浙江省杭师大附2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案

浙江省杭师大附2022-2023学年高一上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集，则（    ）

A． B． C． D．

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

3．设，且则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知命题p：，则它的否定为（    ）

A．∀x>0，x2<2 B．∀x≤0，x2<2

C．∃x≤0，x2<2 D．∃x>0，x2<2

6．下面各组函数中是同一函数的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

7．设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．(- D．(-

8．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）

A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．的最小值为1

C．的最大值为2 D．最小值为

10．下列函数中是偶函数的有（    ）

A． B． C． D．

11．若函数存在最大值，则实数a可能的值是（    ）

A． B． C．1 D．2

12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是（    ）

A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅

B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}

C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式

D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝

三、填空题

13．已知，则____________．

14．函数的增区间为______．

15．已知正实数a，b满足，则的最小值为____________．

16．已知函数，则不等式的解集是____________．

四、解答题

17．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B．

(1)求；

(2)若不等式的解集为，求不等式的解集．

18．已知集合，，

（1）若，求实数a的值；

（2）若，求实数a的取值范围；

19．已知是定义在上的奇函数，且当时，．

(1)求函数在上的解析式；

(2)利用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减．

20．已知命题p：“，”是假命题．

（1）求实数m的取值集合B；

（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

21．某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．

(Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

(Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．

22．对于函数,存在实数,使,成立,则称为关于参数的不动点.

(1)当,时,求关于参数1的不动点;

(2)当,时,函数在上存在两个关于参数的相异的不动点,试求参数的取值范围;

(3)对于任意的,总存在,使得函数有关于参数的两个相异的不动点,试求的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】由补集、交集定义运算即可.

【详解】由题意知，，则，

故选：B

2．B

【分析】偶次根式要求被开方数为非负数，便可求得定义域.

【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得，

所以函数的定义域为.

故选：B

3．D

【分析】根据负数或0举反例，结合不等式的性质逐个判断即可.

【详解】对A，当时，但，故A错误；

对B，当时，故B错误；

对C，当时，但，故C错误；

对D，则，故D正确；

故选：D

4．A

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，所以，，，

或，

当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；

当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5．D

【分析】全称命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】的否定是.

故选：D

6．C

【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.

【详解】A．函数的定义域为，，

两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，

B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数

C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数

D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

故选：C．

7．B

【分析】写出命题的否定，根据命题的否定为真，可转化为，利用均值不等式求最小值即可得解.

【详解】命题p：，x

所以：，，

由是真命题可得，，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以，

故选：B

8．A

【分析】根据杠杆原理以及基本不等式即可求解.

【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为

由杠杠平衡原理可得，，所以，这样可知称出的黄金大于.

故选:A

9．BD

【分析】A选项，举出反例；B选项，利用得到；

C选项，配方法得到，从而求出最大值为1；

D选项，变形后利用基本不等式求出最小值.

【详解】当时，无最小值，故A错误；

因为，所以，故B正确；

，所以的最大值为1，C错误；

，

当且仅当，即时，等号成立，D正确.

故选：BD

10．AD

【分析】判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断是否成立.

【详解】对于A项，设，则，因为的定义域为

并且，所以是定义在上的偶函数.

对于B项，设则的自变量满足

即，所以定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数.

对于C项，设则，因为的定义域为，

并且，所以是定义在上的奇函数.

对于D项，设则，因为的定义域为，并且，所以是定义在上的偶函数.

故选：AD

11．BCD

【分析】求出二次函数部分的对称轴，再讨论a与对称轴的大小，求出a的的取值范围即可得到答案

【详解】解： 图象的对称轴方程为，

①当，时，有最大值，又，所以，所以此时有最大值1；

②当，时，有最大值，

当时，在单调递减，所以，

所以要有最大值，得，解得，与矛盾，舍去，

综上，当时，有最大值，

故选：BCD．

12．AB

【分析】A.由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，根据b＜1，利用判别式判断；B. 令a＝1，b＝4，利用一元二次不等式的解法判断；C.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b判断；D．根据a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，则a≤ymin，x＝a，x＝b时函数值都是b．然后分别由b2－3b＋4＝b，a2－3a＋4＝b求解判断．

【详解】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确；

当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4为x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b为x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确；

在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．

由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误；

由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．

故选：AB

【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题.

13．39

【分析】求出函数的解析式即得解.

【详解】解：设，

所以.

所以.

故答案为：39

14．

【分析】先求函数的定义域，再求函数的增区间，根据复合函数单调性的同增异减原则即可求解.

【详解】因为，

所以，解得，

设，

函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在上单调递增.

故答案为：.

15．

【分析】由基本不等式可求得答案.

【详解】因为，当且仅当，即，时取等号，

故的最小值为.

故答案为：.

16．##

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性与单调性得，解不等式即可得解集.

【详解】因为，所以是偶函数，

当时，，易知函数在为增函数，

又，

为偶函数，不等式等价于，

又在为增函数，得，即，解得.

即的解集为.

故答案为：

17．(1)；

(2)R.

【分析】（1）根据一元二次不等式和分式不等式的解法求出集合，结合交集的定义和运算即可求解；

（2）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系求出，，利用一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】（1）由，解得，

所以，

由，得，解得，

所以，

所以；

（2）由(1)知，

由题意得：-1和2是方程的两个实根，

根据根与系数的关系，得，，解得，，

所以不等式化为，

即，则，

所以不等式的解集为R.

18．（1）；（2）或

【分析】（1），可得，求出a，验证即可求实数a的值.

（2）由已知求出集合A，由，推出，通过B为空集，不是空集分别列出a的关系式，得到关于a的不等式或不等式组，解不等式组，求解，即可得到实数a的取值范围．

【详解】解：因为，所以，

因为，

将代入，得，

当代入，得，

此时，故舍去；

当代入，得，

此时，故成立；

因为，所以B可能为，

当时，解得

当时a无解；

当时a无解；

当时，解得；

综上：实数a的取值范围是或

19．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；

（2）根据函数的单调性的定义进行证明即可.

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，

当时，，

所以；

（2），当时，即

因为，所以 ，因此，故，于是在上单调递减．

20．（1）；（2）．

【分析】（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，求出m的范围．

（2）通过对一元二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“是的必要不充分条件，”即，求出a的范围即可

【详解】（1）由题意，命题：“，都有不等式成立”是真命题，

得在恒成立，

∴，

由于二次函数开口向上，对称轴为，故在取得最大值

得，即；

（2）不等式，

①当，即时，解集，

若是的必要不充分条件，则，

∴，即，即

②当即时解集，

若是的必要不充分条件，则成立，

③当，即时解集，

若是的必要不充分条件，则成立，

∴，此时．

综上①②③：实数a的取值范围为．

21．（Ⅰ）有效治污的时间可达8天； （Ⅱ）的最小值为1

【详解】试题分析：（Ⅰ）先由可得在水中释放的浓度再分别分段求出水中药剂的浓度不低于4（克/升）时的天数，从而得出有效治污的时间可达8天；

（Ⅱ）先得出模型当时，，然后由基本不等式知，再由，解得，即的最小值为1 .

试题解析：（I）∵ ∴． 2分

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时． 4分

综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．6分

（II）当时，，9分

又 ， ，则．

当且仅当，即时取等号.

令，解得 ，故所求的最小值为1 ． 14分

考点：1.函数模型的应用；2.基本不等式的应用

22．(1)和3

(2)

(3)

【分析】(1)当,时,结合已知可得,解方程可求;

(2)当,时,转化为问题在上有两个不同实数解,进行分离,结合对勾函数的性质可求．

（3）方程恒有两个不等实根，即，即对于任意的,总存在使之成立，转化为，令,再分类讨论即可求解.

【详解】（1）当时,

令,可得即

解得或

当时,关于参数1的不动点为和3

（2）由已知得在,上有两个不同解,

即在,上有两个不同解,

令,

所以,

解得:．

（3）由题意知,函数有关于参数的两个相异的不动点,

所以方程,即恒有两个不等实根,

则,即对于任意的,总存在使之成立,即,即

令，,

根据对勾函数性质，令，则，解得：，

①当，即时，函数在单调递增，则

，解得：或，综上：，

②当，即或时，函数在单调递减，则

，解得：或，综上：或，

③,即时，函数在先减后增，

，令，解得：，

故时，，结合①得：

故时，，结合②得：，

综上：