【期末专题复习】人教版(2019)物理必修1-高一上学期期末专题点拨与训练：第21讲 平衡问题的临界与极值

第21讲 平衡问题的临界与极值

1．临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述．

2．极值问题

平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．

3．解决极值问题和临界问题的方法

(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．

(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．

【例题1】如图所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m，半径为r的半球体均匀物块A.现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，调整A的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因数为0.5.则A球球心距墙角的最远距离是(　　)

A．2r　　　　　 B.r

C.r   D.r

【答案】　C

【例题2】一个质量为1 kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N，g＝10 m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是(　　)

A．μ＝，θ＝0   B．μ＝，tanθ＝

C．μ＝，tanθ＝   D．μ＝，tanθ＝

【答案】　B

【例题3】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h(h＜R)的木块，现用水平推力F推木块．若不计一切摩擦，求：用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面．

【解析】　球刚离开地面时，地面支持力为零，以球为研究对象，受力分析并分解如图所示．由平衡条件：

FN1sinθ＝G，

FN1cosθ＝FN2，

sinθ＝.

再以整体为研究对象得：FN2＝F，

即：F＝＝.

1．如图，质量为1kg的物体A静止放在倾角为37°的斜面上，物体A与斜面之间的动摩擦因数为0.5.现将装有细沙的小桶B通过细线绕过光滑定滑轮与物体A相连，滑轮右端细线与斜面平行，某时刻起小桶B中细沙缓慢漏出，直到细沙全部漏出，整个过程中物体A始终保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取重力加速度g=10m/s2则（　　）

A．细沙与小桶B的总质量可能等于2kg

B．细沙与小桶B的总质量可能等于1.5kg

C．小桶B的质量可能等于0.1kg

D．小桶B的质量可能等于0.5kg

【答案】D

【解析】AB．对A受力分析，如图，静摩擦力可能向上，也可能向下。若静摩擦力沿斜面向下，

对B分析知

当静摩擦力达到最大值时，T最大，M最大，即沙与小桶B总质量最大为，故AB错误；

CD．若静摩擦力沿斜面向上

对B分析知

当静摩擦力达到最大值时，T最小，M最小，即沙与小桶B总质量最小为，沙漏完物体A仍然不动，因此小桶B质量至少为，故C错误，D正确。

故选D。

2．如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F。已知砖夹的质量为m，重力加速度为g，砖夹与砖块之间的滑动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，砖夹处于平衡状态，在竖直方向满足

砖夹与砖之间恰好达到最大静摩擦力

联立解得，砖夹与砖块一侧间的压力的最小值为

C正确。

故选C。

3．如图所示，在倾角为的粗糙斜面上放置质量为的物块，物块的一端连接有轻质弹簧，已知弹簧的劲度系数为，初始时物块处于静止状态且斜面对物体的静摩擦力刚好达到最大值，此时弹簧的压缩量为0.06m，现施加一个沿斜面同上的拉力，物块依然保持静止状态，则的值不可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】开始时对物块在沿斜面方向上受力分析可知

代入数据，则有

可得

施加沿斜面向上的拉力后，当拉力的大小在之间变化时，根据平衡方程式有

此时静摩擦力沿斜面向上大小从之间变化；大小逐渐减小。

施加沿斜面向上的拉力后，当拉力的大小在之间变化时，根据平衡方程式有

此时静摩擦力沿斜面向下大小从之间变化；大小逐渐逐渐增大。

ABC符合题意，D不符合题意。

故选D。

4．如图所示，质量为的物体静止放在倾角为37°的斜面上，与斜面间的动摩擦因数为，用一细绳将小桶通过定滑轮与物体相连，在不断向小桶中加沙子的过程中，、始终处于静止状态，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，，则下列说法正确的是（　　）

A．物体受到的支持力不断增大

B．斜面对物体的作用力不断增大

C．物体受到的摩擦力可能先减小后增大

D．当小桶和沙子的总质量达到时，摩擦力大小为

【答案】C

【解析】A．在逐渐增加B的质量时，物体A受到的支持力

FN=mAgcosθ

其大小保持不变，故A错误；

BC．斜面对物体A的作用力是支持力和摩擦力的合力，在加沙子之前，A受到的摩擦力可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，还有可能为零，所以在加沙子的过程中，A受到的摩擦力可能一直增大，也可能先减小后增大，故B错误，C正确；

D．当小桶B和沙子的总质量为1kg时，物体A仍静止，静摩擦力大小为4N，方向沿斜面向下，故D错误。

故选C。

5．如图所示，质量为的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑，对物体施加一大小为的水平向右的恒力，物体可沿斜而匀速向上滑行，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时，不论水平恒力多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，则（　　）

A．物体与斜面间的动摩擦因数

B．物体与斜面间的动摩擦因数

C．临界角

D．临界角

【答案】AC

【解析】AB．物体恰能沿斜面匀速下滑，可知

mgsin 30°=umgcos30°

解得

故A正确；B错误；

CD．当斜面倾角为临界角时，受力情况如图所示

由物体做匀速直线运动的条件有

，，

解得

当时，即“不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行”，临界角。故C正确，D错误。

故选AC。

6．如图所示，在质量为的重物上系着两条相同规格的细绳，右侧细绳的另一端连着一个重力不计的轻质圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的动摩擦因数为0.75，左侧细绳另一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环的地方，当细绳的另一端挂上重物G，而圆环将要开始滑动，此时角，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，g取）求：

（1）角；

（2）圆环将要开始滑动时，重物G的重量；

（3）要使细绳不断裂，细绳能承受的最小拉力。

【答案】（1）；（2）6N；（3）8N

【解析】（1）对圆环受力分析如图所示

由平衡条件可得

， ，

联立解得

解得

（2）对重物m受力分析如图所示

由平衡条件可得

对重物G有

联立解得

，

（3）要使细绳不断裂，细绳能承受的最小拉力为

7．如图所示，倾角为的斜面固定在水平面上，斜面上有一质量为的物块，物块与斜面之间的动摩擦因数，为防止物块下滑，给物块施加一个推力。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，，。

（1）在水平向右的推力的作用下静止，求木块受到的摩擦力；

（2）求推力方向沿平行斜面向上与水平向右时所需推力的最小值之比。

【答案】（1），方向沿斜面向下；（2）

【解析】（1）对物块进行受力分析如图所示（假设摩擦力方向沿斜面向下）

由物体平衡可得

整理可以得到

方向沿斜面向下，即假设正确；

（2）推力沿斜面向上物块恰好不下滑，受力分析有

推力水平向右物块恰好不下滑受力分析，沿斜面方向

垂直于斜面方向

又因为

解得

8．如图甲所示，三条不可伸长且结实的轻绳结于O点，OC绳将质量为m的重物悬挂起来已知系在竖直墙上的AO绳与墙成37°角，保持O点位置不变，可改变BO绳拉力的方向，（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求：

（1）若m=1kg，BO绳的拉力沿水平方向时，BO绳和AO绳拉力的大小；

（2）若m=1kg，改变BO绳拉力方向时BO绳中拉力的最小值；

（3）如图乙所示，如果BO绳沿水平方向，B端固定于静止在倾角为37°粗糙斜面上的质量为M=12kg物体上，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知物体M和斜面间=0.8，若要保持M静止，则m的值最大为多少。

【答案】（1）7.5N；12.5N；（2）6N；（3）0.5kg

【解析】（1）依题意，对结点O受力分析，如图所示

根据三力平衡，可得

又因为

联立带入数据，求得

，

（2）根据力矢量三角形判断知，当OB绳拉力方向与OA绳方向垂直时，BO绳中拉力为最小，可得最小值

（3）若要保持M静止且m的值达最大，则此时M的受力分析如图所示

此时M受到的摩擦力恰好达到最大静摩擦力，由平衡条件及正交分解法可得

又

联立以上式子，带入数据求得

9．如图所示，用一根绳子a把物体悬挂起来，再用另一根水平的绳子b把物体拉向一旁保持静止状态。物体的重力是80N，绳子a与竖直方向的夹角θ＝37°。

（1）绳子a与b对物体的拉力分别是多大？

（2）如果仅调整绳子b的方向，物体仍然保持静止，绳子b受到的最小拉力？

（3）若绳子a能承受最大拉力为100N，绳子b能承受最大拉力为50N，为了保证绳子不被拉断，则悬挂物体质量的最大值？（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10N/kg）。

【答案】（1）100N，60N；（2）48N；（3）M≤kg

【解析】（1）物体受重力，绳ab的拉力，采用合成法如图

根据几何知识

（2）由矢量合成三角形可以看出当ab两绳垂直时，b的拉力最小

Tb＝Gsin37°＝80×0.6N＝48N

（3）结合第一问可知，

Ta： Tb＝4：3

绳子a能承受最大拉力为100N，绳子b能承受最大拉力为50N，故有

故