MST高考数学二轮复习专题讲义

第二讲 由泰勒展开和经典不等式引发的放缩

同构和异构，关键在于拆分和判断，到底什么函数是恒成立，在什么位置取等，我们不可能记住所有的函数，但是我们可以通过一些方法去寻找这些函数的特征，导数世界里的元素，就是、、、，，当然还有分式函数，比如，它们之间有哪些关联呢？且听MST森哥来给你分解。

想获得本章讲解视频，可以跟本人联系，本人微信号：cysmath.

泰勒展开与放缩原理

若函数在点存在直至阶导数，则有;

即

（1)式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(1)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．

以后用得较多的是泰勒公式(1)在时的特殊形式：

，它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．由此可得近似公式：；

由此可以得到高考常考函数在0处的泰勒展开式：

由此我们能根据泰勒展开进行放缩，；

题型一：关于指数的泰勒展开和经典指数不等式：

一切从在恒成立开始，形成，时取“=”此是同构异构常见的母函数.，当时取“=”.

对上式子两边进行积分有：要在时取“=”，将代入有.

即()，当时取“=”.

同理继续有：()，当时取“=”.

一直积分下去，即有当时取“=”.

  此时延伸出一系列不等式，当知道处泰勒展开，我们可以用代换，可求出处泰勒展开，即知道任意一点处的泰勒.一般高考要求二次，故此处只总结到二次.

1：，当时取“=”，时恒成立；

2：，当时取“=”，时恒成立，时；

3：，当时取“=”，时恒成立；

4：，当时取“=”，时恒成立，时；

5：，当时取“=”，时恒成立；

6：，当时取“=”，时恒成立，时；

7：，当时取“=”，时；当时，；

注意：，两边取积分，得，代入端点即得，由于并非的切点，故在处时，很明显发现，但不影响的拐点就是，这里还能得到一个弱化的不等式对恒成立.（此不等式会用在2021新高考II卷压轴导数题找点中，详见本章第五讲）

8：，当时取“=”，时恒成立；

本结论对140分以下的学生不做要求。

通过平移得到：

9：或，当时取“=”，时恒成立；

10：，当时取“=”，时恒成立，时；

11：，当或时取“=”，时恒成立，时；（利用指数找基友证明）

12：利用代替前面8个母函数，可得到前8个母函数在处的母函数表达式;

亦可总结为：

在处“=”.

例1.(2010・新课改2卷)设函数.

(1)若,求的单调区间;

(2)若当时,求的取值范围.

【例2】(2014•新课标Ⅱ)已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)设，当时，，求的最大值；

例3.(2021年雅礼一模22题)已知函数，(其中常数,是自然对数的底数)

(1)讨论函数的单调性;

(2)证明：对任意的，当时，.

例4.（2021•赣州模拟）已知函数且为自然对数的底数）．

（1）当时，求的最小值；

（2）若关于的不等式，求整数的最大值．

注意：根据，，两式相加即得，当时取“=”，时恒成立；由此我们能得出一个新的总结归纳，如下：

由于①；②

①+②得：，结合前面第5和第6的结论，我们综合总结归纳可得：，由于，我们称之为双曲余弦函数，那么它的泰勒展开式我们也随即推导，如果令，则会有（如左图）

同理，我们可以得到双曲正弦函数，根据前面结论3和结论4，当，记，

令，则会有，最经典的代表就是飘带函数.

另外，由于双曲余弦函数是偶函数，双曲正弦函数是奇函数，易知当时，（如右图），而依然成立.

1.（2021•哈尔滨模拟）已知且．

（1）若是函数的极值点，求实数的值，并求此时在，上的最小值；

（2）当时，求证：．

2.（2021•乌鲁木齐模拟）已知函数．

（Ⅰ）讨论在区间，上的单调性；

（Ⅱ）证明：当时，．

3.（2021•呼兰区校级四模）已知曲线在处的切线方程为，且．

（1）求的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

4.（2021•深圳月考）已知函数，．

（1）当，时，证明：．

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

5.（2021•射洪市模拟）已知函数，，其中，．

（Ⅰ）若函数无极值，求的取值范围；

（Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值；

（Ⅲ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

题型二：关于对数的泰勒展开和飘带函数放缩：

；；

还是可用代换，可得出在处的泰勒展开.如果需要处的泰勒放缩，则利用替换，即先求出处的表达式.如，时取“=”求出在处切线.

1：,当时取“=”；,当时取“=”；,当时；当时取“=”；

2： ,当时；当时取“=”；当时；

3： ,当时取“=”；

4：,当时取“=”；

5：,当时取“=”；

6：,当时取“=”；

7：指对互换,当时取“=”；或,当时取“=”；

令，；，；

8：，当时取“=”；

9：,当时；当时；当时；

10：,当时；当时；当时；

注意：9和10均为飘带函数放缩，属于常见式.

11：,当时；当时；当时；

12：,当时；当时；当时；

13：,当时；当取；当时；

14： ，当时，当，；

15：，当时，当，；

16：,当时取“=”；

【例5】(2021•锦州模拟)已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是(  )

A． B． C． D．

【例6】(2021•河南月考)已知函数对任意有成立，则的最小值为(   )

A． B． C． D．

例7.（2021•湖北模拟）已知函数，其中．

（1）当，讨论函数的单调性；

（2）若时，恒成立，求的取值范围．

例8.（2021・厦门一模）已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)若,证明.

例9.（2021•上饶三模）已知函数．

（1）曲线在点，处的切线斜率为0，求的值；

（2）若恒成立，求的取值范围．

6.（2021•全国Ⅱ卷模拟）已知函数．

（1）求曲线在点，处的切线方程；

（2）求证：．

7.(2021•郊区校级三模)已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)当时,证明.

8.(2021•抚顺一模)已知函数,.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,证明:.

9.(2021•恩施模拟)已知函数．

(1)讨论函数的单调性．

(2)证明:．

10.(河北衡水中学2021高三七调理20)已知函数，其中.

(1)若，求函数的极值;

(2)设，若在上恒成立，求实数的取值范围.

题型三：关于三角的泰勒展开和经典三角不等式放缩：

观察发现，为奇函数，只有奇次项；为偶函数，只有偶次项；

如果需处的三角泰勒，只需代替即可，最后提示一下多项式函数，利用(，)展开放缩.

常见母函数构造：

1.，时，时；时；

2.，时，时；

3.，时，时；时；

4.，时，时；时；

5.，时，时；时；

6. ，时，时；

7.是偶函数，在单调递减；

8.是奇函数，时，在单调递增；

9.，时，；

10.，时，时；

11.对恒成立；

12.对恒成立;

13.对恒成立；

例10.(2021•巴南区校级模拟)设．

(1)证明：；

(2)若，求的取值范围．

【例11】(2021•天心区模拟)已知函数．

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

例12.(2020佛山二模)已知函数,其中.

(1)当时,求证:过原点且与曲线相切的直线有且只有一条;

(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

例13.（2021•重庆模拟）已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）求证：当，时，；

（2）若不等式对成立，求实数的值．

例14.（2021•广陵区模拟）已知函数，其中，为自然对数的底数．

（1）当时，对，，

①证明：；

②若恒成立，求实数的范围；

（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．

11.(2006•湖南)已知函数，数列满足：，，，，．．．

证明：(1)；

(2)．

12.(2008•全国卷Ⅱ)设函数．

(1)求的单调区间；

(2)如果对任何，都有，求的取值范围．

13.（2021•汕头三模）已知函数，．

（1）当时，求证：当时，；

（2）若在，上恒成立，求的取值范围．

14.（2021•5月份模拟）已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）当，时，，求的取值范围．

题型四：关于任意函数的构造和放缩：

不等式和恒成立的母函数是同构异构的根基，下面我们来介绍一种探索新型不等式的方法：绅士(森氏)回穿法.

首先我们来介绍最基本的切线方程构造的不等式，即，我们看图左，始终在图像的上方；我们再看中图，对切点处的和反向求积分，也可以这么理解，，，，此时相切两曲线为和，代入点可得：.根据单调性和图像综合分析，我们发现当时，在图像上方，当时，在图像下方，那么在原始的切线切点处通过求导逆运算构造的曲线穿越性切于点，那么在这个基础上再积分一次，或者说求导逆运算一次会怎样呢？我们如右图所示，我们通过运算得到了始终在图像上方，这样两个曲线切于一点，不断反向求导构造，就会产生这样一穿一回的现象，这样去构造不等式，我们称之为绅士(森氏)回穿法.

    当然，会有读者朋友们产生一个疑问，为什么要反向求导（积分），而不能正向求导呢？刚刚的求导后变成，再跟相切，我们这里再拿个函数来说明：于相切于点，求导后变成，显然与相交，但是我们发现，，故与穿越相切于点(如右图),当然，还能继续求导逆运算（积分）下去，一回一穿；

回到我们本讲介绍的双曲正弦和双曲余弦函数的泰勒展开式，其实就是完全符合这个回穿原理，双曲正弦为穿越切线，双曲余弦则为单侧切线，也可以理解为相切后回弹，三角也是，正弦函数切线穿，余弦函数切线回，乐此不疲.

    我们来尝试解释一个相对冷门的不等式，这个不等式会在后面极值偏移中发挥巨大作用，就是飘带函数，我们知道，当时，，当时，，我们可以理解为与穿越相切，根据绅士回穿法，由于，，那么这次就是回，即，代入得，即恒成立（如图），考试时，直接构造这个不等式，并求导证明即可，本类型题证明不难，难在逆向思维;

所以，无论怎么理解导数，求导证明，反向求导得积分证明，都需要求切线方程，所以求切线方程成为重中之重，我们必须通过求切线之后才能反向积分，我们介绍几个常见可求切线也方便反向求导的例子.

通式：，这个大家都清楚的.

关于的切线和放缩式：

1.,当且仅当时等号成立;

2.，当且仅当时等号成立；或者（（））当且仅当时等号成立；

3.，当时等号成立；

4.，当且仅当时等号成立；

5.，可以理解为；

6.对恒成立；对恒成立；                      

7.对恒成立；对恒成立；

8.对恒成立；对恒成立；

9.对恒成立，恒成立；

总结：本质都是找点探路后的泰勒展开式，如果能熟练掌握泰勒展开式，可以写出式子后再证明，如果不能熟记，就可以尝试绅士回穿法，一切殊途同归！

例15.(2021武汉三调)已知函数.

(1)当时，求的最小值.

(2)证明:当时，恒成立

例16.（2021•九江一模）已知函数，

（1）当时，求证:在上单调递增；

（2）当时，，求的取值范围.

15.（MST读者供题）已知函数，.

(1)若在点处的切线过原点，求的值;

(2)在(1)的条件下，若恒成立，求的取值范围.

16.(赣州模拟导数压轴)证明: