2022-2023学年七年级数学上学期期末【压轴60题考点专练】

这是一份2022-2023学年七年级数学上学期期末【压轴60题考点专练】，共135页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

七年级上学期期末【压轴60题考点专练】
一、单选题
1．（2020·江苏南京·七年级期末）如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（　　）
​
A．​ B．
C．​ D．​
2．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2020·江苏苏州·七年级期末）满足的整数对共有（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2021·江苏南京·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（    ）

A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab
二、填空题
5．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，在三角形中，，点为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则______．

6．（2022·江苏·射阳县第六中学七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为 _____．

7．（2020·江苏苏州·七年级期末）本学期，我们做过“抢30”的游戏，如果将游戏规则中“不可以连说三个数，谁先抢到30谁就获胜”，改为“每次可以连说三个数，谁先抢到33谁就获胜”，那么采取适当策略，其结果_____者胜
8．（2020·江苏·射阳县实验初级中学七年级期末）古希腊 Pythagoras学派把自然数与小石子堆放的形状比拟，借此把自然数分类，图中的五角形数别表示分别表示数1、5、12、22、…，那么第n个五角形数是_______ (n为正整数)

9．（2020·江苏扬州·七年级期末）用火柴棒按如图所示方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第2020个图形需火柴棒的根数是________．    

10．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是13，绿色的面积是11，则正方形盒子的面积为_____________．

11．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是____．

12．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是______．



三、解答题
13．（2018·江苏无锡·七年级期末）如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．

（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．




14．（2021·江苏·江阴市周庄中学七年级期末）已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图1所示)时，试说明∠BOE＝2∠COF；
(2)当点C与点E，F在直线AB的两旁(如图2所示)时，(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；
(3)将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°(0＜m＜180°)得射线OD．设∠AOC＝n°，若∠BOD＝(60－n)°，则∠DOE的度数是 (用含n的式子表示)



15．（2021·江苏南通·七年级期末）已知．

（1）如图1，反向延长射线得到射线，用量角器画的平分线．当时，求的度数；
（2）如图2，，用量角器画的角平分线．判断与互为余角吗？说明理由；
（3）利用“备用图”画图研究：画，使与互为补角，进一步画出、的平分线，，并求的度数（若需要，可以用含的式子表示） ．




16．（2019·江苏·苏州市景范中学校七年级期末）如图，点A，B是数轴上的两点．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度向点B作匀速运动；同时，点Q也从原点出发用2s到达点A处，并在A处停留1s，然后按原速度向点B运动，速度为每秒4个单位．最终，点Q比点P早3s到达B处．设点P运动的时间为t s．

（1）点A表示的数为_________；当时，P、Q两点之间的距离为________个单位长度；
（2）求点B表示的数；
（3）从P、Q两点同时出发至点P到达点B处的这段时间内，t为何值时，P、Q两点相距3个单位长度？






17．（2021·江苏扬州·七年级期末）已知点A、B、C在数轴上所对应的数分别为a、b、c，b是最大的负整数，且a、b、c满足|4b-a|+（c-5）2=0．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）若在数轴上存在一点P，且PB=2PC，则P点表示的数为 ；
（3）若点A和点C同时分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，同时，点P从原点O以6个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为t秒．是否存在常数m，使得4AP+3OC-mOP为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值，若不存在，请说明理由．





18．（2021·江苏淮安·七年级期末）定义：对于整数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，结果能被15整除，则称n为15的“亲和数”，如4是15的“亲和数”，因为4+5+6＝15，15能被15整除；﹣7不是15的“亲和数”，因为（﹣7）+（﹣6）+（﹣5）＝﹣18，﹣18不能被15整除．
（1）填空：﹣16　 　15的“亲和数”（填“是”还是“不是”）；
（2）求出1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数；
（3）当n在﹣10到10之间时，直接写出使2n+3是15的“亲和数”的所有n的值．











19．（2021·江苏盐城·七年级期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．

（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．




20．（2021·江苏泰州·七年级期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，求MN的长；
（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．






21．（2021·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？












22．（2022·江苏宿迁·七年级期末）若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．

(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．

















23．（2022·江苏淮安·七年级期末）
【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　（用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？




24．（2020·江苏连云港·七年级期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．

（2）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格中所画的一致，则这样的几何体最少要　　　　个小立方块，最多要　　　　个小立方块．



25．（2022·江苏无锡·七年级期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．
气量分档
用气量（立方米）
价格（元/立方米）
调整前
调整后
第一档
年用气量≤300
年用气量≤400
2.73
第二档
300＜年用气量≤600
400＜年用气量≤1000
3.28
第三档
年用气量＞600
年用气量＞1000
3.82
人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．
(1)若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为 元；
(2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？





26．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）定义：当点在线段上，时，我们称为点在线段上的“分值”，记作．
理解：如点是的中点时，即，则，则；反过来，当时，则有．因此我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
应用：
(1)如图①，点在线段上．若则__________；若，则__________．


(2)已知线段，点，分别从点、同时出发，相向运动，点到达点时，，都停止运动，设运动时间为．
①若点，的运动速度均为，试用含的式子表示和，并判断它们的数量关系；
②若点和点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，为何值时，．
(3)如图②，在三角形中，，，点，同时从点出发，点沿线段匀速运动至点．点沿线段，匀速运动至点，且点，同时到达点，设．当点运动到线段上时，请用含的式子图②表示．







27．（2022·江苏无锡·七年级期末）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：
甲超市
乙超市
消费金额（元）
优惠活动
消费金额（元）
优惠活动
0～100（包含100）
无优惠
0～200（包含200）
无优惠
100～350（包含350）
一律享受九折优惠
大于200
超过200元的部分享受八折优惠
大于350
一律享受八折优惠
(1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？
(2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？
(3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？

















28．（2022·江苏盐城·七年级期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表：
每月用水量
单价（单位：元/m3）
不超过10m3的部分
2
超过10m3，但不超过20m3的部分
4
超过20m3的部分
8
(1)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费44元？
(2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元？





29．（2022·江苏连云港·七年级期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解．








30．（2022·江苏泰州·七年级期末）对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点，称这样的操作为点的“m速移”点称为点的“m速移”点．
(1)点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且．
①若点A向右平移n秒的“5速移”点与点B重合，求n；
②若点A向右平移n秒的“2速移”点与点B向右平移n秒的“1速移”点重合，求n；
(2)数轴上点M表示的数为1，点C向右平移3秒的“2速移”点为点，如果C、M、三点中有一点是另外两点连线的中点，求点C表示的数；
(3)数轴上E，F两点间的距高为3，且点E在点F的左侧，点E向右平移2秒的“x速移”点为点，点F向右平移2秒的“y速移”点为点，如果，请直接用等式表示x，y的数量关系．




















31．（2022·江苏泰州·七年级期末）
(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．
②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．




32．（2020·江苏盐城·七年级期末）定义：点C在线段AB上，若BC＝AC，则称点C是线段AB的一个圆周率点．
如图，已知点C是线段AB的一个靠近点A的圆周率点，AC＝3．
（1）AB＝ ；（结果用含的代数式表示）
（2）若点D是线段AB的另一个圆周率点（不同于点C），则CD= ；
（3）若点E在线段AB的延长线上，且点B是线段CE的一个圆周率点．求出BE的长．




33．（2020·江苏镇江·七年级期末）如图，P是线段AB上任一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．

（1）若AP=8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD；
（2）如果t=2s时，CD=1cm，试探索AP的值．





34．（2022·江苏盐城·七年级期末）阅读探究：，，，…
(1)根据上述规律，小亮发现，求出___________．
(2)小聪继续又发现：

，求出___________．
(3)若，请运用小聪的方法求和的值










35．（2020·江苏苏州·七年级期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上标出﹣a，﹣b的位置，并比较a，b，﹣a，﹣b的大小：
（2）化简|a+b|+|a﹣b|．






36．（2020·江苏·南通市启秀中学七年级期末）数轴上点表示数，点表示数，点表示数，若规定，
（1）当，，时，则______，______．
（2）当，，，时，则______．
（3）当，，且，求的值．
（4）若点、、为数轴上任意三点，，化简：













37．（2022·江苏常州·七年级期末）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，-1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出，，的值；
（2）计算的值；
（3）计算的值．





38．（2020·江苏·扬州市梅岭中学七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．

（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；
②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．








39．（2020·江苏南京·七年级期末）已知：，OB、OM、ON，是 内的射线．

（1）如图 1，若 OM 平分 ， ON平分．当射线OB 绕点O 在 内旋转时，=  度．
（2）OC也是内的射线，如图2，若 ，OM平分，ON平分，当射线OB绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，若，求t的值．

















40．（2019·江苏·泗阳县实验初级中学七年级期末）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．

（1）如图1，若，则__________度；
（2）若，
①如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数；
②若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．

















41．（2021·江苏南通·七年级期末）定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为，，．
（1）若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线．
①如图1，，，则______；
②当，时，请在图2中作出射线，，，并直接写出的值；
③根据①②的经验，得______（用含，的代数式表示）．
（2）如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值．









42．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图 1，射线OC 在ÐAOB 的内部，图中共有 3 个角：ÐAOB 、ÐAOC 和ÐBOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC   是ÐAOB 的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图 2，若ÐMPN = 60° ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10° 的速度逆时针旋转， 当ÐQPN   首次等于180° 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) ．
①当t 为何值时，射线 PM 是ÐQPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6° 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是ÐMPN 的奇妙线时t 的值．

















43．（2021·江苏淮安·七年级期末）【问题情境】
苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】
小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝　 　°；
【变式拓展】
小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．








44．（2022·江苏南京·七年级期末）已知与互为补角，平分．

(1)如图①，若，则______°，______°．
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．




















45．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”，例如，如图1，，，则，称射线是射线的友好线：同时，由于，称射线是射线的友好线．

(1)如图2，，射线是射线的友好线，则________；
(2)如图3，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒3゜的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）















46．（2018·江苏·南京市第九初级中学七年级期末）如图 1，正方形 OABC 的边 OA 在数轴上，O 为原点，正方形 OABC 的面积为 16.
（1）数轴上点 A 表示的数为 .
（2）将正方形 OABC 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为O' A' B' C' ，移动后的正方形O' A' B' C ' 与原正方形 OABC 重叠部分的面积记为 S，如图 2 中，长方形O ' ABC ' 的面积为 S.当 S 恰好等于原正方形 OABC 面积的时，数轴上点A' 示的数为 .
（3）设点 A 的移动距离AA' ＝ x，D 为线段AA' 的中点，点 E 在线段OO ' 上，且OE ＝ OO ' ，当OD ＋ OE ＝ 5 时，求x的值并写出此时点 A' 所对应的数.




47．（2020·江苏·宿迁市钟吾初级中学七年级期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ；
（2）当x= 时，点P到点M、点N的距离之和是6；
（3）如果点P以每秒钟1个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒钟4个单位长度和每秒钟2个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几秒钟时点P到点M，点N的距离相等?







48．（2021·江苏泰州·七年级期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上．

（1）长方形的面积是______．
（2）若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数．
（3）若长方形、分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为，移动时间为．
①整个运动过程中，的最大值是______，持续时间是______．
②当是长方形面积一半时，求的值．



49．（2021·江苏淮安·七年级期末）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是4，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的4倍．
（1）a＝　 　，b＝　 　，AB＝　 　；
（2）动点M、N分别从点A、B的位置同时开始在数轴上做没有折返的运动，已知动点M的运动速度是1个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒M、N相距6个单位长度？






50．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期末）【探索新知】
如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若，求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．

【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．
（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；
（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．












51．（2022·江苏镇江·七年级期末）某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：
寄往本省内
寄往周边省份
首重
续重
首重
续重
8元/千克
5元/千克
12元/千克
6元/千克
说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费．
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．
首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足克按千克计算）．
例如：寄往省内一件千克的物品，运费总额为：元．
寄往省外一件千克的物品，运费总额为：元．
（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）
(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件千克的物品，各需付运费多少元？
(2)小明寄往省内一件重千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过的小数（即），则用含字母m的代数式表示小明这次寄件的运费为________；
(3)小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？














52．（2022·江苏盐城·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2．
例如如图，若点C表示的数为3，则（点C，线段AB）=1，（点C，线段AB）=8．

(1)若点D表示的数为-7，则（点D，线段AB）_____________，（点D，线段AB）_____________；
(2)若点M表示的数为m，（点M，线段AB）=3，则m的值为_____________；若点N表示的数为n，（点N，线段AB）=12，则n的值为_____________．
(3)若点E表示的数为x，点F表示的数为，（点F，线段AB）是（点E，线段AB）的3倍．求的值．












53．（2019·江苏·泗阳县实验初级中学七年级期末）观察下列各式：，
（1）根据上述规律写出第5个等式是________；
（2）规律应用：计算：；
（3）拓展应用：计算：；






54．（2020·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.
(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.




55．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）

（1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．

















56．（2020·江苏盐城·七年级期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；
（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第 秒时，∠COM与∠CON互补．















57．（2020·江苏苏州·七年级期末）在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体;
Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体;
Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?

















58．（2022·江苏宿迁·七年级期末）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题：

(1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 　　个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图；
(2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 　　个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 　　种不同形状．
(3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？

















59．（2021·江苏南京·七年级期末）以下是两张不同类型火车的车票（“次”表示动车，“次”表示高铁）：

（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是__________向而行（填“相”或“同”）．
（2）已知该列动车和高铁的平均速度分别为、，两列火车的长度不计．
①经过测算，如果两列火车直达终点（即中途都不停靠任何站点），高铁比动车将早到，求、两地之间的距离．
②在①中测算的数据基础上，已知、两地途中依次设有个站点、、、、，且，动车每个站点都停靠，高铁只停靠、两个站点，两列火车在每个停靠站点都停留．求该列高铁追上动车的时刻．












60．（2020·江苏扬州·七年级期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，点A表示的数a，点B表示的数是b，且.

（1）a= ，b= ；
（2）在数轴上是否存在一点P，使，若有，请求出点P表示的数，若没有，请说明理由？
（3）点M从点A出发，沿的路径运动，在路径的速度是每秒2个单位，在路径上的速度是每秒4个单位，同时点N从点B出发以每秒3个单位长向终点A运动，当点M第一次回到点A时整个运动停止.几秒后MN=1？

答案与解析
一、单选题
1．（2020·江苏南京·七年级期末）如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（　　）
​
A．​ B．
C．​ D．​
【答案】B
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．
【详解】选项A、C、D折叠后都符合题意；
只有选项B折叠后两个画一条线段与另一个画一条线段的三角形不交于一个顶点，与正方体三个画一条线段的三角形交于一个顶点不符．
故选B.
【点睛】此题考查的知识点是几何体的展开图，关键是解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
2．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可．
【详解】解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），

BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），

DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），

DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得t＝；
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），

DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣14＝t﹣6，
解得：t＝8；
⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），

BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：t＝；
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．
3．（2020·江苏苏州·七年级期末）满足的整数对共有（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】先判断出|ab|=0，|a-b|=1或|a-b|=0，|ab|=1，再借助a，b是整数即可得出结论．
【详解】∵|ab|+|a-b|=1，
∴0≤|ab|≤1，0≤|a-b|≤1，
∵a，b是整数，
∴|ab|=0，|a-b|=1或|a-b|=0，|ab|=1
①当|ab|=0，|a-b|=1时，
Ⅰ、当a=0时，b=±1，
∴整数对（a，b）为（0，1）或（0，-1），
Ⅱ、当b=0时，a=±1，
∴整数对（a，b）为（1，0）或（-1，0），
②当|a-b|=0，|ab|=1时，
∴a=b，∴a2=b2=1，
∴a=1，b=1或a=-1，b=-1，
∴整数对（a，b）为（1，1）或（-1，-1），
即：满足|ab|+|a-b|=1的所有整数对（a，b）为（0，1）或（0，-1）或（1，0）或（-1，0）或（1，1）或（-1，-1）．
∴满足|ab|+|a-b|-1=0的整数对（a，b）共有6个．
故选C．
【点睛】此题考查绝对值，以及数对，分类讨论的思想，确定出|ab|=0，|a-b|=1或|a-b|=0，|ab|=1是解题关键．
4．（2021·江苏南京·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（    ）

A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab
【答案】B
【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负．
【详解】解：∵，
∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，
∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，
，但是的符号不能确定，故A错误；
若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确；
若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误；
若b是负数，c是正数，则，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负．

二、填空题
5．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，在三角形中，，点为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则______．

【答案】33°或53°
【分析】分CA´在∠ACB外部和内部两种情况求解即可.
【详解】解：当CA´在∠ACB外部，如图：

∵，，
∴，
∵三角形沿着折叠，
∴，
∴；
当CA´在∠ACB内部，如图：

∵，，
∴，
∵三角形沿着折叠，
∴，
∴；
故答案为：33°或53°
【点睛】此题考查折叠的性质及角之间的和差，分情况讨论是解答此题的关键.
6．（2022·江苏·射阳县第六中学七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为 _____．

【答案】或6
【分析】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，由S△PCE=S四边形AECD-S△PCD-S△PAE建立方程求出其解即可；如图3，当点P在AE上，即7＜t≤9时，由S△PCE=PE•BC=18建立方程求出其解即可．
【详解】解：如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，

∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm．
∵CP=2t（cm），
∴S△PCE=×2t×8=18，
∴t=；
如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，

∵AE=2BE，
∴AE=AB=4．
∵DP=2t-6，AP=8-（2t-6）=14-2t．
∴S△PCE=×（4+6）×8-（2t-6）×6-（14-2t）×4=18，
解得：t=6；
当点P在AE上，即7＜t≤9时，

PE=18-2t．
∴S△CPE=（18-2t）×8=18，
解得：t=＜7（舍去）．
综上所述，当t=或6时△APE的面积会等于18．
故答案为：或6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用，动点问题，分类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解．
7．（2020·江苏苏州·七年级期末）本学期，我们做过“抢30”的游戏，如果将游戏规则中“不可以连说三个数，谁先抢到30谁就获胜”，改为“每次可以连说三个数，谁先抢到33谁就获胜”，那么采取适当策略，其结果_____者胜
【答案】先报数
【详解】此题考查了游戏的公平性问题，关键是得到需抢到的数字．
为了抢到30，那就必须抢到27，这样无论对方叫“28”或“29”，你都获胜．而为了抢到27，也可以此类推．游戏的关键是报数先后顺序，并且每次报的个数和对方合起来是三个，即对方报a（1≤a≤2）个数字，你就报（3-a）个数．抢数游戏，它的本质是一个是否被“3”整除的问题．改为“每次可以连说三个数，谁先抢到33谁就获胜”它的本质是一个是否被“4”整除的问题．
解：谁先抢到29，对方无论叫“30”或“31”或“32”你都获胜．为抢到29，甲先报1，甲每次报的个数和对方合起来是4个，（29-1）÷4=7，先报数者胜．
8．（2020·江苏·射阳县实验初级中学七年级期末）古希腊 Pythagoras学派把自然数与小石子堆放的形状比拟，借此把自然数分类，图中的五角形数别表示分别表示数1、5、12、22、…，那么第n个五角形数是_______ (n为正整数)

【答案】
【分析】先数出前几个图实心点的个数，根据求出的实心点的个数总结规律，即可得出答案.
【详解】由图像可知，第一个图有1个实心点
第2个图有1+1×3+1=5个实心点
第3个图有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点
第4个图有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点
……
以此类推，第n个图有：1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3(n-1)+1=3[1+2+3+…+(n-1)]+n个实心点
故答案为.
【点睛】本题主要考查整式探索和表达规律，根据前面几个图总结出通用规律是解决本题的关键.
9．（2020·江苏扬州·七年级期末）用火柴棒按如图所示方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第2020个图形需火柴棒的根数是________．    

【答案】12126
【分析】由图形可知：第一个图形用了2×2+3×2+2=12根火柴，第二个图形用了2×2+5×2+2×2=18根火柴，第三个图形用了2×2+7×2+2×3=24根火柴，…由此得出搭第n个图形需2×2+2（2n+1）+2n=6n+6根火柴，进一步代入求得答案即可．
【详解】∵第一个图形用了2×2+3×2+2=12根火柴，
第二个图形用了2×2+5×2+2×2=18根火柴，第三个图形用了2×2+7×2+2×3=24根火柴，…
∴搭第n个图形需2×2+2（2n+1）+2n=6n+6根火柴，则搭第2020个图形需火柴棒的根数是6×2020+6=12126；故答案为：12126．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形的排列规律，得出运算的方法，利用一般性的结论解决问题．
10．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是13，绿色的面积是11，则正方形盒子的面积为_____________．

【答案】
【分析】先将黄色部分向左平移，黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积，即可得出平移后黄色部分与绿色部分面积相等，设大正方形边长为b，红色部分边长为a，则黄色部分和绿色部分的长为a，宽为b-a，可得a2=20，a (b-a) =12，从而可得ab=32，则a2b2=322，即可求出b2
【详解】解∶如图，将黄色部分向左平移，

∴黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积，
∵红黄绿三块一样大的正方形，整个盒子为正方形，
∴平移后，黄色部分与绿色部分面积相等，
∴平移前，黄色的面积是13，绿色的面积是11，
∴平移后黄色部分与绿色部分面积为∶ ( 13+11) 2=12，
设大正方形边长为b，红色部分边长为a，则黄色部分和绿色部分的长为a，宽为b-a，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，正确平移图形，明确平移后黄色部分与绿色部分面积相等是解题的关键．
11．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是____．

【答案】
【分析】本题需先设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，再结合图形分别得出图形（3）的阴影周长和图形（4）的阴影周长，相等后列等式可得：a＝2y，x＝3b，最后根据长方形面积公式可得结论．
【详解】解：设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，
由两个长方形ABCD的AD＝3b＋2y＝a＋x，

∴图（3）阴影部分周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2x＋2DC−2x＝2a＋2DC，
∴图（4）阴影部分周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC＋4y，

∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，
∴2a＋2DC＝2DC＋4y，a＝2y，
∵3b＋2y＝a＋x，
∴x＝3b，
∴S1：S2＝ab：xy＝2yb：3yb＝，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意结合图形得出3b＋2y＝a＋x ，2a＋2DC＝2DC＋4y是解题的关键．
12．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是______．

【答案】-2
【分析】先设报3的人心里想的数为，利用平均数的定义表示报5的人心里想的数；报7的人心里想的数；报9的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可．
【详解】解：设报3的人心里想的数是
∵报3与报5的两个人报的数的平均数是4，
∴报5的人心里想的数应是，
报7的人心里想的数是，
报9的人心里想的数是，
报1的人心里想的数是，
∵报1的人与报3的人心里想的数的平均数是2，
∴，解得
故答案为：．
【点睛】本题属于阅读理解和探索规律题，考查了平均数的相关计算及方程思想的运用．解题关键是设未知数，将题中的等量关系展示出来，即可求出最终结果．

三、解答题
13．（2018·江苏无锡·七年级期末）如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．

（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）7.5；（3）当x=或x=4或x=时，点Q恰好落在线段AP的中点上．
【分析】（1）根据运动速度以及时间分别求出点P和点Q的位置，从而得出PQ的长度；
（2）设时间为x秒，然后根据题意列出方程求出x的值；（3）分三种情况分别列出方程，从而求出x的值．
【详解】解：（1）由题意可知：AP=x，BQ=3x，则PQ=10-4x或4x-10
当x=3时，10-4x=-2（不合题意，舍去）
当x=3时，4x-10=2
∴PQ=2
故答案为：2；
（2）设x秒后P，Q重合，得：x+3x=10   
解得：x=2.5      
PQ=3x=3×2.5=7.5  
（3）① x=2（10－3x）     
解得：x=
② x=2（3x－10）    
解得：x=4
③ x=2（30－3x）    
解得：x=
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，利用数形结合思想解题是关键．
14．（2021·江苏·江阴市周庄中学七年级期末）已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图1所示)时，试说明∠BOE＝2∠COF；
(2)当点C与点E，F在直线AB的两旁(如图2所示)时，(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；
(3)将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°(0＜m＜180°)得射线OD．设∠AOC＝n°，若∠BOD＝(60－n)°，则∠DOE的度数是 (用含n的式子表示)

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）（30+n）°
【分析】（1）设∠COF=α，则∠EOF=90°-α，根据角平分线性质求出∠AOF、∠AOC、推出∠BOE即可；
（2）设∠AOC=β，求出∠AOF，推出∠COF、∠BOE、即可推出答案；
（3）根据∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE或∠DOE=∠BOE+∠BOD和∠AOE=90°-∠AOC，代入求出即可．
【详解】解：（1）设∠COF=α，则∠EOF=90°-α，
∵OF是∠AOE平分线，
∴∠AOF=90°-α，
∴∠AOC=（90°-α）-α=90°-2α，
∠BOE=180°-∠COE-∠AOC，
=180°-90°-（90°-2α）
=2α，
即∠BOE=2∠COF；
（2）解：成立，设∠AOC=β，则∠AOF=，
∴∠COF==（90°+β），
∠BOE=180°-∠AOE，
=180°-（90°-β），
=90°+β，
∴∠BOE=2∠COF；
（3）解：分为两种情况：

如图3，∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE，
=180°-（60- ）°-（90°-n°），
=（30+n）°，
如图4，∵∠BOE=180°-∠AOE=180°-（90°-n°）=90°+n°，∠BOD=（60-）°
∴∠DOE=∠BOE+∠BOD =（90°+n°）+（60- ）°=（150+n）°
当∠FOD＜180°时，此时不符合题意，舍去，
综上答案为：（30+n）°．
【点睛】本题考查了角平分线定义，角的大小计算等知识点的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，有一定的代表性．
15．（2021·江苏南通·七年级期末）已知．

（1）如图1，反向延长射线得到射线，用量角器画的平分线．当时，求的度数；
（2）如图2，，用量角器画的角平分线．判断与互为余角吗？说明理由；
（3）利用“备用图”画图研究：画，使与互为补角，进一步画出、的平分线，，并求的度数（若需要，可以用含的式子表示） ．
【答案】（1）105°；（2）互余，理由见解析；（3）90°或90°-α
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BOD=∠COD=（180°-∠AOB），从而算出∠AOD；
（2）根据∠AOC=90°得到∠AOD+∠COD=90°，结合OD平分∠BOC，可证明结论；
（3）分两种情况，画出图形，根据互补的定义和角平分线的定义可得结果．
【详解】解：（1）∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠COD=（180°-∠AOB）=75°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=105°；
（2）互余，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COD=90°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠COD，
∴∠AOD+∠BOD=90°，即互为余角；
（3）如图3，∠BOC+∠AOB=180°，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠MON=∠MOB+∠NOB
=∠AOB+∠BOC
=90°；

如图4，∠BOC+∠AOB=180°，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠MON=∠NOB-∠MOB
=∠BOC-∠AOB
=（180°-∠AOB）-∠AOB
=（180°-α）-α
=90°-α．

【点睛】本题考查了互余和互补的定义，角平分线的定义，解题的关键是画出图形，结合角平分线的定义证明和求解．
16．（2019·江苏·苏州市景范中学校七年级期末）如图，点A，B是数轴上的两点．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度向点B作匀速运动；同时，点Q也从原点出发用2s到达点A处，并在A处停留1s，然后按原速度向点B运动，速度为每秒4个单位．最终，点Q比点P早3s到达B处．设点P运动的时间为t s．

（1）点A表示的数为_________；当时，P、Q两点之间的距离为________个单位长度；
（2）求点B表示的数；
（3）从P、Q两点同时出发至点P到达点B处的这段时间内，t为何值时，P、Q两点相距3个单位长度？
【答案】（1）-8，14；（2）32；（3），，，
【分析】（1）因为知道点P，Q的运动速度，所以根据时间×速度＝路程，可以求出P，Q的路程，在判断点A在原点的左侧，所以得出点A的值，求出P，Q的距离；
（2）根据点Q的运动为O−A−B，点P的运动为：O−B，根据两者之间的路程列出方程求出时间t；
（3）当点P，Q相距为3个单位长度时，分为4种情况，分别列方程即可求解．
【详解】（1）∵Q从原点出发用2s到达点A处，且速度为每秒4个单位
∴|OA|＝2×4＝8
又∵A点在原点的左侧
∴点A表示的数为−8
当t＝3s时
又∵Q也从原点出发用2s到达点A处，并在A处停留1s
∴|OQ|＝|OA|＝8
∵点P从原点出发，以每秒2个单位的速度向点B作匀速运动
∴|OP|＝2×3＝6
∴|PQ|＝|OQ|＋|OP|＝6＋8＝14
故答案为：-8；14；
（2）点P从原点运动到点B的时间为t，
∴2t+8＝4（t-3-3）
解得：t＝16
∴BC＝2t＝32
∴点B表示的数是32；
（3）由（2）得：∵点P到达点B处需要16s，点Q到达点B处需要13s，
∴P、Q两点相距3个单位长度分四种情况：
①当点Q从O−A上时，4t＋2t＝3，解得：t＝
②当点Q从O−A−B上时且在P的左侧时，8＋2t＝4（t−3）＋3，解得：t＝
③当点Q从O−A−B上时且在P的右侧时，8＋2t＋3＝4（t−3），解得：t＝
④当点Q到达点B时：2t＋3＝32，解得：t＝
∵t＜16s
∴当P、Q两点相距3个单位长度，t的值为：，，，．
【点睛】本题是关于路程类的应用题，掌握速度×时间＝路程是关键，在结合数轴的特点，原点左侧是小于0，原点右侧数值大于0，即可解答本题．
17．（2021·江苏扬州·七年级期末）已知点A、B、C在数轴上所对应的数分别为a、b、c，b是最大的负整数，且a、b、c满足|4b-a|+（c-5）2=0．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）若在数轴上存在一点P，且PB=2PC，则P点表示的数为 ；
（3）若点A和点C同时分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，同时，点P从原点O以6个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为t秒．是否存在常数m，使得4AP+3OC-mOP为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）3或11；（3）存在，，定值为31
【分析】（1）由是最大的负整数，求解 再利用可得：且 解方程可得答案；
（2）画出图形，设对应的数为 则 再利用 列方程，解方程可得答案；
（3）由题意得，运动秒后，点表示的数分别为 点P始终在点A的右边，可得 再求解结合为定值，可得 解方程可得答案．
【详解】解：（1）是最大的负整数，



且

故答案为：
（2）如图，

设对应的数为 则


或
或
故答案为3或11；
（3）存在，理由如下：
如图，由题意得，运动秒后，点表示的数分别为

点P始终在点A的右边，

∴
当时，不论t取何值，的值为定值31，
此时
【点睛】本题考查的是非负数的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，数轴上的动点问题，代数式的值与字母的取值无关，整式的加减运算，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
18．（2021·江苏淮安·七年级期末）定义：对于整数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，结果能被15整除，则称n为15的“亲和数”，如4是15的“亲和数”，因为4+5+6＝15，15能被15整除；﹣7不是15的“亲和数”，因为（﹣7）+（﹣6）+（﹣5）＝﹣18，﹣18不能被15整除．
（1）填空：﹣16　 　15的“亲和数”（填“是”还是“不是”）；
（2）求出1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数；
（3）当n在﹣10到10之间时，直接写出使2n+3是15的“亲和数”的所有n的值．
【答案】（1）是；（2）404个；（3）n＝或-7或3或8．
【分析】（1）根据亲和数定义即可求解．
（2）根据定义，写出“亲和数”的一般式，进行分析即可求解．
（3）当n在﹣10到10之间时，2n+3在-17或23之间，从而根据“亲和数”的概念列方程求解．
【详解】解：（1）∵（﹣16）+（﹣15）+（﹣14）＝﹣45．
∴﹣45能够被15整除，故﹣16是15的“亲和数”．
故答案为：是．
（2）根据定义若数n是15的“亲和数”，则有：＝．
∴当1到2021这2021个整数中，若n是15的亲和数，n的个位必定是4或者是9．
∴1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数为：404个．
（3）由（2）可得2n+3是15的“亲和数”时，则的个位数字必定是0或±5
又∵当n在﹣10到10之间时，2n+3在-17或23之间．
∴或或或或
解得：n＝或或-7或或或3或或8．
又由题意n为整数
∴n的值为-2或-7或3或8
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数字的规律探索，理解题意是关键．
19．（2021·江苏盐城·七年级期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．

（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30
【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；
（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．
【详解】解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．
20．（2021·江苏泰州·七年级期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，求MN的长；
（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）7cm；（2）t＝2或；（3）存在，长度分别为6cm或2cm
【分析】（1）根据题意可知当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；
（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t＝2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t＝；
（3）由题意可知存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．
【详解】解：（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，
∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），
∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；
（2）由题意，得：AM＝tcm，MC＝（6﹣t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，

①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2tcm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，
解得：t＝2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，
解得：t＝2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，
解得：t＝；
综上所述，当t＝2或时，点C为线段MN的中点.
（3）如图2，

①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2tcm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝CN＝tcm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN＝（8﹣2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝CN＝（8﹣2t）＝（4﹣t） cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝CN＝（2t﹣8）＝（t﹣4）cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．
21．（2021·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？

【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒
【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．
【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；
（3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
所以3x＝（180﹣5x﹣3x），
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB，
所以180﹣5x﹣3x＝×3x，
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”．
当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC，
所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB，
所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），
解得x＝30（符合题意），
即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”．
综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键．
22．（2022·江苏宿迁·七年级期末）若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．

(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
【答案】(1)50
(2)25秒
(3)11或47

【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由角的数量关系列出等式可求解；
（3）分两种情况讨论即可.
（1）
解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，
故答案为：50；
（2）
解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40º，∠AOE=90º-2t，
∵，
∴2t-40º=（90º-2t），
解得t=25.
即运动时间为25秒.
（3）
解：图2中∠AOE=90º-2t=40º，∠D1O E1=∠DOE=90º
∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，
情况①如图：

经过秒后，∠EOE1=5t
∵直线OC恰好平分，
∴
∵∠BOC=40 º
∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140º
即40º+5t+45º=140º
解得：t=11；
情况②如图：

此时有：5t-10º-45º=180º，
解得t=47
故的值为11或47.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（2022·江苏淮安·七年级期末）
【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　（用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】(1)是
(2)n
(3)或或或或秒

【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分别作出图形，分情况进行计算即可．
【详解】（1）解：∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
故答案为：是．
（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n．
故答案为：n．
（3）设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止

如图，当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，当时，
根据题意可得,,则


解得
如图,当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，当时，
,,


解得
即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
③如图，当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
,,

所以10+x＝，
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
④如图，当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
,,


解得
⑤如图，,

当时

解得：
当时

解得：
综上所述，当运动时间为或或或或秒时，符合题意要求．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
24．（2020·江苏连云港·七年级期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．

（2）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格中所画的一致，则这样的几何体最少要　　　　个小立方块，最多要　　　　个小立方块．
【答案】（1）答案见解析；（2）9，14．
【分析】（1）根据三视图的性质，作出该几何体的三视图即可．
（2）通过几何体的三视图确定每层可加的小立方体的个数，即可求解．
【详解】（1）如图所示：

（2）由俯视图易得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，所以最少有6+2+1=9个小立方块；
最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有6+5+3=14个小立方块．
故答案为：9；14．
【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．
25．（2022·江苏无锡·七年级期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．
气量分档
用气量（立方米）
价格（元/立方米）
调整前
调整后
第一档
年用气量≤300
年用气量≤400
2.73
第二档
300＜年用气量≤600
400＜年用气量≤1000
3.28
第三档
年用气量＞600
年用气量＞1000
3.82

人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．
(1)若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为 元；
(2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？
【答案】(1)3233.3，3016；
(2)小红家年用气量为700立方米．

【分析】（1）已知用气量1000立方米，根据调整前与调整后每一档的对应价格列算式计算即可；
（2）先设小红家年用气量为 立方米，再对用气量进行分类讨论，根据题目条件，分别表示出每一段中对应的调整前后的用气费用，再根据已知调整后比调整前气费节省109元，列出方程进行解答，分析是否在所讨论的范围内判断答案即可．
(1)
调整前：
元，
调整后：
元；
故答案为：3233.3，3016；
(2)
设小红家年用气量为 立方米，
当 时，
调整前： 元
调整后： 元
调整后比调整前气费节省109元

解得 ，不合题意；
当 时，
调整前： 元
调整后： 元
调整后比调整前气费节省109元
元，不合题意；
当 时，
调整前： 元
调整后： 元
调整后比调整前气费节省109元

解得 ，符合题意；
当 时，
调整前： 元
调整后： 元
调整后比调整前气费节省109元
元，不合题意；
综上所述，
所以，小红家的年用气量为立方米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，属于分段计费的典型题目，此类题目的解题关键在于认真审题，找准不同范围的收费标准，并分类讨论，根据题意找到等量关系，列出方程解答即可．
26．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）定义：当点在线段上，时，我们称为点在线段上的“分值”，记作．
理解：如点是的中点时，即，则，则；反过来，当时，则有．因此我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
应用：
(1)如图①，点在线段上．若则__________；若，则__________．


(2)已知线段，点，分别从点、同时出发，相向运动，点到达点时，，都停止运动，设运动时间为．
①若点，的运动速度均为，试用含的式子表示和，并判断它们的数量关系；
②若点和点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，为何值时，．
(3)如图②，在三角形中，，，点，同时从点出发，点沿线段匀速运动至点．点沿线段，匀速运动至点，且点，同时到达点，设．当点运动到线段上时，请用含的式子图②表示．
【答案】(1)，
(2)①，，；② 或；
(3)

【分析】（1）根据题干给的定义进行推理即可；
（2）①根据题干给的定义分别表示出，，即可得到数量关系；
②根据题意及定义分别表示出，，，再根据，得到方程，解方程即可得到答案；
（3）根据题意得到点的速度：点的速度 ，再设点的速度为 ，点的速度为 ，继而表示出，，即可得到答案．
（1）





故答案为：，；
（2）
① 点，的运动速度均为



，
，
；
②点和点的运动速度分别为和


，
，，
，，

或
解得 或 ；
（3）
设运动时间为
点，同时到达点，，
点的速度：点的速度
设点的速度为 ，点的速度为
，
．
【点睛】本题属于三角形的综合题目，主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的解法，理解新定义并能进行运用是解决本题的关键．
27．（2022·江苏无锡·七年级期末）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：
甲超市
乙超市
消费金额（元）
优惠活动
消费金额（元）
优惠活动
0～100（包含100）
无优惠
0～200（包含200）
无优惠
100～350（包含350）
一律享受九折优惠
大于200
超过200元的部分享受八折优惠
大于350
一律享受八折优惠

(1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？
(2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？
(3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？
【答案】(1)在甲超市更划算；
(2)应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品；
(3)把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元；

【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可；
（2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可；
（3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可；
（1）
解：甲超市购物所付的费用为：（元），
乙超市购物所付的费用为：（元），
∵，
∴在甲超市更划算；
（2）
解：甲超市购买的商品原价：（元），
设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得：
，解得：，
∵280＞265，
∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品；
（3）
解：∵，
∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元，
∵，，
∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元，
设第二次购买商品的原价为m元，
①当时，
由题意得：（元），
（元），
∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元；
②当时，
由题意得：（元），
（元），
∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元；
综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用（方案选择），（1）（2）比较简单，（3）中因为，故需要对288元的商品原价进行讨论．
28．（2022·江苏盐城·七年级期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表：
每月用水量
单价（单位：元/m3）
不超过10m3的部分
2
超过10m3，但不超过20m3的部分
4
超过20m3的部分
8

(1)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费44元？
(2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元？
【答案】(1)该户居民月用水16立方米
(2)该户居民月用水立方米

【分析】对于（1），先确定该收费属于第二阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可；
对于（2），先根据平均收费确定收费属于第三阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可．
(1)
∵，
∴该户居民月用水超过10立方米．
设该户居民月用水立方米，

解得立方米，
所以该市一户居民月用水16立方米．
(2)
∵．
∴该户居民月用水超过20立方米．
设该户居民月用水立方米，

解得立方米．
所以该市一户居民月用水立方米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解应用题的方法和步骤，确定等量关系是列一元一次方程的关键．
29．（2022·江苏连云港·七年级期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)9
(2) 或
(3)2022

【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为x=-2023，再将变形为，则y+1=x=2023，从而求解．
【详解】（1）解：∵3x+m=0
∴x
∵
∴x=4
∵关于x的方程与方程是“美好方程”
∴
∴m=9．
（2）解：∵“美好方程”的两个解和为1
∴另一个方程的解是1-n
∵两个解的差是8
∴1-n-n=8或n-（1-n）=8
∴ 或 ．
（3）解：∵
∴x=-2022
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”
∴关于x的一元一次方程的解为：
x=1-（-2022）=2023
∴关于y的一元一次方程可化为

∴y+1=x=2023
∴y=2022．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
30．（2022·江苏泰州·七年级期末）对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点，称这样的操作为点的“m速移”点称为点的“m速移”点．
(1)点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且．
①若点A向右平移n秒的“5速移”点与点B重合，求n；
②若点A向右平移n秒的“2速移”点与点B向右平移n秒的“1速移”点重合，求n；
(2)数轴上点M表示的数为1，点C向右平移3秒的“2速移”点为点，如果C、M、三点中有一点是另外两点连线的中点，求点C表示的数；
(3)数轴上E，F两点间的距高为3，且点E在点F的左侧，点E向右平移2秒的“x速移”点为点，点F向右平移2秒的“y速移”点为点，如果，请直接用等式表示x，y的数量关系．
【答案】(1)①4；②20
(2)−11，−2或7
(3)y−x＝3

【分析】（1）①根据非负数的性质求出a，b的值，根据新定义列出方程，解方程即可得出答案；
②求出A′，B′表示的数，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）根据C、M、C'三点中有一点是另外两点连线的中点，分三种情况分别计算即可；
（3）设点E表示的数为e，点F表示的数为f，根据E'F'＝3EF列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵|a＋5|≥0， ≥0，，
∴a＋5＝0，b−15＝0，
∴a＝−5，b＝15．
①根据题意得：−5＋5n＝15，
∴n＝4；
②点 表示的数为−5＋2n，点 表示的数为15＋n，
根据题意得−5＋2n＝15＋n，
∴n＝20；
（2）解：设点C表示的数为c，则点 表示的数为c＋6，
若点 是CM的中点，则c＋1＝2（c＋6），解得c＝−11；
若点M是 的中点，则c＋c＋6＝2，解得c＝−2；
若点C是 的中点，则1＋c＋6＝2c，解得c＝7；
综上所述，点C表示的数为−11，−2或7；
（3）解：设点E表示的数为e，点F表示的数为f，
则点 表示的数为e＋2x，点 表示的数为f＋2y，f−e＝3，
∵E'F'＝3EF，
∴f＋2y−（e＋2x）＝3×3，
∴y−x＝3．
【点睛】本题考查了数轴，非负性的性质，一元一次方程的应用，新定义，体现了分类讨论的数学思想，根据题意列出方程是解题的关键．
31．（2022·江苏泰州·七年级期末）
(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．
②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．
【答案】(1)①；②
(2)或

【分析】（1）①点和点第一次相遇，比多运动10个单位，可得，即可解得答案；
②点和点第二次相遇，比多运动30个单位，列方程即可解得答案；
（2）由已知可得，分三种情况分别列方程：①当在上，即时，，②当在上，即时，，③当在上，即时，，即可解得答案．
（1）
①根据题意得：，
解得，
答：当为5时，点和点第一次相遇，
②根据题意得：，
解得，
答：当为15时，点和点第二次相遇；
（2）
由已知可得，
①当在上，即时，如图：

根据题意得：，
解得，
②当在上，即时，如图：

根据题意得：，
解得，
③当在上，即时，如图：

根据题意得：，
解得（不符合题意，舍去），
综上所述，当的面积等于9时，的值为秒或秒．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
32．（2020·江苏盐城·七年级期末）定义：点C在线段AB上，若BC＝AC，则称点C是线段AB的一个圆周率点．
如图，已知点C是线段AB的一个靠近点A的圆周率点，AC＝3．
（1）AB＝ ；（结果用含的代数式表示）
（2）若点D是线段AB的另一个圆周率点（不同于点C），则CD= ；
（3）若点E在线段AB的延长线上，且点B是线段CE的一个圆周率点．求出BE的长．

【答案】（1）；（2）；（3）3或.
【分析】（1）根据AB=AC+BC计算即可；
（2）根据点D是线段AB的另一个圆周率点得到AD= ，由此求出BD=3，再用AB-AC-BD求出CD；
【详解】(1)AB=AC+BC=3+3;
(2) ∵点D是线段AB的另一个圆周率点（不同于点C），且AB=AD+BD，
∴AD=
∴,
∴,
∴BD=3
∴CD=AB-AC-BD=3+3-3-3=3-3;
（3）
∵点B是线段CE的一个圆周率点，
∴或,
当时，BE= ,
当时，BE=.
∴BE的长是3或.
【点睛】此题考查代数式的计算，正确理解线段的圆周率点列式计算，注意当点B是线段CE的一个圆周率点时应分为两种情况讨论，不要忽略掉某一种.
33．（2020·江苏镇江·七年级期末）如图，P是线段AB上任一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．

（1）若AP=8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD；
（2）如果t=2s时，CD=1cm，试探索AP的值．
【答案】（1）①，②理由见解析；（2）AP=9 cm或11 cm．
【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=CP+PB-DB即可求出答案．
②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC=2CD；
（2）当t=2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
【详解】解：（1）①由题意可知：CP=2×1=2cm，DB=3×1=3cm
∵AP=8cm，AB=12cm
∴PB=AB-AP=4cm
∴CD=CP+PB-DB=2+4-3=3cm                                
②由题意可知：CP=2t,BD=3t                              
∴AC=8-2t，DP=4-3t，
∴CD=DP+CP=2t+4-3t=4-t，                               
∴AC=2CD                                               
（2）当t=2时，CP=2×2=4cm，DB=3×2=6cm
当点D在C的右边时
∵CD=1cm
∴CB=CD+DB=7cm
∴AC=AB-CB=5cm
∴AP=AC+CP=9cm                                         
当点D在C的左边时
∴AD=AB-DB=6cm
∴AP=AD+CD+CP=11cm
综上所述，AP=9 cm或11 cm
【点睛】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型．
34．（2022·江苏盐城·七年级期末）阅读探究：，，，…
(1)根据上述规律，小亮发现，求出___________．
(2)小聪继续又发现：

，求出___________．
(3)若，请运用小聪的方法求和的值
【答案】(1)6
(2)7
(3)，

【分析】（1）根据阅读材料，发现规律即可求解；
（2）根据阅读材料，发现规律即可；
（3）把A变形为，根据阅读材料所得规律即可计算．
（1）
解：∵，，，
∴，
∴
故答案为：6
（2）
解：∵，
，
∴，
∴.
故答案为：7
（3）
解：∵，
∴


∵，
∴，.
【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料．
35．（2020·江苏苏州·七年级期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上标出﹣a，﹣b的位置，并比较a，b，﹣a，﹣b的大小：
（2）化简|a+b|+|a﹣b|．

【答案】（1）图见解析，b＜﹣a＜a＜﹣b；（2）﹣2b.
【详解】试题分析：（1）首先根据-a与a，-b与b互为相反数，-a与a，-b与b表示的点关于原点对称，在数轴上标出-a，-b的位置；然后根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，比较a，b，-a，-b的大小即可．
（2）根据有理数a，b在数轴上的位置，可得a＞0＞b，而且|a|＜|b|，所以a+b＜0，a-b＞0，据此化简|a+b|+|a-b|即可．
试题解析：（1）如图所示：
，
b＜﹣a＜a＜﹣b．
（2）∵a＞0＞b，而且|a|＜|b|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴|a+b|+|a﹣b|
=﹣（a+b）+（a﹣b）
=﹣a﹣b+a﹣b
=﹣2b
36．（2020·江苏·南通市启秀中学七年级期末）数轴上点表示数，点表示数，点表示数，若规定，
（1）当，，时，则______，______．
（2）当，，，时，则______．
（3）当，，且，求的值．
（4）若点、、为数轴上任意三点，，化简：
【答案】（1）3；7；（2）2或-1；（3）或或或；（4）或或或或或或或
【分析】（1）根据a,b,c的值计算出，然后代入即可计算出m,n的值；
（2）分 ，， 三种情况讨论，通过计算发现c只能处于这个范围内才符合题意，然后通过m的值建立一个关于c的方程，利用绝对值的意义即可求出c的值；
（3）同样分 ，， 三种情况讨论，分别进行讨论即可得出答案；
（4）分 六种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】（1）∵，，
∴


（2）∵，，
若，则
若，则
若时，此时
∴ 或
∴ 或
（3）若，则，
∵
∴
∴
若，则，
∵
∴
∴
若时，此时
∵
∴
∴ 或
∴ 或
综上所述，c的值为或或或
（4）①若
则


∴


∴原式=
②若
则


当时，
∴


∴原式=
当时，
∴


∴原式=
③若
则


∴


∴原式=
④若
则


当时，
∴


∴原式=
当时，
∴


∴原式=
⑤
若
则


∴


∴原式=
⑥若
则


∴


∴原式=
【点睛】本题主要考查绝对值与合并同类项，掌握绝对值的性质是解题的关键．
37．（2022·江苏常州·七年级期末）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，-1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出，，的值；
（2）计算的值；
（3）计算的值．
【答案】（1），，；（2）－1；（3）－1
【分析】本题是阅读理解题，（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案；（2）利用第（1）的结果进行计算即可得到答案；（3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，得：，，；
（2）；
（3）由（1）知，该数列循环周期为3，
所以，
则

．
【点睛】首先，理解好阅读文段中给出的定义很关键，然后，根据具体情境抽象出规律是解决这一类题的核心钥匙．
38．（2020·江苏·扬州市梅岭中学七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．

（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；
②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b-1；（4）①b﹣a；②b﹣c．
【分析】（1）比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到右的顺序，即从小到大的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；
（2）先求出b﹣a的范围，再比较大小即可求解；
（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；
（4）根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．
【详解】解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；
（2）由题意得：b﹣a＞0；
（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|
＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1
＝b﹣c﹣a+c+a﹣1
＝b-1；
（4）由图形可知：①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；
②当x＝a时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．
故答案为：①b﹣a；②b﹣c．
【点睛】考查了数轴，通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
39．（2020·江苏南京·七年级期末）已知：，OB、OM、ON，是 内的射线．

（1）如图 1，若 OM 平分 ， ON平分．当射线OB 绕点O 在 内旋转时，=  度．
（2）OC也是内的射线，如图2，若 ，OM平分，ON平分，当射线OB绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，若，求t的值．
【答案】（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值．
【详解】解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=×180-20
=70°；
（3）∵∠AOM=（2t+20°），∠DON=（160°-2t），
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（20°+2t）=2（160°-2t）
解得，t=26．
答：t为26秒．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．
40．（2019·江苏·泗阳县实验初级中学七年级期末）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．

（1）如图1，若，则__________度；
（2）若，
①如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数；
②若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．
【答案】（1）60；（2）①∠EOF=α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．
【分析】（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC的度数，求和即可得出答案；
（2）①根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；
②分两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．
故答案为：60；
（2）①∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；
②分以下两种情况：
当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，如图3①，

∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．
当射线OE，OF都在∠AOB外部时，如图3②，

∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．
综上所述，当射线OE，OF只有1条在∠AOB外面时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．
【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
41．（2021·江苏南通·七年级期末）定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为，，．
（1）若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线．
①如图1，，，则______；
②当，时，请在图2中作出射线，，，并直接写出的值；
③根据①②的经验，得______（用含，的代数式表示）．
（2）如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值．



【答案】（1）①40；②画图见解析，95；③；（2）或12或30
【分析】（1）①根据“共生三线”的定义直接计算；
②分别画出OA，OB，再根据OC为∠AOB的平分线画出OC；
③根据①②的经验直接可得结论；
（2）分OB′为∠A′OC′的平分线，OA′为∠B′OC′的平分线，OC′为∠A′OB′的平分线三种情况，列出方程求解．
【详解】解：（1）①∵OA，OB，OC为“共生三线”，OC平分∠AOB，
∴∠AOB=b°-a°=80°，
∴m°=∠AOB=×80°=40°，
故m=40；
②如图，∵，，
∴m=（a+b）÷2=95；

③根据①②的经验可得：
m=；
（2）∵a=0，b=m=60，
∴t秒后，a=12t，b=60+6t，m=60+8t，
当OB′为∠A′OC′的平分线时，b=，
即60+6t=（12t+60+8t），
解得：t=；
当OA′为∠B′OC′的平分线时，a=，
即12t=（60+6t+60+8t），
解得：t=12；
当OC′为∠A′OB′的平分线时，m=，
即60+8t=（12t+60+6t），
解得：t=30；
综上：t的值为或12或30．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义的运用，一元一次方程，解题的关键是能够根据“共生三线”的定义分类讨论，列出方程．
42．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图 1，射线OC 在ÐAOB 的内部，图中共有 3 个角：ÐAOB 、ÐAOC 和ÐBOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC   是ÐAOB 的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图 2，若ÐMPN = 60° ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10° 的速度逆时针旋转， 当ÐQPN   首次等于180° 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) ．
①当t 为何值时，射线 PM 是ÐQPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6° 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是ÐMPN 的奇妙线时t 的值．

【答案】（1）是；（2）①9或12或18；②或或
【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，ÐQPN=2ÐMPN；ÐMPN=2ÐQPM；ÐQPM =2ÐMPN．列出方程求解即可；
②分3种情况，ÐMPN=2ÐQPN；ÐMPQ=2ÐQPN；ÐQPN =2ÐMPQ．列出方程求解即可．
【详解】（1）设∠α被角平分线分成的两个角为∠1和∠2，
则有∠α=2∠1，
∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案是：是；
（2）①由题意可知射线 PM 在ÐQPN的内部，
∴ÐQPN=（10t）°，ÐQPM=（10t-60）°，
（a）当ÐQPN=2ÐMPN时，
10t=2×60，
解得t=12；
（b）当ÐMPN=2ÐQPM时，
60=2×（10t-60），
解得t=9；
（c）当ÐQPM =2ÐMPN时，
（10t-60）=2×60，
解得t=18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；
②由题意可知射线 PQ 在ÐMPN的内部，
∴ÐQPN=（10t）°，ÐMPN=（60+6t）°，ÐQPM=ÐMPN-ÐQPN=（60-4t）°，
（a）当ÐMPN=2ÐQPN时，
60+6t=2×10t，
解得t=；
（b）当ÐMPQ=2ÐQPN时，
60-4t=2×10t，
解得t=；
（c）当ÐQPN =2ÐMPQ时，
10t=2×（60-4t），
解得t=．
故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．
【点睛】本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
43．（2021·江苏淮安·七年级期末）【问题情境】
苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】
小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝　 　°；
【变式拓展】
小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．

【答案】（1）45°；（2）；（3）
【分析】（1）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；
（2）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；
（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，
【详解】解：（1）设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE
＝∠AOB﹣∠AOC
＝（a°+90°）﹣a°
＝
＝45°；
（2）设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC
＝（a°+m°）﹣a°＝，
故答案为：；
（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，
设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE
＝∠AOB﹣∠AOC
＝（a°+m°）﹣a°
＝；

②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，
∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝m°，
∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD
＝∠AOC+∠AOB
＝∠BOC
＝；

③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，
由②得，∠BOC＝m°，
∠DOE＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；

综上所述，∠DOE＝．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是引入参数a，即设∠AOC=a°，然后在计算中消掉a．
44．（2022·江苏南京·七年级期末）已知与互为补角，平分．

(1)如图①，若，则______°，______°．
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)答案见解析

【分析】（1）根据补角的定义可求度数，在利用角平分线的定义可求解度数，进而求解的度数；
（2）分两种情况：当在的外部时，当在的内部时，利用补角的定义结合角平分线的定义可求解；
（3）可分两种情况：当和互为邻补角时，即和在的不同侧时；当和在的同一侧时。而对于当和在的同一侧时可分为：当 时；当时；当时分别计算求解即可．
（1）
解：与互为补角，
，
，
平分，
，
，
故答案为：，；
（2）
解：当在的外部时，

与互为补角，
，
平分，
，
，
当在的内部时，

与互为补角，
，
平分，
，
，
的度数为或；
（3）
当和互为邻补角时，即和在的不同侧时，
，
，
平分，
，
，
即此时；
当和在的同一侧时，
当，如图，此时,，

平分，
,和重合，
；
当时，如图，

,，
平分，
，
，
，
即，此时，
当，如图，，，

平分，
，
，
即，此时，
综上，当和在的不同侧时，
，此时；
当和在的同一侧时，
当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查角的计算，三角形的外角定义，角平分线的性质，分类讨论是解决问题的关键．
45．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”，例如，如图1，，，则，称射线是射线的友好线：同时，由于，称射线是射线的友好线．

(1)如图2，，射线是射线的友好线，则________；
(2)如图3，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒3゜的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
【答案】(1)40
(2)①存在，秒或44秒；②，30，，

【分析】（1）根据“友好线”的含义即可完成；
（2）①分两种情况：OC与OD相遇之前，根据180゜减去OC、OD旋转的角度的和等于40度列出方程即可；OC与OD相遇之后，根据OC、OD旋转的角度的和减去180゜等于40゜列出方程即可；
②分相遇前与相遇后两种情况：相遇前又分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；相遇后也分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；根据“友好线”的含义即可求得t的值．
（1）
∵射线是射线的“友好线”，且
∴
故答案为：；
（2）
射线与重合时，（秒）
①存在
当的度数是时，∠AOC=，
有两种可能：
若在相遇之前，则，即，
；
若在相遇之后，则，即，
；
综上所述，当秒或44秒时，的度数是．
②相遇之前：
（I）如图1，

是的“友好线”时，则，
即，

（II）如图2，

是的“友好线”时，则，
即，

相遇之后：
（III）如图3，

是的“友好线”时，则
即，

（Ⅳ）如图4，

是的“友好线”时，则
即，

所以，综上所述，当，30，，时，、、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了角的运算，解一元一次方程等知识，读懂题目提供的材料，正确分类解决是本题的关键．
46．（2018·江苏·南京市第九初级中学七年级期末）如图 1，正方形 OABC 的边 OA 在数轴上，O 为原点，正方形 OABC 的面积为 16.
（1）数轴上点 A 表示的数为 .
（2）将正方形 OABC 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为O' A' B' C' ，移动后的正方形O' A' B' C ' 与原正方形 OABC 重叠部分的面积记为 S，如图 2 中，长方形O ' ABC ' 的面积为 S.当 S 恰好等于原正方形 OABC 面积的时，数轴上点A' 示的数为 .
（3）设点 A 的移动距离AA' ＝ x，D 为线段AA' 的中点，点 E 在线段OO ' 上，且OE ＝ OO ' ，当OD ＋ OE ＝ 5 时，求x的值并写出此时点 A' 所对应的数.

【答案】（1）4；（2）；（3）x的值为6，此时对应的数是－2；x的值为，此时对应的数是；x的值为，此时对应的数是
【分析】（1）由正方形面积开方得边长OA＝4．
（2）求出长方形面积后再取出长方形的宽O'A，然后两个正方形边长的和减去重叠部分O'A即得OA'的长度．
（3）先按题意画出示意图，把点D、点E的大致位置标上，即能用x表示数轴上所有线段的长，再根据OD＋OE＝5列方程，即求得x．
【详解】解：（1）∵正方形ABCD面积为16
∴边长OA＝4
故答案为：4
（2）∵S长方形O'ABC'＝S正方形OABC＝6，
∴O'A＝
∴OA'＝OA＋OA﹣O'A＝4＋4﹣＝
故答案为：
（3）∵移动距离AA'＝x
∴OO'＝x
∴OE＝OO'＝x
∵D为线段AA'的中点
∴AD＝AA'＝x
∴OD＝OA＋AD＝4＋x
∵OD＋OE＝5
∴4＋x＋x＝5
解得：x＝
∴OA'＝4＋＝
∴点A′对应的数为，
当向左平移时，同法可得x＋4﹣x＝5或x＋x﹣4＝5
解得x＝6或x＝，
∴OA'＝6﹣4＝2或OA′＝﹣4＝
∴点A′对应的数为﹣2或﹣，

综上所述，满足条件的x的值为6此时点A'所对应的数为﹣2或x的值为此时点A'所对应的数为或x的值为，此时A′对应的数为﹣．
【点睛】本题考查了正方形面积，实数与数轴上点的对应关系，中点定义，解一元一次方程．解题关键是把每条线段的长度与实数对应再计算，难度较小．
47．（2020·江苏·宿迁市钟吾初级中学七年级期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ；
（2）当x= 时，点P到点M、点N的距离之和是6；
（3）如果点P以每秒钟1个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒钟4个单位长度和每秒钟2个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几秒钟时点P到点M，点N的距离相等?
【答案】（1）-1；（2）-4或2；（3）2或
【分析】（1）根据题意列出关于x的方程x-（-3）=1-x，，求出方程的解即可得到x的值；
（2）根据题意列出关于x的方程|x-（-3）|+|x-1|=6，，求出方程的解即可得到结果；
（3）设t秒时P到M，到N得距离相等，由题意列出方程，求出方程的解即可得到t的值．
【详解】解：（1）根据题意得：x-（-3）=1-x，
解得：x=-1，
故答案为：-1；
（2）根据题意得：|x-（-3）|+|x-1|=6，
即|x+3|+|x-1|=6，
当x＜-3时，-x-3-x+1=6，
解得：x=-4，
当-3≤x≤1时，
-x-3+x-1=6，无解；
当x＞1时，x+3+x-1=6，
解得：x=2，
综上：x=-4或2；       
（3）设t秒时点P到点M，点N的距离相等，
根据题意得：|-3+4t-t|=|1+2t-t|，
即|3t-3|=|t+1|，∵t≥0，
当t＜-1时，
不存在此种情况；
当-1≤x≤1时，
3t-3=-t-1，解得：t=；
当t＞1时，
3t-3=t+1，解得：t=2；
综上：t=2或．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，以及数轴上两点之间的距离计算方法，行程问题中的基本数量关系是解题关键．
48．（2021·江苏泰州·七年级期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上．

（1）长方形的面积是______．
（2）若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数．
（3）若长方形、分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为，移动时间为．
①整个运动过程中，的最大值是______，持续时间是______．
②当是长方形面积一半时，求的值．
【答案】（1）48；（2）点在数轴上表示的数是；（3）①，1秒；②或8
【分析】（1）根据图象求出长方形的长和宽，即可得到面积；
（2）设点在数轴上表示的数是，根据，列出方程求解；
（3）①当长方形EFGH的边EH和GF在长方形ABCD内部的时候，重叠部分的面积S是最大的，此时重叠的部分是一个正方形，边长就是长方形的宽，即可求出S的最大值，持续的时间是从EH和AD重合开始到FG和BC重合结束，用走过的路程除以两个长方形的相对速度即可；
②用t表示出点E、F、A、B运动后表示的数，分情况讨论，当点在、之间时，或当点在、之间时，列式求出t的值即可．
【详解】解：（1）长方形的长是：，
长方形的宽是：，
长方形的面积是：，
故答案是：48；
（2）设点在数轴上表示的数是，
则，
，
∵，
∴，
解得，
答：点在数轴上表示的数是；
（3）①当长方形EFGH的边EH和GF在长方形ABCD内部的时候，重叠部分的面积S是最大的，此时重叠的部分是一个正方形，边长就是长方形的宽，
∴S的最大值是，
持续的时间是从EH和AD重合开始到FG和BC重合结束，
走过的长度是，两个长方形的相对速度是，
∴持续时间是（秒），
综上，整个运动过程中，的最大值是，持续时间是1秒；
②由题意知移动秒后，
点、、、在数轴上分别表示的数是、、、，
情况一：当点在、之间时，
，
由题意知，
所以，
解得；
情况二：当点在、之间时，
，
由题意知，
所以，
解得，
综上所述，当是长方形面积一半时，或8．
【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是掌握数轴上动点的表示方法和两点之间距离的表示方法，通过列方程进行求解．
49．（2021·江苏淮安·七年级期末）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是4，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的4倍．
（1）a＝　 　，b＝　 　，AB＝　 　；
（2）动点M、N分别从点A、B的位置同时开始在数轴上做没有折返的运动，已知动点M的运动速度是1个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒M、N相距6个单位长度？

【答案】（1）-4，16，20；（2）①5秒，②10秒，③秒或秒或7秒或13秒
【分析】（1）根据数轴上点的位置及两点之间的距离解答即可．
（2）①相遇问题，两者的路程和等于两点间的距离；
②追及问题，两者的路程差等于两点的距离；
③分类讨论，根据相向运动及同时向左运动，然后分相遇前和相遇后，根据数轴上两点间距离，列方程求解即可．
【详解】解：（1）已知AB两点对应的数分别为a，b，
∵A在原点的左侧，且距离为4，
∴a＝-4．
当B在原点的右侧，且到原点的距离是A到原点距离的4倍，
∴b＝|a|×4＝16，
∴AB＝|AO|+|OB|
＝4+16
＝20．
即a＝-4，b＝16，AB＝20．
故答案为：-4，16，20．
（2）①若M，N相向而行，设x秒相遇，
则1×x+3x＝20，解得x＝5．
∴5秒M与N相遇．
答：5秒M与N相遇．
②当M，N都向左运动，
设x秒相遇，
则3×x-x×1=20，解得x＝10．
答：10秒点N追上点M．
③当M，N运动方向不限时，
设y秒M，N相距6个单位长度．
有两种情况：①当M，N相向运动，相遇前相距6个单位长度．
则20﹣y×1﹣y×3＝6，解得y＝，
当M，N相向运动，相遇后相距6个单位长度．
则y×1+y×3=20+6，
解得y=
②当M，N都向左运动，N追上M前相距6个单位长度．
则3y+6-1×y=20，解得y=7．
当M，N都向左运动，N追上M后相距6个单位长度．
则3y-1×y=20+6，解得y=13，
综上所述，当M，N相向运动时秒或秒时，M，N相距6个单位；当M，N均向左运动时，7秒或13秒时M，N相距6个单位．
【点睛】本题一元一次方程的应用和相遇知识点，利用数形结合思想解题是关键．
50．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期末）【探索新知】
如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若，求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．

【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．
（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；
（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．
【答案】（1）AB的值为；（2）；（3）线段MN的长度为；（4）或或或．
【分析】(1)根据线段之间的数量关系代入解答即可；
(2)根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；
(3)由题意可知，点C表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；
(4)根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，PC=πCQ；②点P在点C左侧，πPC=CQ；③点P在点C、点Q之间，且πPC=PQ；④点P在点C、点Q之间，且PC=πPQ．
【详解】解：（1），，
，
；
（2）如图，，

当BD=AC时，BC=AD，
，
即点也是图1中线段的圆周率点，
与的数量关系是相等；
（3）由题意可知，点C表示的数是π+ 1，
若点M、N均为线段OC的圆周率点，
不妨设M点离O点近，且OM= x，
，
则x + πx = π+ 1
解得：x= 1，
，
MN = =π + 1 - 1 - 1 = π – 1；
（4）由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：
2t、π + 1、π + 1 +t，
当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，
有以下四种情况：
①如图①，点P在点C左侧，

PC= πCQ，
，
；
②如图②，点P在点C左侧，

πPC = CQ，
，
；
③如图③，点P在点C、点Q之间，

πPC= PQ，
，
；
④如图④，点P在点C、点Q之间，

PC =πPQ，
，
，
符合题意的有或或或．
【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键．
51．（2022·江苏镇江·七年级期末）某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：
寄往本省内
寄往周边省份
首重
续重
首重
续重
8元/千克
5元/千克
12元/千克
6元/千克
说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费．
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．
首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足克按千克计算）．

例如：寄往省内一件千克的物品，运费总额为：元．
寄往省外一件千克的物品，运费总额为：元．
（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）
(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件千克的物品，各需付运费多少元？
(2)小明寄往省内一件重千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过的小数（即），则用含字母m的代数式表示小明这次寄件的运费为________；
(3)小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？
【答案】(1)18元，24元
(2)（5m+5.5）元
(3)大于4.5kg但不超过5kg

【分析】（1）根据表中给出的运费计算方式分别计算运费即可；
（2）根据表中给出的运费计算方式计算运费即可；
（3）设小明寄件的物品重（m+n）千克，分三种情况列出方程，解之即可．
【小题1】解：寄往省内一件3千克的物品需付运费:
8+5×（3-1）=18 （元），
寄往省外一件2.8千克的物品需付运费:
12+6×（1+0.5+0.5）=24（元）；
【小题2】小明这次寄件的运费为：8+5（m-1+0.5）=5m+5.5；
【小题3】设小明寄件的物品重（m+n）千克，m为正整数，n为大于等于0而小于1的数（即），
①当n=0时，12+6（m-1）=36，
解得：m=5；
②当0 解得：m=4.5（不是正整数，舍去）；
③0.5 解得：m=4，
∴小明这次寄件物品的重量范围为大于4.5kg但不超过5kg．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，理解表中给出的运费计算方式．
52．（2022·江苏盐城·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2．
例如如图，若点C表示的数为3，则（点C，线段AB）=1，（点C，线段AB）=8．

(1)若点D表示的数为-7，则（点D，线段AB）_____________，（点D，线段AB）_____________；
(2)若点M表示的数为m，（点M，线段AB）=3，则m的值为_____________；若点N表示的数为n，（点N，线段AB）=12，则n的值为_____________．
(3)若点E表示的数为x，点F表示的数为，（点F，线段AB）是（点E，线段AB）的3倍．求的值．
【答案】(1)2、9
(2)-8或5，-10或7
(3)-7.5或6.5

【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况讨论，点M在点A的两侧，点N在点B的两侧；
（3）分别讨论点E在A点左侧和B点右侧两种情况，根据EF=2及已知数量关系列出等式求解即可．
（1）
，

（2）
①当M点在顶点A左边时，且，
解得： ，
当M点在点A右边时，且 ，
解得： ，
∴m的值为-8或5，
②当N点在点B左边时，，且 ，
解得： ，
当N点在点B右边时， ，且 ，
解得： ，
∴n的值为-10或7；
（3）
由题意可知，点F在点E的右侧且.
①若点E在线段AB上，则（点E，线段）=0，（点F，线段），不合题意；
②若点E在点A的左侧，即时，

（点E，线段）
∵点F在点E的右侧且，，
∴（点F，线段）
∵（点F，线段）（点E，线段AB），
∴
解得.
③若点E在点B的右侧，即时，

（点E，线段）
（点F，线段）
∵（点F，线段）（点E，线段AB），
∴
解得
综上所述，的值为-7.5或6.5．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，明确“近距”和“远距”的定义，根据定义列出方程是解题的关键．
53．（2019·江苏·泗阳县实验初级中学七年级期末）观察下列各式：，
（1）根据上述规律写出第5个等式是________；
（2）规律应用：计算：；
（3）拓展应用：计算：；
【答案】（1）；（2）-；（3）．
【分析】（1）根据已知的前3个等式中数的变化规律即可写出第4，5个等式；
（2）根据（1）中的规律把式子变形，中间部分相互抵消，只剩下首项和末项，即可算出答案；
（3）根据式子的特点将原式变形为×（），从而可计算得出结果．
【详解】解：（1）根据已知等式可得：
第4个等式为：，
第5个等式为：，
…
第n个等式为：，
故答案为：；
（2）由（1）中的规律“-”把式子进行变形可得：



；
（3）
=×（）
=×（1-）
=．
【点睛】考查了规律型：数字的变化类，此类规律题要分别找到等式左边和右边的规律，寻找不变的量和变化的量，本题中不变的量是分数中的分子1，负号“-”，变化的量是分数中分母，所以要从分母中找到变化的规律，从而找到这个等式的变化规律-．
54．（2020·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.
(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.

【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2.
【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；
（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；
（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.
【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，
∵cm，cm，cm，
∴OC=OA+AB+BC=90cm，
∴2t+3t=90，
t=18，
∴经过18秒两点相遇；
（2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70，
∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，
由，可分两种情况：
①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10，
点P运动的时间为s，
∴点Q的运动速度=cm/s；
②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50，
点P的运动时间是s，
∴点Q的运动速度=cm/s，
综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s；
（3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40，
∵点E是OP的中点，
∴OE=a，
∵点F是AB的中点，AB=30，
∴BF=15，
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，
∴=.
【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法.
55．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）

（1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3
【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，

∴∠AOC＝∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，
∠BON＝90°+24°＝114°；
故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，

∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，
∴（15t﹣90°）＝×12t，
解得t＝10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t+90°+12t＝180°，
解得t＝，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，
解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜时，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴＝，（不是定值）
②如图所示，当＜t＜6时，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴＝=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考察图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
56．（2020·江苏盐城·七年级期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；
（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第 秒时，∠COM与∠CON互补．
【答案】（1）90°，OM平分∠CON；（2）∠AOM=∠CON，详见解析；（3）15或55.
【分析】（1）由旋转得∠BOM=90°，求出∠COM=45°=∠MON即可得到OM平分∠CON.
（2）先求出∠AOC=45°,得到∠CON+∠AON=45°，再由∠MON=45°得到∠AOM+∠AON=45°，即可证得∠AOM=∠CON；
（3）分三种情况讨论：①当OM在∠BOC内部时，②当OM在∠BOC外部，ON在∠BOC内部时，③当ON在∠BOC外部时，分别求出时间t的值.
【详解】(1)由题意得，∠BOM=90°，∠MON=45°，
OM平分∠CON,理由如下：
∵∠BOC=135°，
∴∠COM=∠BOC-∠BOM=45°，
∴∠COM=∠MON
∴OM平分∠CON；
（2）∠AOM=∠CON，理由如下：
∵∠AOC=180°-∠BOC=45°,
∴∠CON+∠AON=45°,
∵∠MON=45°,
∴∠AOM+∠AON=45°,
∴∠AOM=∠CON；
（3）设运动t秒（0），
①当OM在∠BOC内部时，∠COM=，
∴2+45=180，
得t=15；
②当OM在∠BOC外部，ON在∠BOC内部时，
∠COM+∠CON=45°,不合题意，舍去；
③当ON在∠BOC外部时，∠CON=,
∴2=180，
得t=55，
∴当旋转到第15或55秒时，∠COM与∠CON互补
【点睛】此题考查角平分线的定义，角度的计算，（3）是难点，解题时应考虑到当OM、ON在不同位置时表示的方法不同，由此决定情况不唯一，所以应分情况讨论.
57．（2020·江苏苏州·七年级期末）在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体;
Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体;
Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?

【答案】(1)见解析；(2)Ⅰ.2个小正方体；Ⅱ.2个小正方体；Ⅲ.1900平方厘米.
【分析】（1）根据几何体可知主视图为3列，第一列是三个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是2个小正方形；左视图是三列，第一列是3个正方形，第二列是3个正方形，第三列是1个正方形；
（2）I.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体，
故答案为：2
II.可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个，
故答案为：2
III. 若拿走最左侧第2排两个，能喷漆的面有19个，若拿走最左侧第3排两个，能喷漆的面有21个，根据面积公式计算即可.
【详解】(1)画图

(2)Ⅰ. 可在正面第一列的最前面添加2个小正方体；
Ⅱ. 可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个；
2个小正方体;
Ⅲ.若拿走最左侧第2排两个，喷涂面积为平方厘米；
若拿走最左侧第3排两个，喷涂面积为平方厘米；
综上所述，需要喷漆的面积最少是1900平方厘米.
【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确观察几何体得到不同方位的视图是解题的关键，根据三视图对应添加或是减少时注意保证某些视图的正确性，需具有很好的空间想象能力.
58．（2022·江苏宿迁·七年级期末）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题：

(1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 　　个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图；
(2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 　　个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 　　种不同形状．
(3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？
【答案】(1)10，图见解析
(2)7，6
(3)9

【分析】（ 1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论；
（2 ）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可；
（3 ）根据题意判断即可．
（1）
解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：2+2+5+2+2＝10（个），左视图如图所示．
故答案为：10；

（2）
搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要3个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状．
故答案为：7，6；

（3）
∵从俯视图可知下层有5块小正方体，
∴上层有3个小正方体，
当右侧放2个小正方体时，有3种形状，
当右侧放1块小正方体时，有2×3=6种形状，
∴用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有9种不同形状．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
59．（2021·江苏南京·七年级期末）以下是两张不同类型火车的车票（“次”表示动车，“次”表示高铁）：

（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是__________向而行（填“相”或“同”）．
（2）已知该列动车和高铁的平均速度分别为、，两列火车的长度不计．
①经过测算，如果两列火车直达终点（即中途都不停靠任何站点），高铁比动车将早到，求、两地之间的距离．
②在①中测算的数据基础上，已知、两地途中依次设有个站点、、、、，且，动车每个站点都停靠，高铁只停靠、两个站点，两列火车在每个停靠站点都停留．求该列高铁追上动车的时刻．

【答案】（1）同；（2）①1200km，②8点55分.
【详解】试题分析：（1）由车票可以得出动车和高铁都是由A地开往B地，所以动车和高铁是同向而行；（2）高铁比动车晚出发1个小时，所以动车比高铁全程多花了2个小时，设A、B两地距离为xkm，则可列方程－=2，解出x即可；（3）每个相邻站点距离为：1200÷6=200km，
高铁到每站所花时间为：200÷300=h=40min，动车到每站所花时间为：200÷200=1h=60min，
画出动车和高铁到每一站的时间图，由此可以得出高铁在P2、P3之间追上并超过动车，设高铁经过y小时后追上动车，则（y－）×300=（y+1－×2）×200，解得y=.
所以高铁在经过h后可以追上动车，追上的时刻为8点55分.
试题解析：
（1）同；
（2）①设A、B两地距离为xkm，则
－=2，解得x=1200，
所以A、B两地之间的距离为1200km；
②每个相邻站点距离为：1200÷6=200km，
高铁到每站所花时间为：200÷300=h=40min，动车到每站所花时间为：200÷200=1h=60min，
所以动车和高铁到每一站的时间如图所示：

由此可以得出高铁在P2、P3之间追上并超过动车，
设高铁经过y小时后追上动车，
则（y－）×300=（y+1－×2）×200，解得y=.
所以高铁在经过h后可以追上动车，追上的时刻为8点55分.
点睛：本题关键在于求高铁何时追上动车时，根据两车车速和站点之间的距离计算出高铁和动车分别到达每一站的时间，判断出在哪两站之间高铁追上动车，然后列方程求解.
60．（2020·江苏扬州·七年级期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，点A表示的数a，点B表示的数是b，且.

（1）a= ，b= ；
（2）在数轴上是否存在一点P，使，若有，请求出点P表示的数，若没有，请说明理由？
（3）点M从点A出发，沿的路径运动，在路径的速度是每秒2个单位，在路径上的速度是每秒4个单位，同时点N从点B出发以每秒3个单位长向终点A运动，当点M第一次回到点A时整个运动停止.几秒后MN=1？
【答案】（1）a=-8，b=4；（2）-1或6；（3）秒，秒或秒.
【分析】（1）根据，利用绝对值及偶次方的非负性即可求出；
（2）若要满足，则点P在线段AB中点右侧，分三种情况讨论；
（3）当MN=1时，根据运动情况，可分三种情形讨论，列出方程解答.
【详解】（1）解：（1）∵，
∴ab=-32，b-4=0，
∴a=-8，b=4.
（2）根据题意，若要满足，则点P在线段AB中点右侧，线段AB的中点表示的数为-2，设点P表示的数为x，分三种情况讨论：
①当-2≤x<0时，则x+8-（4-x）=2（-x），
解得：x=-1；
②当0≤x<4时，则x+8-（4-x）=2x，
方程无解
③当x≥4时，则x+8-（x-4）=2x，
解得：x=6.
综上：存在点P，表示的数为-1或6.
（3）设运动时间为t，根据运动情况，可知MN=1的情况有三种：
①M在A→O上，且M在N左侧，
则2t+3t+1=12，
解得t=.
②M在A→O上，且M在N右侧，
则2t+3t-1=12，
解得t=.
③M在O→A上，且N到达点A，
此时，M在A→O上所用时间为8÷2=4（s），
M在O→A上速度为4个单位每秒，
∵MN=1，
∴（8-1）÷4=，
∴此时时间t=4+=，
综上：当MN=1时，时间为秒，秒或秒.
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用、数轴、偶次方，解题的关键是：（1）利用偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）分清多种情况找准等量关系，正确列出一元一次方程.