处理强基不定方程试题的七大视角

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1.（2019广西预赛）满足的正整数对有_________个.2.（2018江西预赛）设为正整数，且满足，则正整数对有_________个.3．对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数（例如，满足的正整数对有（6,3），（4,4），（3,6）三个，则）。求出使得的所有正整数。4．已知的三边长分别为．、、，且满足，是否存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．5．求方程的所有正整数解.6．已知存在整数，使得，求所有可能的的值及相应的整数解.7．（1）求出所有的实数，使得关于的方程的两根皆为整数．（2）试求出所有的实数，使得关于的方程有三个整数根．8．证明：三元方程有无穷个正整数解．参考答案1． 或 或 或【解析】【详解】由知.令.则.因此，等于正整数时的个数.从而，等于的正约数的个数.设，其中，为不同的质数，且.则.的正约数个数为.令.则或 或或故满足条件的 或 或 或.2．存在边长均为整数的满足条件的，其三边长分别为3、7、8或4、5、6【解析】【详解】不妨设，显然．若，此时有，由可得，矛盾．故只能取2、3、4．①若，则，得，又，故无解．②若，则，即，又因为，从而或或．解得或或．其中能够构成三角形的只有，，．③若，则，即，又因为，从而或．解得或．其中能够构成三角形的只有，，．综上，存在边长均为整数的满足条件的，其三边长分别为3、7、8或4、5、6．3．【详解】设是方程的正整数解.则.因为，所以，.对方程两边取模4得.故.设，得，即.对上式两边取模3得到.所以，、一奇一偶.又或两边取模8得.故为偶数，为奇数.（1）若，则.设，有.由，，，，.（2）若，则，，.因为，所以，.令，则 .但，即，矛盾.故原方程有唯一解.4．见解析【解析】【详解】设，不妨设.否则，用替换即可.由于对所有整数，均有.则.（1）若，则.若中取个1，则从而，且因为，所以，又由，知由从而，此时，中恰有五个1，一个0，即及其轮换.（2）若，由整数的离散性得因此，由柯西不等式知于是，注意到，故若中取个2，则故此时，中恰有一个1，一个2，即综上，.当时，解为当时，解为及其轮换，和及其轮换.5．（1），0，，，，，，．（2），，9，11【解析】【详解】（1）设两个整数根为、，则由①＋②得．有．            ③不妨设，则．再由③知，．于是，有；；；；；；；．所以，，，664，，64，，40，，即，0，，，，，，．（2）经观察，发现有一个根为，故可分解得．从而，为整数，且有两个整数根．令判别式（为非负整数），则，于是有．又由于与的奇偶性相同，所以，与同为偶数，且，．故；；；．解得；；；．因此，，，9，11．6．见解析【解析】【详解】由试验观察得出一个解，，．于是，．①取2、3、4的最小公倍数12，对式①两边乘以（其中k为正整数，m为非负整数），有．这表明是原方程的正整数解．由k、m的任意性知，方程有无穷个正整数解．