河南省洛阳市孟津县孟津区第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题及答案

河南省洛阳市孟津县孟津区第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，且，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知正实数，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．若函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数有4个不同的零点，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．已知平面向量，，则，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列满足，且，，则（    ）

A．2021 B． C． D．

9．设椭圆的两个焦点分别为F1､､F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

10．已知非零向量的夹角正切值为，且，则（    ）

A．2 B． C． D．1

11．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（     ）

A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直

12．已知，若成立，则满足条件的的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

13．设，则__________.

14．设，则的最小值为______.

15．已知四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，侧面底面，底面为边长为2的正方形，，，则四棱锥外接球的体积为__________.

16．经市场调查，某款热销品的销售量y（万件）与广告费用x（万元）之间满足回归直线方程.若样本点中心为，则当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为______万元.

三、解答题

17．记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若角A为钝角，△ABC的面积为S，求的最大值.

19．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.

(1)证明：.

(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20．自2020年初以来，由于新冠疫情的冲击，人们日常购物的方式发生了较大的变化，各种便民的团购群异常活跃，据某微信公众号消息，参团进行团购已逐渐成为一大常规的购物形式，因此外卖员的收入明显提高.为调查某市外卖员的收入，现随机抽取500名外卖员，按照他们投送的距离分类统计得到如图所示的频率分布直方图.将上述调查所得到的频率视为概率.

(1)估计该市外卖员的平均运送距离；

(2)假设外卖平台给外卖员的运送距离与外卖员的收入有关，其中甲平台规定：1000米以内每份2元，1000米至3000米每份5元，3000米以上每份13元.乙平台规定：2000米以内每份3元，2000米至3000米每份6元，3000米至4000米每份12元，4000米以上每份18元，若你暑期打工去送外卖，每天能送50份，并且只考虑每天的平均收入，你会选择哪一家平台？为什么？

21．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，右顶点为A，且.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

22．已知函数.

(1)讨论的单调区间；

(2)若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．A

【分析】先根据不等式的解法将两个集合的范围解出，再根据集合间的关系即可求出参数范围.

【详解】因为或，，

因为，

所以.

故选：A.

2．B

【分析】利用两次基本不等式判定必要性成立，通过反例说明充分性不成立.

【详解】若，则，

即必要性成立；

当，时，成立，但，故不成立，

即充分性不成立；

即“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．B

【分析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.

【详解】解：因为函数的值域为，

而的值域为，所以函数的值域包含,

所以，解得，

故选：B

4．C

【分析】由题意求得，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解.

【详解】因为函数的反函数是增函数，可得函数为增函数，所以，

所以函数为减函数，可排除B、D；

又由当时，，排除A.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

5．C

【分析】由分离参数得，引入函数，确定在上的单调性，值域，从而可得的范围．

【详解】令，则，设，易知函数在上单调递增，而当时，，且，故实数的取值范围为，

故选：C.

6．B

【分析】作出的大致图象，有4个不同的零点等价于与一共四个交点，由数形结合判断即可.

【详解】当时，，，可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以的大致图象如图所示.

由，解得或. 由的图象可知，当时，有1个根，所以要有3个根，故实数m的取值范围为.

故选：B.

7．C

【分析】根据向量夹角公式求得正确答案.

【详解】，设，的夹角为，

，

，

由于，所以.

故选：C

8．B

【分析】根据题意整理得，结合等差数列通项公式可得，再利用裂项相消运算处理．

【详解】∵，即，则

∴数列是以首项，公差的等差数列

则，即

∴

则

故选：B．

9．D

【解析】解法一：根据方程，令，求得的纵坐标，利用为等腰直角三角形可得的方程，消去后可得，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，注意取舍.

解法二：不妨设椭圆的焦距为1，利用等腰直角三角形的性质得到另外两边的长度，根据椭圆的定义求得长轴的值，进而得到离心率.

【详解】解法一：不妨设椭圆的标准方程为，

半焦距为，左右焦点为，在第一象限，则.

在椭圆方程中，令，则，解得，故.

为直角三角形且，故即，

故，解得（负值舍去）

解法二：如图，不妨设,则,,

于是,

,

故选：D.

【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系；而利用定义方法求离心率常常能起到快速解答的作用.

10．D

【分析】先求出非零向量的夹角余弦值，再利用向量数量积的运算律和定义处理

，即可得到答案.

【详解】解析 设，的夹角为，由得.

因为，所以，

得，解得或（舍去）.

故选：D.

11．B

【详解】因为，，，，所以,,可得，所以，线与的位置关系是平行，故选B．

12．D

【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论确定满足条件的的个数即可.

【详解】分类讨论：

很明显当时，恒成立，

当时，应有，此方程的根即函数与函数在区间上的交点的个数，

注意到过坐标原点的切线方程为，且，故函数与函数在区间上有2个交点，函数图象如图所示.

当时，不存在满足题意的实数，

综上可得，满足条件的的个数是3.

本题选择D选项.

【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，导函数研究函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13．

【分析】确定的周期为4，且，计算得到答案.

【详解】，，，

，，

，的周期为4，

且，

所以.

故答案为：

14．

【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．

【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

15．##.

【分析】由已知条件可证得平面，则得四棱锥外接球的直径是以AB，AD，AP为棱的长方体的对角线，从而可求出外接球的半径，进而可求得四棱锥外接球的体积.

【详解】在中，，，，

所以，所以.

又侧面底面，侧面底面，平面，

所以平面.

所以四棱锥外接球的直径是以AB，AD，AP为棱的长方体的对角线，

设外接球的半径为R，体积为V，

则，，

所以，

即四棱锥外接球的体积为.

故答案为：

16．70

【分析】根据回归直线必过样本点中心得，进而得，再计算即可.

【详解】解：依题意，回归直线必过样本点中心，

故将代入回归直线方程得，解得，

所以回归直线方程为.

令，得.

所以当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为万元.

故答案为：

17．（1）；（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．

试题解析：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，.

故的通项公式为.

（2）由（1）可得.

由于，

故，，成等差数列.

点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．

18．(1)或；

(2).

【分析】（1）应用正弦定理边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求求A；

（2）由（1）得，结合余弦定理、三角形面积公式可得，利用基本不等式求最值，注意等号成立条件.

【详解】（1）由题设得：，又，

∴，则且，

∴或.

（2）由A为钝角及（1）结论，则，

由余弦定理得，又，

∴，当且仅当时取等号，

∴的最大值为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据余弦定理证明，再利用面面垂直的性质得到平面即可得到；

（2）根据（1）结合四棱锥的体积为，可得，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角的余弦即可

【详解】（1）因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故

（2）由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.

则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则

20．(1)2.8千米

(2)会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些

【分析】（1）由分布直方图直接求解平均数即可.

（2）首先根据题意写出的所有可能，列出分布列,然后比较两个平台收入的大小即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，平均运送距离为(千米)，

所以估计该市外卖员的平均运送距离为2.8千米.

（2）设外卖员在甲平台每份外卖的收入为X元，在乙平台每份外卖的收入为Y元，则可得到X，Y的分布列分别为

则(元)，

(元)，即选择甲平台每天的平均收入为402.5元.

则(元)，

(元)，即选择乙平台每天的平均收入为427.5元.因为

故会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些.

21．(1)

(2)过定点，定点为

【分析】（1）由题意得，，求出，再由求出，从而可求得椭圆的方程，

（2）设，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入椭圆方程中化简，利用根与系数的关系，结合可求出的关系，从而可求出直线过的定点，当直线l的斜率不存在时，设，代入椭圆方程可表示出坐标，再由可求出，从而可求得直线方程，进而可得结论

【详解】（1）由题意得，

得，，

∴，

∴椭圆C的标准方程为.

（2）设，，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入，整理得，

则，

，.

由题及（1）知，

∴

，

化简得，

∴或，

∵因为直线不过点A，

∴舍去

则直线l的方程为，即，直线l过定点.

当直线l的斜率不存在时，设，代入，解得，

由得，∴，解得或（舍去），

此时直线l过点.

综上，直线l过点.

22．(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求出函数的导函数，然后对参数进行分类讨论即可求得函数的单调区间.

（2）先根据得到，是方程的两个不相等的正实数根，且，然后根据，将题干不等式中的两个变量换成一个，分离参数后构造函数，并求出函数的最大值，从而得到实数的取值范围.

【详解】（1）由题意得的定义域为，

则.

因为，

，

当且仅当，等号成立，

当时，，在上单调递增；

当时，，

令，得，

，

则当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

综上，当时，函数的增区间为；

当时，函数的增区间为和，减区间为.

（2）由，

得若有两个极值点，，

则，是方程的两个不相等的正实数根，

则，.

，，且，

则要使恒成立，

只需使在上恒成立.

因为

.

令，

则，

，，

，函数在上单调递增，

，

则当在上恒成立时，，

的取值范围为.

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.