2023洛阳普高联考高三上学期测评卷（三）文科数学试题含答案

普高联考2022——2023学年高三测评（三）

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“，”的否定为（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

2．若全集，，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

3．已知向量，，，且，则实数m的值为（    ）

A．  B．  C．  D．

4．已知F为抛物线的焦点，点A为抛物线C上一点，且点A到直线的距离为5，则抛物线的方程为（    ）

A．  В．  C．  D．

5．定义在R上的偶函数在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．a>b>c  B．b>c>a  C．a>c>b  D．b>a>c

6．某正方形数阵如图所示，依据观察，位于第36行第8列的数为（    ）

A．367  B．330  C．328  D．324

7．如图，在长方体中，，在面中作以棱CD为直径的半圆，且点E在半圆上（不含点C，D），连接AE，BE，CE，DE，则下列说法错误的是（    ）

A．平面平面  B．平面平面BCE

C．平面ABE  D．四棱锥E—ABCD的体积的最大值为

8．如果数列对任意的均有恒成立，那么称数列为“M—数列”，下列数列是“M—数列”的是（    ）

A．  B．  C．  D．

9．函数若方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

10．函数（A˃0，ω˃0）的最大值为2，且对任意的，恒成立，在区间上单调递增，则的值为（    ）

A．1  B．  C．  D．2

11．已知双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点分别为，，点B在直线上，且位于第一象限，直线与直线交于点A，且A是线段的中点，，则C的离心率为（    ）

A．  B．2  C．  D．

12．已知三棱锥P—ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ）

A．8π  B．10π  C．16π  D．24π

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，满足，，，则______．

14．若，且，则______．

15．与直线相切于点的圆C过点，则圆C的半径为______．

16．实数x，y满足目标函数的最大值为6，正实数a，b满足，则a+b的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A为锐角，，的面积为S，且．

（1）求A；

（2）求的值．

18．（12分）数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19．（12分）已知函数，0˂ω˂4，且．

（1）求ω的值及函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间的最小值和最大值．

20．（12分）在直三棱柱中，，D，，E分别为AC，，的中点，，点M在线段上，且，．

（1）当时，证明：平面；

（2）当λ为何值时，点D到平面ABM的距离为？

21．（12分）已知椭圆（a˃b˃0）的长轴长为，离心率为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点（2，0）的直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得直线NA，NB关于x轴对称？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数，，．

（1）若曲线在点处的切线与曲线相切，求实数a的值

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的最小整数值．

普高联考2022——2023学年高三测评（三）

文科数学 参考答案

1．A 【解析】“，”的否定为“，”，故选A．

2．C 【解析】由题知，则，所以．故选C．

3．A 【解析】，由可得，解得．故选A．

4．C 【解析】由抛物线的定义知点A到直线的距离为3，所以，解得，所以抛物线的方程为．故选C．

5．D 【解析】，又，即，即，所以．因为为偶函数，所以，又在上单调通增．所以．即b>a>c，故选D．

6．B 【解析】观察可知，第n行和第n列均为相同的等差数列，第一列数列的通项公式为，则第36行第1列的数为．第36行也是等差数列，公差为37，则通项公式为，则．选B．

7．D 【解析】因为平面，平面ADE，所以平面平面，故A正确；线段CD是半圆的直径，所以，又，，所以平面ADE，所以平面平面BCE，故B正确；因为，所以平面ABE，故C正确；当E为的中点时，四棱锥E—ABCD的体积V最大，此时，故D错误．故选D．

8．C 【解析】若，则，

即，不满足条件．不是“M—数列”；

若，则，

即，不满足条，不是“M—数列”；

若，则，

即满足条件，是“M—数列”；

若，则

，

当时，，不满足条件，不是“M—数列”．故选C．

9．D 【解析】方程有三个不同的实数根函数与的图象有三个不同的交点．当时，，令，得，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，且，则函数的图象如图所示，要使函数与的图象有三个不同的交点，需，故实数m的取值范围是．故选D．

10．B 【解析】因为的大值为2，所以，因为恒成立，所以当时，函数取得最大值，则，，所以，．

当时，，因为在区间上单调递增，

所以，解得，即，所以，则．

所以，故选B．

11．B 【解析】方法一 由题知直线是双曲线的两条渐近线，如图，因为O是的中点，且，所以，设，则解得则．

因为A是的中点，所以，又点A在直线上，

所以，解得，所以，故选B．

方法二 因为O是的中点，，所以，

因为A是的中点，所以，又，

所以，所以，所以，

则，所以．故选B．

12．A 【解析】如图，因为三棱锥的棱长均为6，所以点P在平面ABC内的射影H是的中心，取BC的中点D，连接AD，则点H在AD上，且，

所以，，，则．

设三棱椎P—ABC的外接球半径为R，则，在中，，

解得．因为，所以，取AB的中点F，则，且，

所以．

当过点E的球O的截面与OE垂直时，截面面积最小，设截面圆的半径为r，则，所以截面面积为．故选A．

13．2 【解】，则．

14． 【解】，即，

即，则，又，

则，，则，即．（写成90°也给分）

15． 【解析】过点且与直线垂直的直线为，则圆心在直线上，又圆心在线段MN的垂直平分线上，即直线，所以圆心坐标为（1，5），

则圆的半径为．

16．4 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，其中，，．

因为，直线平移到B点时目标函数取最大值，即，解得．

因为，所以，即，

所以，

当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4．

17．（1）由正弦定理和，得，

又，所以，

因为，所以，则，又，所以．

（2）由余弦定理得，又，

所以，两边同除以bc，得．

18．（1）当时，．

 ①，当时， ②

①－②得，即，当时，满足公式，所以．

（2）由（1）知，

则 ③，

 ④，

③－④得，

，所以．

19．（1），

由知，则，或，，

所以，或，，又，则，所以．

令，，则，，则函数的单调递增区为，．

（2）由（1）知，，则，

当，即时，函数有最小值－1；

当，即时，函数有最大值2．

20．（1）由题知，又，且，所以平面，则．

，，连接，BD，因为是的中点，所以，且．

因为，，所以，因为，

所以平面，因为平面，所以．

连接，如图，，，因为，所以，则，

所以，则，

则，所以．

因为，所以平面．

（2）连接BD，因为，，D是AC的中点，所以，且，

设，，则，取AB的中点F，则，连接FM，则，且，则，所以，

又，利用得，解得，

又因为，所以，因此，当时，点D是平面ABM的距离为．

21．（1）因为长轴长为，所以，因为离心率，所以，则，

所以椭圆E的标准方程为．

（2）假设存在点，使得直线NA，NB关于x轴对称．当直线l的斜率不为零时，可设直线l的方程为，联立得，

设，，则， ①．

显然直线NA，NB的斜率均存在，分别设为，，则，

，

即 ②，

把①代入②化简得，该式对任意的恒成立，则，

所以存在点，使直线NA，NB关于x轴对称，当直线l的斜率为零时，直线NA，NB关于x轴对称，综上所述，存在点，使得直线NA，NB关于x轴对称．

22．（1），则，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

令，，则，

则，解得或．

（2）不等式恒成立，即恒成立，

由于，则．

设，则，

即．

设，则，所以在上单调递减，

又，，

所以存在，使，即．

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，又，则，

由于恒成立，，所以实数a的最小整数值为1．