2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考（三）数学试题含解析

2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考（三）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的表示求得集合，按照集合的并集运算即可.

【详解】解：由已知有，

所以.

故选：C.

2．已知复数满足，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由复数的运算法则可得，再由共轭复数的概念即可得解.

【详解】由题意，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数的概念，属于基础题.

3．过点作圆的切线，则切线方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果．

【详解】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为，

则，可得，所以，即；

斜率不存在时，，显然与圆相切，

综上，切线方程为或．

故选：D．

4．设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（ 　）

A．当n⊥时，“n⊥”是“∥”成立的充要条件

B．当时，“m⊥”是“”的充分不必要条件

C．当时，“n//”是“”必要不充分条件

D．当时，“”是“”的充分不必要条件

【答案】C

【详解】A,B,D正确；C错误．异面；

所以当时，是的既不充分又不必要条件.故选C

5．已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数可证明，据此可判断，再由时判断.

【详解】设，则，当时，，

当时，，所以函数在上单调递增，在单调递减，

所以时，，所以，即，

所以，

又，对任意恒成立.

因此，

故选：.

6．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，则有，,由平面,可得,从而有,代入计算即可得答案.

【详解】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则 ,

所以，

由,可得，

所以,

平面,

所以,

所以,

即，

解得，

当为线段上靠近的四等分点时，平面.

故选:.

7．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出，再表示出，根据离心率的定义求解即可.

【详解】如图，

设的外接圆半径为，由，

有，

故，

所以直线过的内心，又点在直线上，所以点为的内心.

由可知，

记，

则由得点在轴上，且，令，则，

且，故.

则双曲线的离心率，

故选：C.

8．已知函数，若存在，使，则的最大值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】首先利用导数证明，令，则，依题意对任意都成立，即可求出参数的取值范围；

【详解】令，所以，

当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以恒成立，当时等号成立；

所以，当时等号成立；

当时，

令，

要使得存在，使即可，

即对任意恒成立，所以，解得，

所以的最大值为.

故选：B.

二、多选题

9．已知数列满足，则下列结论正确的是（    ）

A．为等比数列

B．的通项公式为

C．为递减数列

D．的前项和

【答案】AB

【分析】由可推得，从而可判断ABC，由分组求和可判断D.

【详解】因为，由题意显然，            

变形得，所以，

又因为，

所以是以1为首项，为公比的等比数列，正确；

因为，所以，B正确；

因为递减，所以递增，即为递增数列， C错误；

因为，所以，

所以，所以D错误.

故选：AB.

10．已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】用，配凑出目标角度，结合正弦的和角公式以及同角三角函数关系，即可求得结果.

【详解】为第一象限角，，则，，

故可能为第二象限角，也可能为第一象限角，则，

为第三象限角，，则，

故只可能为第三象限角，则，

，

当时，，

当时，.

故选：BD.

11．在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆，则下列说法正确的有（    ）

A．椭圆外切矩形面积的最小值为48

B．椭圆外切矩形面积的最大值为48

C．点为蒙日圆上任意一点，点，，当取最大值时，

D．若椭圆的左､右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于点，，则

【答案】ACD

【分析】先求得椭圆的蒙日圆方程，然后利用外切矩形的面积结合二次函数求最值可判断A，B选项，

利用两角和的正切公式，椭圆的定义，向量运算的转化来判断C，D选项

【详解】对于，：如图，设对于椭圆上任意点，过点作椭圆的切线交圆于，两点，

，关于原点对称的点分别为，，则椭圆的一个外切矩形为，

则，由图象易知，

圆心到直线的距离，所以.

又，所以外切矩形为的面积，

因此对，错.

对于：当与圆相切且切点在圆下方时，最大，，

对.

对于，

，

①②得，，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题解题的关键一方面结合题目要求求出蒙日圆方程，建立参数间的关系式来表示面积进而利用函数求最值问题，

另一方面结合椭圆定义式，向量的运算推导的关系，体现了数形结合的思想

12．是定义在上的函数，当，且为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，则（注：为互质的正整数，即为已约分的最简真分数）（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】从值域的角度可判断AB选项；设集合（，且为互质的正整数），集合或或是上的无理数，分情况讨论、以及或时选项CD的结果，可得结论.

【详解】设集合（，且为互质的正整数），

集合或或是上的无理数，

对选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A正确；

对于B选项：当时，；当或或为内的无理数时，，综上有，故选项B正确；

对选项：

①当，则；

②当，则；

③当或则.故选项C正确.

故选：.

三、填空题

13．已知函数满足，则函数在处的切线的斜率为__________.

【答案】

【分析】根据导数运算法则，结合赋值法，求得，再根据导数的几何意义，即可求得结果.

【详解】由，有，

所以，所以，

因此函数在处的切线的斜率为.

故答案为：.

14．如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.

【答案】6

【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.

【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），

因为，所以，

所以，

所以，所以，

所以当，即时，的最小值为6.

故答案为：6

15．党的二十大是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程，向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在二十大即将胜利召开之际，某学校组织了《喜迎二十大，谱写新篇章》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图1.已知球的表面积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图2，则球心离底面的距离为__________.

【答案】5

【分析】分别取、、中点为，根据题意中的面面垂直可得，，从而得到外接圆的半径.根据特殊三角形，可得，，两者相加即为所求.

【详解】

图3

如图3，分别取、、中点为，连结、、，

由已知可得，平面，即为点在平面上的射影，

同理可得，分别为点在平面上的射影，

所以，.

又，所以.同理可得，，

且.

所以，外接圆的半径.

图4

因为球的表面积为，易知球的半径，

又平面，，则.

设为底面中心，显然.

所以球心离底面的距离为.

故答案为：5.

16．已知抛物线，点 ， 是抛物线上的四个动点，过点作分别作AB，MN的垂线，垂足分别为E，F， ,则点距离的最大值为__________.

【答案】

【分析】设直线AB，MN的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理证明直线AB，MN是过定点的，运用几何意义即可求解.

【详解】设直线的方程为，

将代入中有 ，故，又，

所以，解得，

故直线过定点.因此点在以为直径的圆上，

同理点在以为直径的圆上.；

故点距离的最大值为圆的直径；

故答案为：.

四、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求；

(2)若，D为边上一点，且，求的值.

【答案】(1)；

(2)2．

【分析】（1）由二倍角公式变形后可得；

（2）中由余弦定理求得，然后求得，在中由余弦定理求得，从而可得结论．

【详解】（1）,

；

（2）由余弦定理，，，

，

记，

由得，解得（负值舍去），

即，所以，．

18．已知数列的首项为正数，其前项和满足．

(1)求实数的值，使得是等比数列；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】由题可知，数列的代数表达式是很复杂的，需要进行恒等变换；

（1）当和同时出现在代数表达式中的时候，往往需要利用，把转换成，但是本题是要证明为等比数列，所以要把转换成，再利用等比数列的定义即可证明；

（2）依题意很显然应该是裂项相消求和.

【详解】（1）当时，，，解得；

当时，把代入题设条件得:

，即，

很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，

∴；

（2）由（1）知是首项为，公比的等比数列，

所以，．

故数列的前项和为：

.

19．如图，四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面是边长为2的正三角形，若顶点在底面的射影落在底边上，在上且满足.

(1)求证：；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，由题意可得平面平面，再根据面面垂直的性质可得平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；

（2）利用向量法求解即可.

【详解】（1）证明：取的中点，连接，

因为为等边三角形，为的中点，则，

因为顶点在底面的射影落在底边上，

所以平面平面，

又平面平面平面，

所以平面，

又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

因为，所以为中点，则，

，

因为，所以；

（2）解：由（1）易知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，

所以，

由图可知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角得余弦值为，

故二面角为.

20．某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标的数量与连续用药天数具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，其中表示连续用药天，表示相应的临床疗效评价指标的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标的数量变化明显，随着天数增加，的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：

，.

(1)求样本的相关系数（精确到；

(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为，第2条生产线出现不合格药品的概率为，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.

（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；

（ii）若在抽查中发现3件不合格药品，求其中至少有2件药品来自第1条生产线的概率.

附：相关系数.

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）带相关系数公式计算即可；（2）（i）记事件，，

计算即可；（ii）根据条件概率计算得

，再由服从二项分布解决即可.

【详解】（1）样本的相关系数为

（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，

“随机抽取一件药品为第1条生产线生产”，“随机抽取一件药品为第2条生产线生产”，

则，又，

于是

.

（ii）在抽查中发现的任一件不合格药品来自第1条生产线的概率为：

，

故3件不合格药品中至少有2件药品来自第1条生产线的概率为

.

21．已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C的左、右焦点．

（1）求椭圆C的方程．

（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点P．若，且点Q满足，求面积的最小值．

【答案】（1）；（2）6.

【分析】（1）根据椭圆的离心率为，可得，再将点代入椭圆方程可得，解出可得答案.

（2）设直线，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出点坐标，求出的长度，得出直线的方程为：与直线求出点坐标，得出长度，从而表示三角形面积，得出最值.

【详解】解析：（1）由题意，得，解得：，所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可得,若直线的斜率为0，则的方程为：与直线无交点，不满足条件.

设直线，若，则则不满足，所以

设，

由，得：，

，

因为，即

则，

所以，解得．

于是．

直线的方程为：

联立，解得，所以．

所以，

当且仅当时，．

【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出，进而求出点的坐标，得到的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题.

22．已知函数有两个不同的零点.

(1)求实数的取值范围；

(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）令，分离参数得，利用导数研究函数的单调性，由的图象特征可求实数的取值范围；

（2）由整理得，化简得,整体代换得，要证，变形即证，构造,利用导数进而得证.

【详解】（1）令，得，即.

设，则，则时，时，.

故在时取最大值.

又时，时，，从而，得；

（2）由得，，

从而，

又，

,

即，

设，易知，

故当时，，

所以当时，，即，

所以.