北京一零一中学矿大校区2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题及答案

北京一零一中学矿大校区2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2} D．

2．下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（　　）

A． B． C． D．

3．某校初一（1）班和初一（2）班各有10人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示，则1班10人每天骑行路程的极差和2班10人每天骑行路程的中位数分别是（　　）

A．14，9.5 B．9，9 C．9，10 D．14，10

4．已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（　　）

A． B． C． D．

5．设，则（    ）

A． B． C． D．

6．幂函数，则“的图像经过点”是“为奇函数”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．函数的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

8．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（　　）

A．甲得分的极差大于乙得分的极差 B．甲得分的平均数小于乙得分的平均数

C．甲得分的标准差大于乙得分的标准差 D．甲得分的75%分位数小于乙得分的75%分位数

9．李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（    ）（本题取）

A．22 B．23 C．33 D．34

10．设a，b，c是正整数，且，当数据a，b，c的方差最小时，的值为（　　）

A．221或222 B．222或223 C．223或224 D．224或225

二、双空题

11．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-3，3，8，12，则这组数据的平均数为_.25%分位数为_.

三、填空题

12．=______.

13．已知甲乙两地温度如下，设甲、乙两地温度方差分别用、表示，则、的大小关系为______.

14．已知函数为在上的偶函数，且满足条件：①在上单调递减；②，则关于的不等式的解集是______.

15．已知表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列说法正确的有______.

①函数的值域为；②方程有无数个解；

③函数在上单调递增；④函数在定义域内为奇函数

四、解答题

16．已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

17．已知函数是定义在R上的奇函数.

(1)求f（x）的解析式及值域：

(2)判断f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明.

(3)若不大于f（1），直接写出实数m的取值范围.

18．研究表明，在中学阶段阅读的书籍往往能够对学生产生更深刻的影响.因此，提高中学生的课外阅读能力也成为我们在中学教学中极为重要的活动.某校学生共2000人，为了解该校学生的课外阅读情况，随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

(1)求频率分布直方图中的a，b的值：

(2)根据频率分布直方图，估计样本的众数和中位数：

(3)为鼓励学生们开展课外阅读，学校决定根据一周课外阅读时间的长短设一、二、三等奖，并为每位同学购买书籍作为奖励，如下表：

用样本估计总体，学校需购置多少本书籍？

19．若函数的图象恒过和两点，则称函数为“函数”.

(1)请写出一个幂函数，使其是“函数”.

(2)若函数是“函数”，求；

(3)设（且），定义在R上的函数满足：

①对，均有，

②是“函数”，

求函数的解析式及实数的值.

参考答案：

1．B

【分析】根据集合的交运算，直接求解即可.

【详解】根据题意，.

故选：B.

2．A

【分析】根据单调性排除BD，根据奇偶性排除C，A满足单调性和奇偶性，得到答案.

【详解】对选项A：，函数为偶函数，当时，为增函数，正确；

对选项B：在上为减函数，错误；

对选项C：，函数为奇函数，错误；

对选项D：在上为减函数，错误；

故选：A

3．D

【分析】根据茎叶图中的数据，计算1班的极差和2班的中位数即可．

【详解】根据茎叶图中数据，

1班共有10个数据，最大为22，最小为8，因此极差为22－8＝14；

2班共有10个数据，中间两个是10和10，因此中位数为．

故选：D．

4．B

【分析】确定函数单调递增，计算，，得到答案.

【详解】在上单调递增，，，

故函数的零点在区间上.

故选：B

5．A

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断.

【详解】因为在上单调递增，且恒成立，

所以，即，

因为在上单调递增，所以，

因为在上单调递增，所以，

综上：.

故选：A

6．C

【分析】代入点得到，根据函数为奇函数得到，得到答案.

【详解】的图像经过点，故；

为奇函数，，故.

故“的图像经过点”是“为奇函数”的充要条件.

故选：C

7．D

【分析】根据指数函数和对数函数图象，结合特殊值的函数值，即可判断和选择.

【详解】当时，，故，排除ABC.

故选：D.

8．C

【分析】根据折线图和茎叶图可得甲乙两人的数据，根据数据特征进行判断即可得解.

【详解】对于A，乙得分的最大值为29，最小值为5，极差为24，甲得分的最大值小于29，最小值大于5，故A错误；

对于B，甲得分的具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故B错误；

对于C，乙得分的数据更集中，标准差更小，故C正确；

对于D，甲得分的75%分位数大于，乙得分的75%分位数是17，故D错误.

故选：C．

9．B

【分析】依题意知和，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.

【详解】由题意知，则，

又因为，所以，解得，

所以，

令，则，

所以，

所以至少需经过天.

故选：B.

10．C

【分析】计算，要使方差最小，取，，根据二次函数性质得到答案.

【详解】设，，

要使方差最小，故三个数据应该尽量靠近，故，，

，

对应二次函数对称轴为，故或时，方差最小，

此时或.

故选：C

11．     5     0

【分析】①数据全部相加除以总个数即可得到平均数；②总个数乘以百分比看得数为整数还是小数即可.

【详解】①

②为整数，

所以原数据的分位数为第1个数和第二个数的平均数，即0.

故答案为：5   0.

12．

【分析】直接计算得到答案.

【详解】.

故答案为：

13．

【分析】先求得甲乙两地温度的平均数，再根据方差的计算公式求得方差，即可比较大小.

【详解】甲地温度的平均数为，

乙地温度的平均数为；

故；

，

故.

故答案为：.

14．

【分析】确定函数的单调性，画出函数简图，根据图像得到，解得答案.

【详解】函数为在上的偶函数，在上单调递减，故在上单调递增；

，故.画出函数简图，如图所示：

，故，故，解得.

故答案为：

15．①②

【分析】计算值域得到①正确；确定函数是周期为1的函数得到②正确③错误；举反例得到④错误，得到答案.

【详解】表示的小数部分，故的值域为，①正确；

，函数是周期为1的函数，，故②正确③错误；

，，故函数不可能为奇函数，④错误。

故答案为：①②

16．(1)

(2)

【分析】（1）代入，求解集合，，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合，由并集为全集得出集合的范围，从而求出的范围.

【详解】（1）解：由得或.

所以.

当时，.

所以.

（2）由题意知].又，

因为，

所以.

所以.

所以实数的取值范围是.

17．(1)，

(2)单调递减，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据定义在R上的奇函数列方程，解方程得到，即可得到解析式，然后根据和反比例函数的单调性求值域即可；

（2）根据单调性的定义证明即可；

（3）根据单调性解不等式即可.

【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以，解得，所以，

因为，所以，，所以的值域为.

（2）在R上单调递减，

设，则，因为，所以，，即，

所以在R上单调递减.

（3）.

18．(1)，

(2)众数为；中位数为

(3)

【分析】（1）直接计算即可.

（2）前3组的频率和为，前4组的频率和为，根据公式计算得到答案.

（3）分别计算各个级别的概率，再计算得到答案.

【详解】（1），.

（2）样本的众数为：；

前3组的频率和为：，

前4组的频率和为：

样本的中位数为：.

（3）三等奖的概率为：；

二等奖的概率为：；

一等奖的概率为：；

故需要准备的书共：

19．(1)（答案不唯一）

(2)

(3)，

【分析】（1）根据定义写幂函数即可；

（2）将和代入中，然后解方程即可；

（3）根据为 “函数”的定义得到，，然后利用赋值法令得到，，再分别令，和，得到，，即可得到.

【详解】（1），恒过和两点，所以是“函数”.

（2）令，则，所以，

令，则，所以，

所以.

（3）因为为“函数”，所以，，所以，，

对于①，令可得，解得或0（舍去），所以，

令，可得，解得，

令，可得，将，代入可得，所以.