：，由，得

因为，用代替，得.

故四边形面积.

令.

设函数，故单调递增.

故当，即时，取到最小值16，所以四边形面积的最小值是16.

17．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知点在抛物线上.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作斜率分别为的两条直线，若与抛物线的另一个交点分别为，且有，探究：直线是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.

(1)在抛物线上，，解得：，

抛物线的方程为：.

(2)由（1）得：；设，，

则；同理可得：；

，，整理可得：；

当直线斜率为时，其与抛物线只有一个公共点，不合题意；

当直线斜率不为时，设，

由得：，则，，解得：；

，则直线过定点；

综上所述：直线恒过定点.

18．（2021·山西运城·模拟预测（理））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．

(1)求抛物线C的方程；

(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，

∴p＝2，

∴抛物线方程为y2＝4x．

(2)证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，

所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，

，同理：，

由题意：，

∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，

∴y1y2＝4，

∴﹣4t＝4，

∴t＝﹣1，

故直线AB恒过定点(﹣1，0)