备战2023年中考数学一轮复习考点11 中心对称图形-平行四边形

这是一份备战2023年中考数学一轮复习考点11 中心对称图形-平行四边形，共101页。试卷主要包含了旋转与中心对称；，平行四边形；，矩形；，菱形；，正方形；，中位线等内容，欢迎下载使用。
考点11 中心对称图形-平行四边形

中心对称图形-平行四边形主要包括平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定。在江苏各地的中考中，考查频率较高，考查形式多样，选择题、填空题和解答题都有考查，难度中等，。



一、旋转与中心对称；
二、平行四边形；
三、矩形；
四、菱形；
五、正方形；
六、中位线
考向一：旋转与中心对称
1.旋转的概念和性质
将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
2.中心对称与中心对称图形
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

1．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（    ）

A． B． C． D．
2．（2022·福建福州·九年级期中）如图，中，，，，以B点为中心，将旋转至，点C的对应点为点E，若点E恰好在上，则的长为（    ）．

A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2022·河北保定·九年级期中）如图，经过旋转后到达的位置，，下列说法错误的是（　　）

A．点是旋转中心 B．是一个旋转角
C．顺时针旋转，则至少旋转 D．逆时针旋转，则至少旋转
4．（2022·河北保定·九年级期中）如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）

A． B．
C．点的对称点是点 D．
5．（2022·贵州黔南·九年级期中）贵阳国际车展以“潮黔看驭未来”为主题，汇聚余个汽车品牌，为市民带来更炫酷、更极致的观展体验．下面是此次车展中的几个车标，其中是中心对称图形而不是轴对称图形的是（    ）
A． B．
C． D．
考向二：平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

1．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点C的坐标是，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·绥化市第五中学校九年级期中）平行四边形不一定具有的性质是（    ）
A．对角线相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对边相等
3．在四边形中，对角线相交于点O．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（    ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
4．如图，中，，垂足分别为，则（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
5．（2022·湖南·雨花外国语学校九年级开学考试）如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ）

A．， B．，
C．， D．，
考向三：矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
5.由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

1．（2022·广东·深圳市龙岗区联邦学校九年级期中）下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形
C．四个角都是直角的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2．（2022·广东深圳·九年级期中）如图，矩形中，交于点O，若，则的度数为(    )

A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（　　）

A．6 B． C．12 D．
4．如图，四边形和四边形是两个矩形，点B在边上，若，，则矩形的面积为（    ）

A．3 B． C． D．6
5．（2022·陕西西安·九年级期中）已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．当时，四边形是矩形
B．时，四边形是菱形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是正方形
考向四：菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.

1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若，则∠ADB的度数是（    ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2022·福建漳州·九年级期中）如图示，已知菱形的边长为6，，则对角线的长是（    ）

A．8 B．6 C．4 D．3
3．如图，在菱形中，，，，分别是菱形四边的中点，连接，，且，交于点，则图中共有菱形（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个
4．下列说法正确的是（   ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，连接 ，若 ，，则 的长为（      ）

A． B． C． D．
考向五：正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

1．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为（    ）

A． B． C． D．
2．正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　）

A．保持不变 B．一直变小
C．先变小后变大 D．先变大后变小
3．如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（   ）

A． B． C． D．
4．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的的是（    ）

A．， B．
C．，， D．，
5．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．
考向六：中位线
（一）三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
4.三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
5.三角形的中位线不同于三角形的中线.
（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
1.顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
2.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
3.顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
4.顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

1．如图，菱形的两条对角线， 相交于点，是的中点，若，菱形的面积为，则长为（   ）

A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（    ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
3．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（    ）
A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相平分 D．以上答案都不对
4．（2022·云南昆明·一模）如图，小甘为测量池塘边A，B两点间的距离，在线段AB一侧选取一点P，连接PA并延长至点M，连接PB并延长至点N，使得AM＝PA，BN＝PB．若测得MN＝8m，则A，B两点间的距离为（    ）

A．16m B．6m C．4m D．2m
5．（2022·山东青岛·九年级期中）如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若菱形的周长为，，则（    ）cm．

A． B． C． D．28

1．（2022·广西南宁·九年级期中）如图，将三角尺（其中，）绕点按逆时针方向转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ）

A． B． C． D．
2．（2022·四川·护家中学九年级期末）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·南海实验学校三模）如图，、和均为正三角形，以点 在的各边上，和相交于点，若，，，，则 满足的关系式为（    ）

A． B． C． D．
4．下列四个命题说法正确的是（　　）
A．一组对角相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连结菱形四边中点得到的四边形是矩形
D．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
5．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．2
6．（2022·江苏·阳山中学二模）如图，边长为个单位长度的正方形，以为斜边在正方形左侧作等腰直角三角形，，将绕点D顺时针旋转得，旋转一周，当边所在直线经过点B时，则的长为（        ）

A． B．或
C．或 D．
7．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．下列个结论中：①；②；③；④．说法正确的有（    ）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
8．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，为等腰直角三角形，，点分别为边、的中点，若将绕点逆时针方向旋转得到（的对应点分别为），当线段所在直线经过的一个顶点时，的值为_____．

9．（2022·新疆· 九年级期中）若点关于原点的对称点B的坐标是，则_______．
10．（2022·山西·原平市实验中学九年级期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则的度数为_______．

11．如图，点E在正方形的边上．若的面积为8，，则线段的长为____．

12．（2022·广西贵港·九年级期中）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点O，于点H．连接，若，菱形的面积为6，则的长为_______．

13．（2022·山东省泰安第六中学二模）已知在矩形中，，，点G、F、H、E是分别边、、、上的点，分别沿，折叠矩形恰好使、都与重合，则_______．

14．如图，矩形中，交于点O， 于E， ，于F， 则___________．

15．（2022·福建漳州·九年级期中）如图等边中，分别是边上的中点，则图中有___________个菱形．

16．（2022·江西南昌·九年级期中）如图，将绕着点逆时针旋转角得到，若点恰好落在边上，．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，已知，当时．求四边形的面积．
17．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）已知点E、F为对角线上的两点，，

(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
18．如图，在矩形中，于点，过点作，过点作于点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，则的长为 ．
19．（2022·陕西西安·九年级期末）如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，且是等边三角形．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求证：四边形是正方形．
20．（2022·山西晋中·九年级期中）如图，在中，分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接．

(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．
21．（2022·宁夏·银川市第九中学二模）如图，在中，、分别是、的中点，连接，过作交的延长线于点，

(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的周长．
22．（2022·广东·湛江市初级实验中学九年级期中）如图所示，方格纸中的每个小方格是一个边长为1个单位长度的正方形，在建立平面角坐标系后，的顶点均在格点上．

(1)把向左平移6个单位后得到对应的，画出；
(2)以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的．
23．（2022·福建福州·九年级期中）如图，已知四边形是矩形，为对角线．

(1)把绕点C顺时针旋转一定角度得到，点A的对应点为E，且在的延长线上，点B的对应点为F，请你在图中作出．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的大小．
24．（2022·福建福州·九年级期中）如图，已知，，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应．

(1)作出尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
(2)若，，求的面积．
25．如图1，、都是等边三角形，边分别交、于点D、E，将绕点C顺时针旋转ɑ°设直线与直线相交于点F

(1)如图2，当时，求证：．
(2)当绕点C旋转至B、D、E三点共线时，若，，求的长．
26．（2022·广东·台山市育英中学九年级期中）已知的，，，将绕点C顺时针旋转，得到，当点A、C、E在同一直线时停止旋转（如图所示），连结．

(1)填空：旋转角的度数是______；
(2)证明：是等边三角形；
(3)求的面积．
27．（2022·广东·湛江市初级实验中学九年级期中）如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若，，，试判定的形状，并说明理由；
(3)若，，请探究：当为多少度时，是等腰三角形．
28．（2022·福建福州·九年级期中）在中，为的平分线，E为边的中点，线段绕点E逆时针旋转得到线段（点F是点A的对应点），旋转角不超过，连接，直线交直线于点G．

(1)如图1，当为边长为a的等边三角形且点G恰好与点B重合时，求的长；
(2)如图2，点G在边上，与交于点D，，，求证：；
(3)如图3，若，过点C作直线于点M，连接，当时，按要求画图并探究与之间的数量关系．
29．如图1，矩形与矩形全等，点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上，且，，连接，．

(1)在图1中，连接，则=___________；
(2)如图2，将图1中的矩形绕点C逆时针旋转，当平分时，求点G到的距离；
(3)如图3，将图1中的矩形绕点C顺时针方向旋转，连接，，两线相交于点M，求证：点M是的中点．

1．（2022·江苏无锡·中考真题）雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（    ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（    ）

A． B． C． D．
3．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（　　）

A．6 B．5
C．4 D．3
4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，若，则的度数是______．

5．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．

6．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________．

7．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，已知线段和线段．

(1)用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方．
(2)当，时，求（1）中所作矩形的面积．
8．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
9．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．

(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；
(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．

1．（2022·江苏·阳山中学二模）下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（      ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·江苏·常州市北郊初级中学二模）下列命题正确的是（    ）
A．菱形的对角线互相相等 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形 D．对角线相等四边形是矩形
3．（2022·江苏·盐城市初级中学三模）如图，将绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（   ）

A． B． C． D．
4．（2022·江苏苏州·二模）如图把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（    ）

A．BC＝AC B．AE＝CE C．AD＝DE D．∠DAE＝∠CAB
5．（2022·江苏苏州·二模）图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由4个全等的图形组成的，则该图案（    ）

A．既是轴对称图形又是中心对称图形 B．是轴对称图形但并不是中心对称图形
C．是中心对称图形但并不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
6．（2022·江苏·扬州市翠岗中学二模）如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．

7．（2022·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．

8．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，取、的中点M、N，连接．若，．则线段长度的最大值为___________．

9．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）如图，在菱形中，、分别为、的中点，若，则菱形的周长为______．

10．（2022·江苏连云港·二模）如图，在矩形ABCD中，，点E是线段BC上的一个动点，连接AE，将沿着AE翻折得到，其中点G是的平分线与EF延长线的交点，若点E从点B运动到点C，则点G的运动路径长为__________．

11．（2022·江苏·扬州市翠岗中学二模）如图，在矩形中，点О为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、．

(1)求证：；
(2)当时，试判断四边形的形状，并说明理由.
12．（2022·江苏·常州市北郊初级中学二模）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，，垂足分别为E，F．

(1)求证：；
(2)若AC与BD交于点O，求证：．
13．（2022·江苏常州·二模）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE,CE延长AE交CD边于点F．

(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)设∠AEC=α，∠AFD=β，试求β（β用含α的代数式表示）．
14．（2022·江苏苏州·二模）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．

(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
15．（2022·江苏·苏州中学二模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8，点E是边AD的中点.连结EC，P、Q分别是射线AD、EC上的动点，且EQ=AP，连结BP，PQ，过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．

(1)当点P在线段AE上（不包含端点）时，
①求证：四边形BFQP是正方形；
②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长；
(2)如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△BFC的面积（直接写出答案）

1．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得出，，根据得出，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角的性质得出，设，则，根据平角的定义，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，设与交于点，

将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：C．
2．（2022·福建福州·九年级期中）如图，中，，，，以B点为中心，将旋转至，点C的对应点为点E，若点E恰好在上，则的长为（    ）．

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】先根据勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，由此即可求得的长．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵以点为中心，将旋转至，使点恰好在上，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2022·河北保定·九年级期中）如图，经过旋转后到达的位置，，下列说法错误的是（　　）

A．点是旋转中心 B．是一个旋转角
C．顺时针旋转，则至少旋转 D．逆时针旋转，则至少旋转
【答案】B
【分析】根据旋转三要素分别进行判断．
【详解】解：A、经过旋转后到达的位置，则旋转中心为点，说法正确，故该选项不符合题意；
B、，是旋转角，原说法错误，故该选项符合题意；
C、由可得，顺时针旋转，则至少旋转，说法正确，故该选项不符合题意；
D、由可得，逆时针旋转，则至少旋转，说法正确，故该选项不符合题意
故选：B
4．（2022·河北保定·九年级期中）如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）

A． B．
C．点的对称点是点 D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的性质一一判断即可．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴，点的对称点是点，，，
故A、C、D正确，B错误；
故选：B．
5．（2022·贵州黔南·九年级期中）贵阳国际车展以“潮黔看驭未来”为主题，汇聚余个汽车品牌，为市民带来更炫酷、更极致的观展体验．下面是此次车展中的几个车标，其中是中心对称图形而不是轴对称图形的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
考向二：平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

1．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点C的坐标是，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
2．（2022·黑龙江·绥化市第五中学校九年级期中）平行四边形不一定具有的性质是（    ）
A．对角线相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对边相等
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可知对角线互相平分，但对角线不一定相等，即可判断．
【详解】解：平行四边形具有的性质是对角相等、对边平行且相等，而对角线是互相平分不一定相等，
所以A选项是不正确的．
故选：A．
3．在四边形中，对角线相交于点O．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（    ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
【详解】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选：A．
4．如图，中，，垂足分别为，则（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质证明 再利用含的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（cm）；
故选：A．
5．（2022·湖南·雨花外国语学校九年级开学考试）如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理依次判断即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
故选：B．
考向三：矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
5.由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

1．（2022·广东·深圳市龙岗区联邦学校九年级期中）下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形
C．四个角都是直角的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一进行判定即可．
【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
B．由两个全等的直角三角形拼成的四边形是矩形，故B错误；
C．四个角都是直角的菱形是正方形，故C错误；
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
故选：D．
2．（2022·广东深圳·九年级期中）如图，矩形中，交于点O，若，则的度数为(    )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，最后由角的和差计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
3．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（　　）

A．6 B． C．12 D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，四边形和四边形是两个矩形，点B在边上，若，，则矩形的面积为（    ）

A．3 B． C． D．6
【答案】B
【分析】如图所示，连接，利用勾股定理求出进而求出，根据平行线间间距相等和矩形的性质可得，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得；，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故选B．

5．（2022·陕西西安·九年级期中）已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．当时，四边形是矩形
B．时，四边形是菱形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是正方形
【答案】B
【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定条件逐个分析即可．
【详解】解：A选项：邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
B选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故正确；
C选项：有一个内角为的平行四边形是矩形，故错误；
D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故错误．
故选B．
考向四：菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.

1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若，则∠ADB的度数是（    ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】根据菱形的性质得到∠BAD=120°，ABCD，利用平行线的性质得出∠ADC=60°，结合菱形的性质即可得出结果
【详解】解：∵菱形ABCD中，∠BAC=60°，
∴∠BAD=120°，ABCD，
∴∠ADC=60°，
∴∠ADB=∠CDB=30°
故选A．
2．（2022·福建漳州·九年级期中）如图示，已知菱形的边长为6，，则对角线的长是（    ）

A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【分析】只需要证明是等边三角形，即可得到．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选B．
3．如图，在菱形中，，，，分别是菱形四边的中点，连接，，且，交于点，则图中共有菱形（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】由菱形的判定和选择，图中菱形有：四边形，四边形，四边形均为菱形，四边形，四边形，共5个
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∵，，，分别是菱形中四边的中点，
∴，
∴四边形为菱形，
同理：四边形，四边形，四边形均为菱形，
∴图中共有5个菱形，即：四边形，四边形，四边形均为菱形，四边形，四边形，
故选B．
4．下列说法正确的是（   ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定即可得到答案．
【详解】解：A、对角线相等的四边形无法判定是矩形，故此选项不符合题意；
B、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项不符合题意；
C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形，故此选项符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，连接 ，若 ，，则 的长为（      ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行四边形的对边平行，以及角平分线平分角，得到是等腰三角形，进而得到四边形为菱形，利用菱形的性质，对角线垂直平分，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴∥，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同法可证：，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
设、交于点，
则：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．

考向五：正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

1．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的，从而得到正方形的边长，找到规律即可得出答案．
【详解】解：由题知，第1个正方形的边长，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长，
…
根据勾股定理得，第个正方形的边长．
故选：C．
2．正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　）

A．保持不变 B．一直变小
C．先变小后变大 D．先变大后变小
【答案】A
【分析】连接，可得的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，可得矩形与正方形面积相等．
【详解】解：连接，

∵，，，
∴，
∴矩形与正方形的面积相等．
故选：A．
3．如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得，，再由折叠可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
由折叠得：
，
∴，
故选：C．
4．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的的是（    ）

A．， B．
C．，， D．，
【答案】A
【分析】根据正方形的判定定理即可求解．
【详解】A项，由，可得四边形ABCD为矩形，
由，可知矩形ABCD为正方形，故A项符合题意；
B项，，不能判定四边形ABCD为正方形，故B项不符合题意；
C项，，，，四边形ABCD为菱形，故C项不符合题意；
D项，，，不能判定四边形ABCD为正方形，故D项不符合题意，
故选：A．
5．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：C．
考向六：中位线
（一）三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
4.三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
5.三角形的中位线不同于三角形的中线.
（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
1.顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
2.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
3.顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
4.顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

1．如图，菱形的两条对角线， 相交于点，是的中点，若，菱形的面积为，则长为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质可得，，，从而可判断是的中位线，在中求出，继而可得出的长度．
【详解】解：∵四边形是菱形，，菱形的面积为24，
∴，
解得：，
∴，，
又∵点E是中点，
∴是的中位线，
在中，，
则．
故选：C．
2．下列命题正确的是（    ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
【答案】B
【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；
C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．
故选：B．
3．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（    ）
A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相平分 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】先根据三角形的中位线性质证明“中点四边形”是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可证明“中点四边形”是矩形．
【详解】解：如图，点E、F、G、H分别为菱形的边、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴“中点四边形”是平行四边形，
∵菱形中，，
∴，即，
∴“中点四边形”是矩形，
故菱形的“中点四边形”是矩形，主要因为菱形的对角线互相垂直，
故选：B．

4．（2022·云南昆明·一模）如图，小甘为测量池塘边A，B两点间的距离，在线段AB一侧选取一点P，连接PA并延长至点M，连接PB并延长至点N，使得AM＝PA，BN＝PB．若测得MN＝8m，则A，B两点间的距离为（    ）

A．16m B．6m C．4m D．2m
【答案】C
【分析】先判断AB是△PMN的中位线，再根据三角形中位线的性质得出答案．
【详解】∵AM=PA，BN=PB，
∴AB是△PMN的中位线，
∴（m）．
故选：C．
5．（2022·山东青岛·九年级期中）如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若菱形的周长为，，则（    ）cm．

A． B． C． D．28
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质求出，，然后根据勾股定理求出，从而求出，最后根据三角形中位线定理即可求出．
【详解】解∶ ∵菱形的周长为，，
∴，，，，
∴，
∴，
又、分别是、边上的中点，
∴．
故选：A．

1．（2022·广西南宁·九年级期中）如图，将三角尺（其中，）绕点按逆时针方向转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用旋转的性质计算．
【详解】解：，
旋转角．
这个旋转角度等于．
故选：D．
2．（2022·四川·护家中学九年级期末）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（2022·浙江·南海实验学校三模）如图，、和均为正三角形，以点 在的各边上，和相交于点，若，，，，则 满足的关系式为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别用含的代数式表示与，根据得到关于关系式，化简整理关系式即可．
【详解】解： ，
，
同理： ，
四边形为平行四边形，
在中，
为等边三角形，
，，，


，化简可得：，
故选：B.
4．下列四个命题说法正确的是（　　）
A．一组对角相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连结菱形四边中点得到的四边形是矩形
D．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】C
【分析】根据矩形、正方形、轴对称图形、中心对称图形的判定得出答案即可．
【详解】A．一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，有可能是菱形，故此命题说法不正确，是假命题，故此选项错误；
B．根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误
C．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故此命题是真命题，故此选项正确；
D．平行四边形是不是轴对称图形是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误．
故选：C．
5．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】连接NG，ND，GD，由翻折可得△CDN≌△HGN，则，要求NH的最小值，即求GN的最小值，以此得出当点G与点B重合时，GN最小，设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，，
以翻折后，点与点重合，
，，，
，
四边形为矩形，，
，
当的最小时，最小，
由图可知，当点与点重合时，最小，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
的最小值为．

故选：C．
6．（2022·江苏·阳山中学二模）如图，边长为个单位长度的正方形，以为斜边在正方形左侧作等腰直角三角形，，将绕点D顺时针旋转得，旋转一周，当边所在直线经过点B时，则的长为（        ）

A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】需要分两种情况进行讨论，结合勾股定理及等腰直角三角形的性质求解．
【详解】解：第一种情况，如下图：

，
，
解得：，
根据旋转的性质，，
，
，
；
第二种情况，如下图：

，
，
解得：，
根据旋转的性质，，
，
，
；
故选：B．
7．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．下列个结论中：①；②；③；④．说法正确的有（    ）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定为等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据直角三角形的性质确定，根据三角形的中位线的性质确定，再结合平行四边形的性质可判断②正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定③正确；④根据平行四边形的性质，可得．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴．
故①正确．
②∵，是中点，
∴．
∵分别是中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
故②正确．
如下图所示，连结和．

③如上图所示：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵分别是中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
故③正确．
④∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵为的中点，
∴，故④正确
故选：D
8．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，为等腰直角三角形，，点分别为边、的中点，若将绕点逆时针方向旋转得到（的对应点分别为），当线段所在直线经过的一个顶点时，的值为_____．

【答案】
【分析】设，根据等腰直角三角形的性质可得，；由点分别为边、的中点得出，；过点作于；根据等腰直角三角形的性质可得；根据勾股定理求得，进而得出；通过证明得到，最后计算即可得出答案；
【详解】解：设
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵点分别为边、的中点
∴，
如图，当线段所在直线经过点时，过点作于；

∴

∴
由旋转的性质可得：；
在和中

∴
∴
∴
当线段所在直线经过点时，过点作于；

同理可求，
故答案为：
9．（2022·新疆· 九年级期中）若点关于原点的对称点B的坐标是，则_______．
【答案】
【分析】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此作答即可．
【详解】∵点关于原点的对称点B的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
10．（2022·山西·原平市实验中学九年级期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则的度数为_______．

【答案】
【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得和的度数，然后根据三角形内角和定理可求得的度数．
【详解】解：平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点E，
，，
，
，
，
平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
11．如图，点E在正方形的边上．若的面积为8，，则线段的长为____．

【答案】5
【分析】过E作于M，先根据正方形的性质得到，再由的面积为8得到，最后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：
过E作于M，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵的面积为8，
∴，
解得：，
即，
∵，
由勾股定理得：，
故答案为：5．
12．（2022·广西贵港·九年级期中）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点O，于点H．连接，若，菱形的面积为6，则的长为_______．

【答案】
【分析】因为四边形是菱形，所以，为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而得出结论．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵为斜边上的中线，，
∴，
∵菱形面积为6，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．（2022·山东省泰安第六中学二模）已知在矩形中，，，点G、F、H、E是分别边、、、上的点，分别沿，折叠矩形恰好使、都与重合，则_______．

【答案】7
【分析】设，根据折叠的性质得出．过E作于M，则，．在中根据勾股定理得出，即，解方程即可．
【详解】解：设，
∵分别沿，折叠矩形恰好使都与重合，
∴．
过E作于M，则四边形是矩形，

∵，，
∴，，，
在中，∵，
∴，即，
解得，
则，
∴．
故答案为：7．
14．如图，矩形中，交于点O， 于E， ，于F， 则___________．

【答案】
【分析】根据矩形的性质即可得到，由垂直平分线可得，由题意可以得到是的中位线即可求出，即可得到答案．
【详解】解：∵矩形中，交于点O，
∴，
∵ 于E，，
∴，
∵于F且 ，
∴是的中位线，
∵，
∴
∴ ，
故答案为 ．
15．（2022·福建漳州·九年级期中）如图等边中，分别是边上的中点，则图中有___________个菱形．

【答案】3
【分析】由题意知，是等边三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于对边且等于对边的一半知，有，根据菱形的判定填空即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵分别是边上的中点，
∴，
∴，
∴有3个菱形：菱形，菱形，菱形．
故答案为3．
16．（2022·江西南昌·九年级期中）如图，将绕着点逆时针旋转角得到，若点恰好落在边上，．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，已知，当时．求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，由平行线的性质可得，即是等腰三角形；
（2）先证明四边形为平行四边形，再由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
【详解】（1）证明：将绕着点逆时针旋转角得到，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：如图，过点作于，

，，
，四边形为平行四边形，
，，
，
四边形的面积．
17．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）已知点E、F为对角线上的两点，，

(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形性质可判断出，再结合题目条件即可求证；
（2）根据平行四边形性质可判断出，接着证明，得出，再结合（1）的结论，得出，即可证明结果．
【详解】（1）证明：

又是平行四边形

∵

．
（2）是平行四边形

∵




又

四边形是平行四边形.．
18．如图，在矩形中，于点，过点作，过点作于点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，则的长为 ．
【答案】(1)见解析；(2)6
【分析】（1）根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定解答即可；
（2）由直角三角形的性质可求和的长，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵矩形，
，
，
，
，
．
，
，
在和中，
，
．
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
故答案为：6．
19．（2022·陕西西安·九年级期末）如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上一点，且是等边三角形．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形是平行四边形，可得．又由是等边三角形，可得．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形；
（2）根据有一个角是的菱形是正方形．由题意易得，所以四边形是菱形，，即四边形是正方形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，

是等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
（2）证明：由（1）得：是直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
20．（2022·山西晋中·九年级期中）如图，在中，分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接．

(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)是正方形，理由见详解
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，可得，可证，可得，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可得，可得四边形是菱形；
（2）由菱形的性质可得，可得，则四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，M为的中点，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴菱形是正方形．
21．（2022·宁夏·银川市第九中学二模）如图，在中，、分别是、的中点，连接，过作交的延长线于点，

(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析；(2)16
【分析】（1）由三角形的中位线定理推知，再结合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得的值，由三角形的中位线定理推知的长值，再由斜边中线等于斜边一半求得的值即可求得答案．
【详解】（1）解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：在中，，，，
,
是的中位线,，
，
是斜边的中线,
,
四边形的周长为．
22．（2022·广东·湛江市初级实验中学九年级期中）如图所示，方格纸中的每个小方格是一个边长为1个单位长度的正方形，在建立平面角坐标系后，的顶点均在格点上．

(1)把向左平移6个单位后得到对应的，画出；
(2)以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析．
【分析】（1）将的各顶点分别向左平移6个单位，再顺次连接各顶点，即可得．
（2）找出，，三点关于原点的对应点，，，再顺次连接即可得．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：由（1）可知：，，，
∵与关于原点O，
∴，，，
找出，，，再连接即可，如图所示：

23．（2022·福建福州·九年级期中）如图，已知四边形是矩形，为对角线．

(1)把绕点C顺时针旋转一定角度得到，点A的对应点为E，且在的延长线上，点B的对应点为F，请你在图中作出．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的大小．
【答案】(1)图见解析；(2)
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再利用平行线的性质求出，可得结论．
【详解】（1）如图，即为所求：

（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
24．（2022·福建福州·九年级期中）如图，已知，，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应．

(1)作出尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）作，在上截取，作，在上截取，连接，则即为所作；
（2）由旋转可得，过点D作于点F，然后利用含30度的直角三角形求出，进而可以求的面积．
【详解】（1）如图，即为所求；

（2）根据题意可知：，，，
过点作于点，

，
，
∴，
的面积．
25．如图1，、都是等边三角形，边分别交、于点D、E，将绕点C顺时针旋转ɑ°设直线与直线相交于点F

(1)如图2，当时，求证：．
(2)当绕点C旋转至B、D、E三点共线时，若，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)5或8
【分析】（1）根据，得到，结合等边三角形的性质，运用SAS证明即可．
（2）分B、D、E三点在上方共线和下方共线，两种情况计算．
【详解】（1）因为、都是等边三角形，
所以，，,
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
（2）当B、D、E三点在上方共线，

过点C作于点F，
因为、都是等边三角形，
所以，
所以，
所以，
所以；
当B、D、E三点在下方共线，

过点C作于点F，
因为、都是等边三角形，
所以，
所以，
所以，
所以；
所以的长为5或8．
26．（2022·广东·台山市育英中学九年级期中）已知的，，，将绕点C顺时针旋转，得到，当点A、C、E在同一直线时停止旋转（如图所示），连结．

(1)填空：旋转角的度数是______；
(2)证明：是等边三角形；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由当点A、C、E在同一直线时停止旋转，，得到，即可得到答案；
（2）由绕点C顺时针旋转，得到，则≌，得到，是等腰三角形，由即可得到结论；
（3）先求得，再证得是直角三角形，由勾股定理求得，进一步即可求得答案．
【详解】（1）解：∵当点A、C、E在同一直线时停止旋转，，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴旋转角的度数是，
故答案为：
（2）∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴≌，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等边三角形；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵≌，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴是直角三角形，
∴，
∴的面积．
27．（2022·广东·湛江市初级实验中学九年级期中）如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若，，，试判定的形状，并说明理由；
(3)若，，请探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)为直角三角形，理由如下；
(3)或或时，为等腰三角形．
【分析】（1）利用旋转的性质可知，，即可证明为等边三角形；
（2）由旋转的性质以及等边三角形的性质求出，，再利用勾股定理逆定理可知，所以为直角三角形；
（3）表示出，，分情况讨论即可求出的值．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知：，
∵顺时针旋转，
∴
∴为等边三角形，
（2）解：为直角三角形，理由如下：
由旋转的性质可知：
∴，，
∵，，，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
（3）解：∵为等边三角形，
∴，
∴，，
当时，为等腰三角形，
即，解得：；
当时，为等腰三角形，
即，解得：；
当时，为等腰三角形，
即，解得：；
综上所述：或或时，为等腰三角形．
28．（2022·福建福州·九年级期中）在中，为的平分线，E为边的中点，线段绕点E逆时针旋转得到线段（点F是点A的对应点），旋转角不超过，连接，直线交直线于点G．

(1)如图1，当为边长为a的等边三角形且点G恰好与点B重合时，求的长；
(2)如图2，点G在边上，与交于点D，，，求证：；
(3)如图3，若，过点C作直线于点M，连接，当时，按要求画图并探究与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)数量关系为：
【分析】（1）利用三线合一的性质可知，，含的直角三角形可知，再由旋转可知，，由此可得出结论；
（2）证明，可得结论；
（3）如图3中，结论：，证明A，F，M，C四点共圆，是等边三角形，利用圆周角定理即可解决问题．
【详解】（1）∵是等边三角形，点E为边的中点，
∴，，
∴，
由旋转可知，，
∴；
（2）证明：如图2中，

∵平分，
∴，
设，，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴．
（3）如图3中，结论：，

理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴A，F，M，C四点共圆，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
29．如图1，矩形与矩形全等，点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上，且，，连接，．

(1)在图1中，连接，则=___________；
(2)如图2，将图1中的矩形绕点C逆时针旋转，当平分时，求点G到的距离；
(3)如图3，将图1中的矩形绕点C顺时针方向旋转，连接，，两线相交于点M，求证：点M是的中点．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据矩形与矩形全等，可得矩形是由矩形绕点C逆时针旋转得到的，所以．然后根据勾股定理即可解决问题；
（2）过点G作，于点H，Q，根据平分，可得，然后由，进而可以解决问题；
（3）连接，并延长交延长线于点H，设与交于点Q，，根据矩形的性质证明，然后证明，可得．进而可以解决问题．
【详解】（1）∵矩形与矩形全等，且点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上
∴矩形是由矩形绕点C逆时针旋转得到的，
∴
∵，，
∴，
在中，
故答案为：；
（2）如图2，过点G作，于点H，Q，
∵平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴
即点G到的距离为；

（3）证明：如图，连接，并延长交延长线于点H，设与交于点Q，
由旋转可知：
∴
∵，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中，

∴
∴
即点M是的中点．


1．（2022·江苏无锡·中考真题）雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（    ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，从而求得，再由AB=CD，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，

∵ABCD，
∴CD=AB，CDAB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=，
∴DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2，
∴
∴，
∵AB=CD，
∴，
故选：D．
3．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（　　）

A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】C
【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．
【详解】∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝2，
∴BC的长度是：4．
故选：C．
4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，若，则的度数是______．

【答案】
【分析】根据平行四边形对边平行可得，利用平行线的性质可得，因此利用直角三角形两个锐角互余求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．

【答案】
【分析】由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．设BE=EF=x，则AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴，
所以，
所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:
，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
6．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________．

【答案】1
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长；
【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1，
∴AB=2DE=2，
∵点F、G分别是AC、BC中点，
∴，
故答案为：1
7．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，已知线段和线段．

(1)用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方．
(2)当，时，求（1）中所作矩形的面积．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)矩形的面积为
【分析】（1）①分别以点A，为圆心，以大于为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线与线段交于点O，则所在直线为线段的垂直平分线；
②以点O为圆心，的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段上方交于点B，同理，以点O为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段下方交于点D，连接，即可得矩形．
（2）根据矩形的性质可知道，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求出矩形的面积．
【详解】（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示，

②如图，矩形ABCD即为所求．

（2）解：如图所示，

∵在矩形中，，，，
∴在中，，
∴矩形的面积是，
故答案是：．
8．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
（2）证明：∵，
∴

∴，
∴四边形AECF是平行四边形
9．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．

(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；
(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
【答案】(1)不存在，理由见详解
(2)
(3)1
【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；
（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．
【详解】（1）不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
（2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，

∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，，
∴，即，
解得：，即，
∴MC=MO+OC=，
∴在Rt△AMC中，，
即AC的长为；
（3）如图，

∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴．

1．（2022·江苏·阳山中学二模）下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（      ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
【详解】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2022·江苏·常州市北郊初级中学二模）下列命题正确的是（    ）
A．菱形的对角线互相相等 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形 D．对角线相等四边形是矩形
【答案】B
【分析】根据四边形的性质选择即可.
【详解】A. 菱形的对角线不相等，故选项错误，不符合题意；    
B. 矩形的对角线相等且互相平分，故选项正确，符合题意；
C. 平行四边形不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；    
D. 对角线相等四边形不一定是矩形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
3．（2022·江苏·盐城市初级中学三模）如图，将绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】旋转前后的图形全等，根据三角形的内角等于即可算出的度数．
【详解】由题意可得


故选：D
4．（2022·江苏苏州·二模）如图把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（    ）

A．BC＝AC B．AE＝CE C．AD＝DE D．∠DAE＝∠CAB
【答案】B
【分析】由翻折可得∠EAC=∠BAC，由平行线的性质可得∠ACD=∠BAC，则∠EAC=∠ECA，即AE=CE．
【详解】由翻折可得∠EAC=∠BAC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
故B选项正确；
A、C、D选项根据现有条件不能推理证明成立，条件不足，故选项错误；
故选：B．
5．（2022·江苏苏州·二模）图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由4个全等的图形组成的，则该图案（    ）

A．既是轴对称图形又是中心对称图形 B．是轴对称图形但并不是中心对称图形
C．是中心对称图形但并不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；
【详解】解：∵该图形没有对称轴，
∴不是轴对称图形，
∵该图形绕中心点旋转180°后与原图重合，
∴是中心对称图形，
故选： C．
6．（2022·江苏·扬州市翠岗中学二模）如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．

【答案】7
【分析】根据折叠的性质可得：，，从而平行四边形的周长可以转化为的周长的周长，求出，再由的周长，即可求出的长．
【详解】∵向上翻折，点A正好落在边上，
∴，，
∵的周长为6，的周长为20，
∴，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴．
故答案为：7．
7．（2022·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．

【答案】3
【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解．
【详解】解：如图，过作交的延长线于点，

∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的和最小，
∵，，
∴，
即：的最小值等于3；
故答案为：3．
8．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，取、的中点M、N，连接．若，．则线段长度的最大值为___________．

【答案】
【分析】由三角形中位线定理可求的长，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，，，

∵， ，
∴，
∵点M是的中点，点H是的中点，
∴，
∵将矩形纸片绕顶点B顺时针旋转得到矩形，
∴，，
∵点H是的中点，点N是的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴当点H在上时，有最大值，最大值，
故答案为：．
9．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）如图，在菱形中，、分别为、的中点，若，则菱形的周长为______．

【答案】16
【分析】由三角形中位线定理可求长为长的2倍，那么菱形的周长等于，由此问题得解．
【详解】解：∵点，分别为，的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形周长为：．
故答案为：16．
10．（2022·江苏连云港·二模）如图，在矩形ABCD中，，点E是线段BC上的一个动点，连接AE，将沿着AE翻折得到，其中点G是的平分线与EF延长线的交点，若点E从点B运动到点C，则点G的运动路径长为__________．

【答案】
【分析】根据题意易得，从而，因为四边形是矩形，判断点G的轨迹是一条线段，其长度等于CK的长度，在中，根据勾股定理求出DK，得出结论；
【详解】解：如图，点G最后位置如图所示，作交的延长线于点，作，

由题意知，，
平分，，
，
，
，
，

，
，
，
四边形是矩形，
，
点G到CD的距离是定值，所以点G的轨迹是一条线段，其长度等于CK的长度，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
点G的路径长为，
故答案为：．
11．（2022·江苏·扬州市翠岗中学二模）如图，在矩形中，点О为对角线的中点，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接、．

(1)求证：；
(2)当时，试判断四边形的形状，并说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）先根据矩形的性质得出，再根据平行线的性质可得，然后根据线段中点的定义可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质得出，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质、角的和差可得，又根据等腰三角形的三线合一可得，从而根据菱形的判定可得平行四边形是菱形，最后说明菱形不是正方形即可．
【详解】（1）四边形是矩形，
，，
，
点O是对角线的中点，
，
在和中，
，
；
（2）四边形是菱形，理由如下：
由（1）已证：，
，
又，即，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即是的角平分线，
（等腰三角形的三线合一），
平行四边形是菱形，
点是上一点，，
，即，
菱形不是正方形，
综上，四边形是菱形．
12．（2022·江苏·常州市北郊初级中学二模）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，，垂足分别为E，F．

(1)求证：；
(2)若AC与BD交于点O，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）用HL判定两三角形全等即可证明；
（2）只要证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵BF=DE，
∴BF﹣EF=DE﹣EF，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，BE=DF
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）连接AC，交BD于点O，

∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
13．（2022·江苏常州·二模）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE,CE延长AE交CD边于点F．

(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)设∠AEC=α，∠AFD=β，试求β（β用含α的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)β=135°-α
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；
（2）由全等三角形的性质可求∠CEB，由三角形的外角的性质可求解．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
(2)解：∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=α，
∴∠CEB=α=∠AEB，
∴∠DEF=α，
∴∠AFD=180°-∠DEF-∠EDF=180°-45°-α=β．
∴β=135°-α．
14．（2022·江苏苏州·二模）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．

(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
【答案】(1)见解析；(2)25
【分析】（1）根据矩形性质，先得出，根据平行线的性质得出∠EDO=∠FBO，利用“ASA”证明△DOE≌△BOF即可；
（2）根据EF垂直平分BD，得出BE=DE，设BE=DE=x，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，证明四边形BFDE为菱形，即可求出其周长．
【详解】（1）解：∵O为BD中点，
∴BO=DO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，，
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA）．
（2）∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，
设BE=DE=x，则
在Rt△ABE中，，
即，
解得：，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
又∵，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵，
∴四边形BFDE为菱形，
，
∴．
15．（2022·江苏·苏州中学二模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8，点E是边AD的中点.连结EC，P、Q分别是射线AD、EC上的动点，且EQ=AP，连结BP，PQ，过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．

(1)当点P在线段AE上（不包含端点）时，
①求证：四边形BFQP是正方形；
②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长；
(2)如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△BFC的面积（直接写出答案）
【答案】(1)①见解析；②2
(2)
【分析】（1）①易证四边形PBFQ是平行四边形，过点Q作QH⊥AD于H，设AP=x，则EQ=AP=x，证△EHQ是等腰直角三角形，得EH=HQ=AP=x，由证△ABP≌△HPQ，得∠ABP=∠HPQ，BP=QP，推出∠BPQ=90°，即可得出结论；
②过点F、Q作BC的垂线段，垂足分别为点M、N，则四边形ABNH是矩形，得HN=AB=4，由面积证得FK=QK，由AAS证得△KMF≌△KNQ，得MF=QN，由AAS证得△BMF≌△BAP，得MF=AP=QN=x，则HN=HQ+QN=2x=4，解得x=2，即可得出结果．
（2）过点F作FK⊥BC于K，过点Q作QH⊥AP于H，易证△BKF≌△BAP≌△QHP，得出AB=PH=4，HQ=KF，设DP=x，则EH=ED+PH+DP=8+x，证△CDE是等腰直角三角形，得CE=CD=4，由轴对称可得BC=CQ=8，则EQ=EC+CQ=4+8，证△EHQ是等腰直角三角形，得EQ=EH，则4+8=（8+x），解得x=4-4，求出，由S△BFC=BC•KF，即可得出结果．
【详解】(1)①证明：过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F，
，，
∴四边形PBFQ是平行四边形，
过点Q作QH⊥AD于H，如图1-1所示：

设AP=x，则EQ=AP=x，
在矩形ABCD中，AD=BC=2AB=2CD=8，∠A=∠ADC=90°，
∵点E是AD的中点，
∴ED=AD=CD=4，
∴∠DEC=45°，
∵∠EHQ=90°，
∴△EHQ是等腰直角三角形，
∴EH=HQ=AP=x，
∵PE=AE-AP=4-x，
∴PH=PE+EH═PE+AP=AE=4，
∴AB=PH，
在△ABP和△HPQ中，
，
∴△ABP≌△HPQ（SAS），
∴∠ABP=∠HPQ，BP=QP，
∴∠ABP+∠APB=∠HPQ+∠APB=90°，
∴∠BPQ=90°，
∴平行四边形PBFQ是矩形，
∵BP=QP，
∴矩形PBFQ是正方形；
②解：过点F、Q作BC的垂线段，垂足分别为点M、N，如图1-2所示：

则四边形ABNH是矩形，
∴HN=AB=4，
∵四边形BFQP是正方形，
∴S△BPK=S正方形BFQP，
∵BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，
∴S△BFK=S正方形BFQP，
∴S△PQK=S正方形BFQP，
∴FK=QK，
在△KMF和△KNQ中，
，
∴△KMF≌△KNQ（AAS），
∴MF=QN，  
∵四边形BFPQ是正方形，
∴BP=BF，∠PBF=∠BFK=90°，
∵∠ABP+∠PBK=∠FBM+∠PBK=90°，
∴∠ABP=∠FBM，
在△BAP和△BMF中，
，
∴△BAP≌△BMF（AAS），
∴MF=AP=QN=x，
∴HN=HQ+QN=2x=4，  
解得：x=2，
∴AP=2．
(2)解：过点F作FK⊥BC于K，过点Q作QH⊥AP于H，如图2所示：

∵四边形PBFQ是正方形，
∴∠BPQ=∠PBF=90°，BP=PQ=FB，
∴∠APB+∠HPQ=90°，
∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠HPQ，
在△ABP和△PHQ中，
，  
∴△ABP≌△PHQ（AAS），
∵∠ABP+∠CBP=∠KBF+∠CBP=90°，
∴∠ABP=∠KBF，
在△ABP和△KBF中，
，
∴△ABP≌△KBF（AAS），
∴△ABP≌△KBF≌△HPQ，
∴AB=PH=4，HQ=KF，
设DP=x，则EH=ED+PH+DP=8+x，
∵DE=CD，∠EDC=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，  
∴CE=CD=4，
∵四边形BFQP是正方形，
∴由轴对称可得：BC=CQ=8，
∴EQ=EC+CQ=4+8，
∵∠EHQ=90°，∠DEC=45°，
∴△EHQ是等腰直角三角形，  
∴EQ=EH，
∴4+8=（8+x），
解得：x=4-4，
∴KF=HQ=EH=8+x=4+4，
∴S△BFC=BC•KF=×8×（4+4）=16+16．