2023届安徽省合肥市第一中学高三上学期学业质量评价作业（二）数学试题含解析

2023届安徽省合肥市第一中学高三上学期学业质量评价作业（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分别求出集合A,B中x的范围，再求集合A,B的交集即可.

【详解】 ，即，

，即，

.

故选：B

2．“”是“在上恒成立”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出在上恒成立时的取值范围，结合充分条件和必要条件即可得出答案.

【详解】在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则在上恒成立，

故在上单调递增，

，所以.

因为，而推不出，

所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件.

故选：A.

3．函数在上的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可.

【详解】解：∵，∴在上为偶函数．

又，

∴只有选项C的图象符合．

故选：C．

4．若关于x的不等式的解集是，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】A

【分析】根据三个“二次”的关系可知，和是方程的两根，由韦达定理求出，即可将化成关于的式子，变形，由基本不等式即可求出其最小值．

【详解】根据题意可得和是方程的两根且，即，.

故，

当且仅当时，等号成立.

故选：A．

5．若函数，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由在，递增，以及二次函数的值域求法，即可得到所求的值域．

【详解】解：函数，

当时，递增，可得，；

当时，，

当时，取得最大值4，时，，

即有，．

可得的值域为，．

故选：．

【点睛】本题考查分段函数的值域，注意运用函数的单调性和二次函数的值域，考查化简运算能力，属于中档题．

6．已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析可知在上单调递增，且，将所求不等式转化为，可得出，解此不等式即可得解.

【详解】当时，，所以在上单调递增，

且，不等式即为.

又因为是偶函数，所以不等式等价于，

则，所以，，解得.

综上可知，实数的取值范围为，

故选：A.

7．如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点M是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线的对称点，连接，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据题意得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可.

【详解】函数经过点，所以.

设直线与函数相切，

联立消去y，得．

，解得．

则直线与直线间的距离为．

故MN的最大值为．

故选：B

8．已知函数有唯一零点，则

A． B． C． D．1

【答案】C

【详解】因为，设，则

，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.

【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

9．已知函数，若不等式对任意的均成立，则的取值不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据奇偶性定义和单调性的性质可得到的奇偶性和单调性，由此将恒成立的不等式化为，通过求解的最大值，可知，由此得到结果.

【详解】，是定义在上的奇函数，

又，

为增函数，为减函数，为增函数.

由得：，

，整理得：，

，，，

的取值不可能是.

故选：D.

【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：

（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；

（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.

10．设是函数的导数，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，利用可求得；设，利用导数可确定单调性，结合可得单调性，从而确定的最小值.

【详解】令，则，

，，即，

令，则，在上单调递增，

又，

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增；

.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够将问题转化为最值的求解问题，利用导数确定单调性，利用单调性确定最值点，从而确定大小关系.

二、多选题

11．某同学在研究函数时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是（    ）

A．等式在时恒成立

B．函数的值域为

C．若，则一定有

D．方程在上有三个根

【答案】ABC

【分析】根据解析式可验证知A正确；由的解析式可得值域，结合奇函数对称性知B正确；由B中解析式可确定当时在上单调递增，结合奇函数对称性可证得在上单调递增，知C正确；分别在和时，令解得零点，得D错误.

【详解】对于A，，，A正确；

对于B，当时，；，；

由A知：为奇函数，当时，；

的值域为，B正确；

对于C，由B知：当时，，则在上单调递增；

又为奇函数，则在上单调递增；在上单调递增，

则若，则一定有，C正确；

对于D，当时，令，解得：；当时，令，方程无解；

在上有且仅有一个解，D错误.

故选：ABC.

12．不等式对任意恒成立，则下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】将题设不等式化为标准的一元二次不等式，由其恒成立得，再结合不等式的性质变形后判断ACD选项即可，对于B，则举反例排除.

【详解】对于A，将整理为，

因为对任意恒成立，所以，

即，整理得，故A正确；

对于B，令，则，满足题意，故B错误；

对于C，由A知，即，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：ACD.

13．已知函数是上的偶函数，，当时，，则（    ）

A．

B．当时，

C．对不等式恒成立．则a的最大值为

D．曲线 与曲线在上有1516个公共点

【答案】AB

【分析】首先得到的周期为4，利用周期性判断A；根据周期性求上的解析式判断B；画出的函数图象，根据恒成立判断a的范围判断C；画出的图象，数形结合、周期性判断区间内与的公共点个数判断D.

【详解】由，故，

所以，故的周期为4，又，，

，A正确；

若，则，

若，则，

若，则，B正确；

由上分析可得函数图象如下：

由，则，要使恒成立，

由图知：，即，故a无最大值，C错误；

由解析式及其图象：上有3个交点，

所以在上有个公共点，在有2个公共点，

故共有个公共点，D错误.

故选：AB.

【点睛】关键点点睛：根据函数的周期性及区间解析式画出函数图象，根据恒成立判断参数范围，利用周期性确定闭区间上两函数交点个数.

14．类比三角函数的定义，把角的终边与双曲线交点的纵坐标和横坐标分别叫做的双曲正弦函数、双曲余弦函数．已知，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．若直线（c为常数）与曲线共有三个交点，横坐标分别为，则

【答案】BCD

【分析】利用有理指数幂的运算性质判断选项A；把等式右侧化简变形判断选项B；利用导数运算判断选项C；结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的性质，奇偶性、单调性、最值等来判断选项D.

【详解】解：对于A，，故A不正确；

对于B，

，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，函数是奇函数，且在上单调递增，值域为，

所以直线与双曲正弦曲线只有一个交点，是偶函数，，于是由题可知，，，

由得，，，

所以，故D正确．

综上，正确答案为B，C，D，

故选：BCD.

三、填空题

15．求函数在处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】分别求出与，再利用点斜式即可写出切线方程.

【详解】由题意知

又因为，

所以

所以切线方程为：即

故答案为：

16．函数的最大值为M，最小值为N，则_____．

【答案】6

【分析】由可得函数关于点对称，根据对称性即可求.

【详解】由题意得，

，

∴函数关于点对称，

∴函数取得最大值与最小值的点关于对称，

∴.

故答案为：6．

17．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则__________．

【答案】

【分析】先利用题给条件求得函数最小正周期为4，进而得到，再利用及即可求得的值.

【详解】，，则，

令则，则

由为偶函数，可得，则函数有对称轴

则有，又，则

则

则，

则函数最小正周期为4.

则

又，则

故答案为：

18．已知是二次函数，，且，则___________.

【答案】36

【分析】法一：由，可设，则由整理后即为，由得，讨论，可得出，由此可解出，可求出的解析式，即可得出答案.

法二：由，设，讨论和结合题目条件可解得，可求出的解析式，即可得出答案.

【详解】法一：

由，可设，

则由得，

所以且，整理后即为，

由得，

若则必有，此时与矛盾，

所以且，

整理后为，

与相加即得，

即，所以，

所以，

又由于在原不等式中令可得，所以，由此解得.

所以.

法二：

，

令，则，设.

若，则

，

于是时，存在使得，矛盾；

时，存在使得，矛盾；

故，令，则.

于是，进而.

故答案为：36.

19．已知角对任意的，恒成立，则的取值范围是_____.

【答案】

【分析】根据题意转化为在上恒成立，利用基本不等式求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】由，即，

即在上恒成立，

又由，

所以，

又因为，可得，所以，解得，

即的取值范围是.

故答案为：.

20．已知，.则的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据题意，将原不等式转化为，令，则原不等式等价于，易知函数在上单调递增，可得，即，再根据基本不等式，即可得到结果.

【详解】由已知可得

令，则原不等式等价于

又函数，函数和函数在区间上单调递增，

所以函数在上单调递增，

所以，可得，即，

所以，当且仅当时取等号，此时的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

21．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

【答案】（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).

【详解】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.

解析：

(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，

解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，

得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)

22．定义在上的奇函数，已知当时，．

(1)求在上的解析式；

(2)若使不等式成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有，即可求出的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；

（2）参变分离后构造函数，根据函数的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果.

【详解】（1）（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，

所以时，，

当时，，

所以，

又，

所以，，

即在上的解析式为.

（2）因为时，，

所以可化为，整理得，

令，根据指数函数单调性可得，

与都是减函数，

所以也是减函数，

，

所以，

故实数的取值范围是.