河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三第二次质量检测理科数学试题
展开平顶山许昌济源2021—2022学年高三第二次质量检测
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. M D. N
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D. 10
3. 若等差数列和等比数列满足，，则（ ）
A. －4 B. －1 C. 1 D. 4
4. 已知，，则（ ）
A. B. 12 C. －12 D.
5. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. “中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当，时，（ ）
A. B. C. D.
7. 甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
8. 如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）
A B. C. D.
9. 已知函数与函数在区间上的图像交于A，B，C三点，则的面积是（ ）
A. 2 B. C. D. 4
10. 已知函数恰有两个极值点，，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11. 过双曲线的下焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 己知向量，满足，，且，则在上的投影为_________．
14. 在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为______（用数字作答）．
15. 已知P是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，，是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是______．
16. 设为数列的前n项和，满足，，数列的前n项和为，满足，则______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角A；
（2）若点D在边AC上，且，求△BCD面积的最大值．
18. 为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差为，年份x的方差为．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到数据如下表：
| 购买非电动汽车 | 购买电动汽车 | 总计 |
男性 | 30 | 20 | 50 |
女性 | 15 | 35 | 50 |
总计 | 45 | 55 | 100 |
能否有99.5%的把握认为购买电动汽车与性别有关？
附：（i）线性回归方程：，其中，；
（ii）相关系数：，相关系数时相关性较强，时相关性一般，时相关性较弱．
（iii）
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中．
19. 如图，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD上，且，．
（1）证明：平面平面ABD；
（2）若平面ABC，，，，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角的余弦值．
20 如图，圆与抛物线相交于点、、、，且．
（1）若抛物线的焦点为，为其准线上一点，是坐标原点，，求抛物线的方程；
（2）设与相交于点，与组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为，求点的坐标及的最大值．
21. 设函数．
（1）当时，求在上的单调区间；
（2）记，讨论函数在上的零点个数．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，A（1，0），求值．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，使，求实数a的取值范围．
平顶山许昌济源2021—2022学年高三第二次质量检测
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C
【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A
【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】D【12题答案】答案】A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】
【16题答案】【答案】
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
【17~18题答案】【答案】（1） （2）
【19~20题答案】【答案】（1）与相关性较强
（2）有的把握认为购买电动汽车与性别有关【21~22题答案】
【答案】（1）证明见解析； （2）【23~24题答案】【答案】（1）
（2），的最大值为.
【25~26题答案】
【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为、；
（2）个零点
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【27~28题答案】
【答案】（1）直线的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为； （2）8.
【29~30题答案】【答案】（1） （2）
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