专题16 圆锥曲线焦点弦 微点4 圆锥曲线焦点弦综合问题的解法

这是一份专题16 圆锥曲线焦点弦 微点4 圆锥曲线焦点弦综合问题的解法，共31页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。

专题16 圆锥曲线焦点弦 微点4 圆锥曲线焦点弦综合问题的解法
专题16 圆锥曲线焦点弦
微点4 圆锥曲线焦点弦综合问题的解法
【微点综述】
前几节我们分别介绍了圆锥曲线焦点弦三角形的周长、面积及弦长公式，本节我们将继续研究圆锥曲线焦点弦的性质及其应用．
对于涉及焦点弦三角形周长或距离的问题，首先要考虑使用椭圆或双曲线的第一定义；其次要关注解题技巧，如将两个第一定义式相加或相减、对第一定义式两边同时平方等，以减少变元．
对于和焦点弦三角形的边角有关的问题，一般要结合椭圆或双曲线的第一定义以及正、余弦定理求解．至于是用正弦定理还是余弦定理，则要根据条件和所求目标，探索分析后再作决定．
一般来讲，如果知道焦点弦三角形的三边长之比或三个内角的正弦值之比，可以用正弦定理求解．如果知道两边长与其中一边所对的角的大小，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求出其他角的大小与第三边．如果知道焦点弦三角形的两边长与其夹角，可用余弦定理求出第三边．
有些和焦点弦三角形有关的问题可以直接利用焦点弦有关性质、结论或公式，避免常规、复杂的推理和运算．
一、以焦点弦为背景的角度问题
解决有关焦点弦三角形的角度问题时，应充分利用向量的运算简化解题过程、减少运算量．
1．椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，直线过点交椭圆于两点．若直线方程为，且为直角三角形，求椭圆方程．

二、以焦点弦为背景的最值问题
2．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（    ）
A．16 B．14 C．12 D．10
3．已知椭圆过点，且左、右顶点分别为，左焦点为，上、下两个顶点分别为为坐标原点，与面积的比值为．
（1）求的标准方程；
（2）过且斜率为的直线与椭圆交于两点，点在轴上，且满足，已知，求与面积比值的最小值．
4．已知椭圆和圆分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示），当时，弦的长为．

（1）求圆和椭圆的方程
（2）若点是圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值．
5．如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、 两点.

（1）若，且 求椭圆的离心率.
（2）若，求的最大值和最小值.
三、以焦点弦为背景的范围问题
6．已知椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则三角形F2AB的内切圆半径的取值范围为_________.

四、以焦点弦为背景的其它综合问题
7．已知是椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过椭圆右焦点，交该椭圆于、两点，中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于，记的面积为，的面积为，若，求直线的方程．
8．已知椭圆E：的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于A，C和B，D四点.
(1)四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由；
(2)求的最小值.
9．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，当时，以为直径的圆与轴相切于点.
（1）求抛物线的方程；
（2）试问在轴上是否存在异于点的定点，使得成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
10．如图：椭圆的顶点为,左右焦点分别为，，

（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由？
【强化训练】
（2022安徽安庆·高三）
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
（2022马鞍山市第二中学郑蒲港分校）
12．过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（    ）
A．14 B．16 C．18 D．20
14．过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（    ）
A．3 B．2 C． D．1
15．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（    ）
A．， B．
C．的离心率等于 D．的渐近线方程为
16．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且，下列说法正确的是（    ）
A．与双曲线的实轴长相等
B．
C．若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为
D．若，则直线的斜率为
（2022南京师范大学附属中学秦淮科技高中）
17．已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点A，且满足，设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为________．
18．已知直线经过抛物线的焦点并交抛物线于，两点，则，且在抛物线的准线上的一点满足，则______.
（2022安徽亳州二中）
19．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别是、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，若，试求内切圆的面积.
20．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.

(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
(2)若恰好被平分，求面积的最大值
21．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左､右焦点分别为，，且到的一条渐近线的距离为1.
(1)求的标准方程；
(2)若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求.
22．已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.




参考答案：
1．或．
【分析】由直线方程为，易得，且直线倾角为，观察易发现，因此直角可能为或，分类讨论即可求解.
【详解】直线的方程为，由此得，并且直线倾角为，观察易发现，因此直角可能为或．
（1）若为直角，△为以为斜边的等腰直角三角形，可知为，，椭圆方程为；
（2）若为直角，．设，
则，
，
联立，得，
由，得，
又且，
所求椭圆方程为．
综上所述，所求椭圆方程为或．
【点睛】关键点点睛：在焦点△中的角度问题中，若是求角度，抓住定义求，用余弦定理来解决；若是求，利用向量来解决极为方便．
2．A
【分析】设的方程为，，，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是，由弦长公式求得弦长，由垂直得方程，同理可得，求出，应用基本不等式可得最小值．
【详解】因为两条互相垂直的直线均过，且
所以设的方程为，，，
联立，故，．
则，
同理，
，当且仅当时，取“”，
故选：A
【点睛】关键点点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
3．（1）；（2）．
【分析】（1）由与面积的比可得a,c关系，再由椭圆过点即可求出；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数关系求，，将与面积比转化为关于的式子，利用均值不等式求最值.
【详解】（1）设，由题意知，
整理得①．
将代入的方程，得②
由①②及，得，，
故的标准方程为．
（2）由（1）知，则直线的方程为．
联立直线与椭圆的方程，得，
消去可得，
设，，
则，，
所以
．
易知点到直线的距离．
设线段的中点为，则，
即，
所以线段垂直平分线的方程为，
因为，所以点在线段的垂直平分线上，
令，得，则．
所以

，
当且仅当，即时取等号，
故与面积比值的最小值为．
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线最值问题的常用方法有三种：一是转化为函数的最值问题，先引入变量，构建与待求量有关的函数，然后求最值；二是转化为基本不等式问题，利用不等关系构建不等式并求解；三是利用圆锥曲线的几何性质及数形结合法求解．如本题第（2）问，先建立关于面积比值的表达式，然后对其进行转化，最后利用基本不等式求解．
4．（1）；（2）
【分析】（1）由直线被圆截得的弦长为，运用垂径定理建立关于等式即可求解；
（2）求直线的方程，因为直线已经经过，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为成等差数列，结合椭圆的定义，可求得的长，从而可求得的坐标，最终可求得直线的方程．
【详解】（1）取的中点，连接
由，可得，
∵，∴
∴
∴圆的方程为，椭圆的方程为

（2）∵成等差数列，所以,又因为，
∴
设，则，得，
∴
∴到的距离为，
又圆上一点到直线的距离的最大值为
∴的面积的最大值为．
5．（1）；（2）最大值；最小值.
【解析】（1）因为在焦点三角形中，，则，又因为，所以，所以，
（2）若，则，，当垂直于轴时，可求出两点的坐标，从而可得的值，当与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为，与椭圆方程联立成方程组，消去后，整理再利用韦达定理得, ，从而可得=，进而可求出其取值范围
【详解】（1），
因为。所以，
所以，
所以
（2）由于，得，则.
①若垂直于轴，则，
所以，
所以
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由    得  
，方程有两个不等的实数根.
设，.,



=

，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
【点睛】关键点点睛：此题考查由焦点三角形三边关系求椭圆方程，考查椭圆与向量相结合求最值问题，解题的关键是将利用韦达定理求出, ，然后将用含的式子表示出来，即=，再利用不等式的性质可求出其取值范围，考查计算能力，属于中档题
6．
【解析】设，内切圆的半径为，利用等积法可得，联立直线方程和椭圆方程，从而可得，利用基本不等式可求的范围.
【详解】解：如图，由椭圆，得，，
∴，，

当直线无限接近轴时，无限趋近于，
则的内切圆的半径无限趋近于0；
设，
联立，得.
.
设内切圆半径为，则即，
∴，
令，得，当且仅当时等号成立，
∴三角形的内切圆半径的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：（1）利用等积法构建半径的目标的函数；（2）直线与圆锥曲线的中的范围问题，可联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求范围问题.
7．（1）；（2）．
【分析】（1）根据三角形的面积公式和余弦定理求得，，由此求得椭圆的方程．
（2）解法一：由已知和三角形的面积公式得．分斜率不存在和斜率存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程为，设点，，代入作差得，得直线的方程为：，分别与椭圆的方程和的直线方程联立求得和，可求得斜率，从而得直线的方程．
解法二：由已知和三角形的面积公式得．当斜率不为0时，设直线的方程为，，，，直线AB的方程与椭圆的方程联立求得点的坐标，将其代入椭圆的方程可求得，从而得直线的方程．
【详解】（1）因为，所以，设，，，
因为，的面积为，
所以，所以．
在中，由余弦定理得：，即，
解得，所以，，
所以椭圆的方程是．
（2）解法一：因为，所以，
所以，所以．
当斜率不存在时，，不合题意，
当斜率存在时，设直线方程为，
设点，，则，两式作差得：，即，
故直线的方程为：，
联立，解得，联立，解得，
因为，所以，即，解得：，
所以直线的方程为．
（2）解法二：因为，
所以，所以，所以．
当斜率为0时，，两点重合，不合题意，
故设直线的方程为，，，，
联立得，所以，，
所以，，
所以，即，
将代入得，
即，解得：，
所以直线的方程为．
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.
8．(1)不可能，理由见解析；
(2).

【分析】(1)利用反证法的方法并结合椭圆的对称性即可推理作答.
(2)当直线AC的斜率存在且不为零时，设出直线AC的方程，再与椭圆E的方程联立，借助韦达定理求出，，
然后建立函数关系即可求解，当直线AC的斜率为0或不存在时，求出并比较大小作答.
（1）
设点，
若四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形，
于是有线段AC与BD在点F处互相平分，而点F的坐标为，
则，由椭圆的对称性知，AC垂直于x轴，BD垂直于y轴，显然这时四边形ABCD不是平行四边形，
所以四边形ABCD不可能成为平行四边形.
（2）
当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为，
由消去y并整理得，，则由(1)所设坐标得：，，
，
而直线BD的斜率为，同理得，，于是得，
令，则，当且仅当，即时取“＝”，
当直线AC的斜率不存在时，，，则有，
当直线AC的斜率为零时，，，则有，而，
所以的最小值是.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以是斜率或点的横、纵坐标等.
而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.
9．（1）；（2）存在点，.
【分析】（1）根据平面几何性质求得,代入抛物线方程即可求出结果；
（2）设直线的方程与抛物线的方程联立，进而用分别表示出，然后根据建立等量关系，消去即可求出结果.
【详解】
（1）设的中点为，过作轴于，连接，因为以为直径的圆与轴相切于点，所以于，故，因为，即，所以，所以，因此,因此，因为，所以，故抛物线的方程为；
（2）设，且,由题意可知直线斜率不为0，故设直线：，所以，联立得，设，则，而，而，因为，即，所以，两边同时平方可得，又因为，所以，化简整理可得，即，所以，所以，因为异于点，所以，故点.
【点睛】求定值（定点）问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值（点）与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值（定点）．
10．（1）；（2）在轴上存在定点，使得为定值
【分析】（1）根据，和可构造出关于的方程组，求解可得标准方程；（2）当直线斜率不为时，设，，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，列出，代入韦达定理的结果可整理出，根据可求得和的值；当直线斜率为时，可知所求的依然满足是上面所求的值，从而可得结果.
【详解】（1）由知：……①
由知：，即……②
又……③
由①②③得：，
所求方程为：
（2）①当直线的斜率不为时
设，，，直线的方程为
由得：    


由，得：，故此时点，
②当直线的斜率为时，
综上所述：在轴上存在定点，使得为定值
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定点定值问题.解决定点定值问题的关键是建立起关于变量的等量关系式，通过化简、消元消去变量，从而得到定值；通常采用先求一般再求特殊的方式，对于直线斜率为零或不存在的情况，通常最后验证一般情况下得到的结论适合特殊情况即可.
11．A
【分析】利用双曲线的定义求出，进而得出，再由三角形的面积公式即可求解.
【详解】∵，∴，
∵，∴，
因为，所以，，

∴.
故选：A
12．D
【分析】由题意设为，联立抛物线结合韦达定理求得，，再由线段的数量关系求，最后由列方程求p，写出抛物线方程即可.
【详解】由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，
∴若，则，，又易得，
∴，则，即，
∴，
又，而，
∴，即，又，则，故.
故选：D
13．D
【分析】利用点差法，得到弦所在直线的斜率与弦中点纵坐标的关系式，再结合抛物线的定义即求.
【详解】设，，弦的中点为，，
则，
所以，所以，
则，
所以弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
所以．
故选：D．
14．C
【分析】方法一（几何法）：根据抛物线的概念，结合直角三角形相关知识和已知条件即可求解；方法二（代数法）：设直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的概念和已知条件即可求解.
【详解】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．

方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．
故选：C.
15．BCD
【分析】根据题意得，，；由知：，
又，，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.
【详解】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，

因为，所以，所以，，A错误，B正确；
由知：，又，，
所以，即，所以，解得：，C正确；
所以，所以，所以，所以，
所以的渐近线方程为，D正确．
故选：BCD．
16．AD
【分析】根据双曲线的定义求解判断A，由由双曲线的性质求解判断B，利用勾股定理求得判断C，结合双曲线的定义，余弦定理求得直线倾斜角的正切值，再利用对称性得直线斜率判断D．
【详解】由双曲线定义知，A正确；
由双曲线的性质（为右顶点时取等号），本题中不可能是右顶点，所以，．
所以，B错误；
若在以为直径的圆上，即，由选项A讨论知，
所以，即，从而，，渐近线方程为，C错误；
若，则，所以，
中，，
中，，
，所以，，，
，，，
所以，由对称性知的斜率为，D正确．
故选：AD．
17．
【分析】由可得点在准线上，则可得，可得抛物线的方程为，所以，从而可求出直线方程为，然后直线方程与抛物线方程联立可求出点的纵坐标
【详解】由题意可知，因为，所以点在准线上，
又因为准线方程为，所以，即，
所以抛物线的方程为，
因为点坐标为，所以，故直线方程为，
联立得，
解得（舍）或，故点纵坐标为．
故答案为：

18．2
【分析】由所给向量关系可得点C在直线AB上，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，结合抛物线定义求出即可作答.
【详解】过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为N，M，令准线交x轴于点K，如图：

则有，因点C在准线上且满足，即点C是直线AB与准线的交点，
于是有，得，从而有，即点F是线段AC的中点，
而，则有,又，
所以.
故答案为：2
19．（1）；（2）.
【分析】（1）本题首先可根据的周长为求出，然后根据离心率为求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）首先可根据椭圆的标准方程得出直线的斜率为，然后根据得出直线的方程为，再然后与椭圆方程联立，得出，，最后求出的面积与周长，通过即可求出内切圆半径与面积.
【详解】（1）因为的周长为，所以结合椭圆的定义可知，，，
因为离心率为，所以，，
故椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的标准方程为易知，，
则直线的斜率为，
因为，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
联立，整理得，
设，，则，，
的面积，周长，
因为，所以内切圆半径，内切圆面积为.
20．(1)4
(2)．

【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．
【详解】（1）在椭圆中，， 所以，；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．
【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．
21．(1)
(2)

【分析】（1）先求解双曲线的离心率、椭圆的离心率，表示到的渐近线的距离，可得，结合离心率求解即可；
（2）联立与的方程，求解点的坐标，再求解的坐标，计算到的距离即为两个三角形的高，求解即可
（1）
双曲线的离心率为：
故椭圆的离心率为：
双曲线的一条渐近线方程为：
设的坐标为：，则
，解得
又，解得，
故椭圆的标准方程为：
（2）
联立方程组：
解得：，即点坐标为：
直线的斜率为：
则直线的方程为：
联立方程组：
解得：或
即点坐标为，点到的距离为
联立方程组：
解得：或
即点坐标为，点到的距离为
则，即
22．(1)
(2)

【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入坐标可得答案；
（2）当直线l的斜率不存在时，可得A､B的坐标及的周长；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，的周长利用韦达定理得到，设，根据的范围可得答案.
【详解】（1）设双曲线C的方程为，
代入点，得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）双曲线C的左焦点为，
设､，
①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，
此时的周长为.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由得，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以，
得
设的周长为z，



，
设，由，得，
，，
所以，
综上，由①②可得的周长的取值范围.