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2022-2023学年九年级数学上学期期末专题11 填空压轴题分类练（七大考点）
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这是一份2022-2023学年九年级数学上学期期末专题11 填空压轴题分类练（七大考点），共26页。
专题11填空压轴题分类练（七大考点）
实战训练
一．规律类
1．如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，做正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，做正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依次规律，则A2021B2021＝ ．
2．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2018的纵坐标为 ．
二．最值类
3．如图，已知点A（6，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB、AC相交于点D．当OD＝AD＝5时，这两个二次函数的最大值之和等于 ．
4．如图，A、B是二次函数y=19x2+bx图象上的两点，直线AB平行于x轴，点A的坐标为（﹣3，4）．在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C，连接BC，则BC的最小值为 ．
5．如图，已知半圆O的直径为2，AP与半圆O相切于点A，长度为1的线段CD在半圆上滑动，E是射线AP上一动点，则BC+DE的最小值 ．
6．如图，在边长为23的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
7．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 ．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 ．
10．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
三．函数知识的灵活运用。
11．抛物线y＝a（x﹣2）（x−2a）（a是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a等于 ．
12．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（1≤a＜43），当3≤x≤4时，对应的y的整数值有 个．
四．函数图像与系数的关系。
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③3b+2c＞0；
④am2+bm≤a﹣b（m为实数）．
其中正确结论是 （只填序号）．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ．
五．相似与三角函数的融合。
15．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F．若点F是CD的中点，则tan∠BAP＝ ．
16．如图，在矩形ABCD中，线段DF平分∠ADC交BC边于点F，点E为BC边上一动点，连接AE，若在点E移动的过程中，点B关于AE所在直线的对称点有且只有一次落在线段DF上，则BC：AB＝ ．
六．动点（线）轨迹
17．如图，抛物线y=13x2−23x−83的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点．当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是 ．
18．已知AB＝23，C是平面内一个动点，60°≤∠ACB≤120°，则满足条件的点所在区域的面积是 ．
七．翻折变换（折叠问题）
19．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为 ．
一．规律类
1．如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，做正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，做正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依次规律，则A2021B2021＝ （3）2021 ．
试题分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到A1B1=3AB1=3，AA1＝2AB1＝2，再利用四边形A1B1C1B2为正方形得到A1B2＝A1B1=3，接着计算出A2B2＝（3）2，然后根据3的指数变化规律得到A2018A2019的长度．
答案详解：解：∵四边形ABCB1为正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A1B1=3AB1=3，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1=3，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝30°，
∴A2B2=3A1B2=3×3=（3）2，
……
∴A2021B2021＝（3）2021，
所以答案是：（3）2021．
2．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2018的纵坐标为 （3）2017 ．
试题分析：先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题．
答案详解：解：∵∠A1A2O＝30°，点A1的坐标为（1，0），
∴点A2的坐标为（0，3）．
∵A2A3⊥A1A2，
∴点A3的坐标为（﹣3，0）．
同理可得：A4（0，﹣33），A5（9，0），A6（0，93），…，
即A1（1，0），A2[0，（3）1]，A3[﹣（3）2，0]．A4[0，﹣（3）3]，A5[（3）4，0]…，
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，
∵2018÷4＝504…2，
∴A2018在y轴的正半轴上，纵坐标为（3）2017．
所以答案是（3）2017．
二．最值类
3．如图，已知点A（6，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB、AC相交于点D．当OD＝AD＝5时，这两个二次函数的最大值之和等于 4 ．
试题分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝5，DE＝4．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出BFDE=OFOE=CMDE=AMAE，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
答案详解：解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝5，DE⊥OA，
∴OE＝EA=12OA＝3，
由勾股定理得：DE＝4．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴BFDE=OFOE，CMDE=AMAE，
∵AM＝PM=12（OA﹣OP）=12（6﹣2x）＝3﹣x，
即BF4=x3，CM4=3−x3，
解得：BF=43x，CM＝4−43x，
∴BF+CM＝4．
所以答案是4．
4．如图，A、B是二次函数y=19x2+bx图象上的两点，直线AB平行于x轴，点A的坐标为（﹣3，4）．在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C，连接BC，则BC的最小值为 410−5 ．
试题分析：利用待定系数法求出点B的坐标，求出OA，OB，根据BC≥OB﹣OC，可得结论．
答案详解：解：如图，连接OB．
∵A（﹣3，4）在y=19x2+bx上，4＝1﹣3b，
∴b＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y=19x2﹣x，
当y＝4时，19x2﹣x＝4，解得x＝12或﹣3，
∴B（12，4），
∵点A关于直线OP的对称点C，
∴OC＝OA=32+42=5，
∵OB=122+42=410，
∴BC≥OB﹣OC，
∴BC≥410−5，
∴BC的最小值为410−5．
所以答案是：410−5．
5．如图，已知半圆O的直径为2，AP与半圆O相切于点A，长度为1的线段CD在半圆上滑动，E是射线AP上一动点，则BC+DE的最小值 32 ．
试题分析：连接OD，OC，作线段OB的垂直平分线交OB于H，交⊙O于G，连接OG，GB，过点G作GT⊥AP于T．利用全等三角形的性质证明DG＝BC，推出DE+BC＝DE+DG≥GT，求出GH的长可得结论．
答案详解：解：连接OD，OC，作线段OB的垂直平分线交OB于H，交⊙O于G，连接OG，GB，过点G作GT⊥AP于T．
∵GH垂直平分线段OB，
∴GO＝GB，
∵OG＝OB，
∴OG＝OB＝GB，
∴△GOB是等边三角形，
∴CD＝OD＝OC＝1，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠GOB，
∴∠DOG＝∠COB，
∵OD＝OC，OG＝OB，
∴△DOG≌△COB（SAS），
∴BC＝DG，
∴DE+BC＝DE+DG≥GT，
∵∠TAH＝∠GTA＝∠AHG＝90°，
∴四边形AHGT是矩形，
∴GT＝AH＝OA+OH＝1+12=32，
∴DE+BC≥32，
∴DE+BC的最小值为32．
所以答案是：32．
6．如图，在边长为23的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 2 ．
试题分析：首先由已知条件证明△ABD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠APE＝60°，通过构造圆，找到线段CP的最小值时，点P的所在的位置，进而求解．
答案详解：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵AE＝CD
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠APE＝60°，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上运动，如图，
连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，
根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF=12AB=3，
∴OA=12ABsin30°=2，
∴OC＝2OA＝4，
当点P与N重合时，CP的值最小，
最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，
所以答案是：2．
7．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 4145 ．
试题分析：先判断出OP⊥AE时，∠MPN最大，判断出△ABE≌△GCE，求出CG＝4，再用勾股定理求出AE＝5，再判断出△ABE∽△GPO，求出OP，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
答案详解：解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，
连接OP，OM，
∵PM，PN是⊙O的切线，
∴∠OPM=12∠MPN，
要∠MPN最大，则∠OPM最大，
∵PM是⊙O的切线，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△PMO中，OM＝OD=12CD＝2，
∴sin∠OPM=OMOP=2OP，
∴要∠OPM最大，则OP最短，
即OP⊥AE，
如图2，延长DC交直线AE于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠ECG，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，
∵点E是BC的中点，
∴BE=12BC＝3，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AB＝4，
∵CD是⊙O的直径，
∴OC=12CD＝2，
∴OG＝OC+CE＝6，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∵∠OPG＝90°＝∠B，∠G＝∠BAE，
∴△ABE∽△GPO，
∴OPBE=OGAE，
∴OP3=65，
∴OP=185，
在Rt△PMO中，PM=OP2−OM2=(185)2−22=4145，
所以答案是：4145．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 2 ．
试题分析：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，计算点C（2，3），确定当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2．
答案详解：解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，
∴△ABQ≌△ACP，
∴AB＝AC，BQ＝PC，∠PAQ＝∠BAC，
∵△ABC是等边三角形
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴C（2，3），即点C是定点，
∴当PC最小时，BQ最小，
∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2，
∴线段QB长度的最小值为2．
所以答案是：2．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 5 ．
试题分析：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ＝PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝TH=12AT＝5．
答案详解：解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵AT＝TB，
∴BC＝BT，
∵BP＝BQ，∠CBT＝∠PBQ，
∴∠TBP＝∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ＝PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝TH=12AT＝5，
∴CQ的最小值为5．
所以答案是：5．
10．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 18 ．
试题分析：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
答案详解：解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
所以答案是：18．
三．函数知识的灵活运用。
11．抛物线y＝a（x﹣2）（x−2a）（a是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a等于 ﹣1 ．
试题分析：把解析式化成一般式，利用顶点公式得到顶点的纵坐标为：4a⋅4−[−2(a+1)]24a=−(a−1)2a，即可求得a＝﹣1．
答案详解：解：∵y＝a（x﹣2）（x−2a）＝（x﹣2）（ax﹣2）＝ax2﹣2（a+1）x+4，
∴顶点的纵坐标为：4a⋅4−[−2(a+1)]24a=−(a−1)2a，
∴a＝﹣1，
所以答案是﹣1．
12．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（1≤a＜43），当3≤x≤4时，对应的y的整数值有 4 个．
试题分析：由二次函数的性质根据题意得到﹣3a﹣5≤y＜﹣5，因为1≤a＜43，即可得到y的值为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5共4个．
答案详解：解：∵y＝ax2﹣4ax﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∵1≤a＜43，
∴开口向上，
∵2＜3≤x≤4，
∴对应的y：﹣3a﹣5≤y≤﹣5，
∵1≤a＜43，
∴y的值为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，
所以答案是4．
四．函数图像与系数的关系。
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③3b+2c＞0；
④am2+bm≤a﹣b（m为实数）．
其中正确结论是 ①②④ （只填序号）．
试题分析：①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，−b2a＜0，b＜0，所以abc＞0；
②对称轴−b2a=−1，得2a＝b，即2a﹣b＝0；
③对称轴−b2a=−1，得2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＞0判断；
⑤根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，得出对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，判断结论．
答案详解：解：∵开口向下，∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x=−b2a=−1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a=12b，
∴12b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故③错误；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故④正确．
所以答案是：①②④．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ﹣1＜x＜2 ．
试题分析：将ax2﹣kx+c＜b化为ax2+c＜kx+b，根据图象求解．
答案详解：解：由图象可得在A，B之间的图象抛物线在直线下方，点A横坐标为﹣1，点B横坐标为2，
∴﹣1＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，即ax2﹣kx+c＜b，
所以答案是：﹣1＜x＜2．
五．相似与三角函数的融合。
15．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F．若点F是CD的中点，则tan∠BAP＝ 13 ．
试题分析：如图，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．设AB＝AD＝a，DE＝b．在Rt△EPT中，根据EP2＝ET2+PT2，可得b=23a，TC推出BP=13a，可得结论．
答案详解：解：如图，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．设AB＝AD＝a，DE＝b．
∵DE∥CP，
∴∠DEF＝∠CPF，
∵DF＝CF，∠DFE＝∠CFP，
∴△DFE≌△FCP（AAS），
∴DE＝PC＝b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDE＝∠DCT＝90°，
∵∠T＝90°，
∴四边形DCTE是矩形，
∴ET＝CD＝a，CT＝DE＝b，
∵EG垂直平分线段AP，
∴EA＝EP＝a+b，
在Rt△EPT中，EP2＝ET2+PT2，
∴（a+b）2＝a2+（2b）2，
∴b=23a，
∴PC＝DE=23a，
∴PB＝BC﹣PC=13a，
在Rt△ABP中，tan∠BAP=BPAB=13，
所以答案是：13．
16．如图，在矩形ABCD中，线段DF平分∠ADC交BC边于点F，点E为BC边上一动点，连接AE，若在点E移动的过程中，点B关于AE所在直线的对称点有且只有一次落在线段DF上，则BC：AB＝ 2：1 ．
试题分析：先找到点BB关于AE所在直线的对称点H，由直角三角形的性质可求解．
答案详解：解：如图，以点A为圆心，AB为半径的圆与DF相切于点H，则点H为点B关于AE所在直线的对称点，
∴AB＝AH，AH⊥DF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF＝45°，
∴∠ADF＝∠DAH＝45°，
∴AH＝DH，
∴AD=2AH=2AB，
∴BC：AB=2：1，
所以答案是：2：1．
六．动点（线）轨迹
17．如图，抛物线y=13x2−23x−83的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点．当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是 32π ．
试题分析：由二次函数关系式得出A，B，E的坐标，得出E在⊙M上，从而得出MN⊥PE，得到N的运动路径即可．
答案详解：解：连接ME、MP，
∵y=13x2−23x−83，
∴A（﹣2，0），B（4，0），E（1，﹣3），
∴MA＝MB＝ME＝3，
∴E在⊙M上，
∵N为PE的中点，ME＝MP，
∴MN⊥PE，
∴N在以ME为直径的半圆上运动，
∴点N的运动路径为：12×2π×32=32π．
所以答案是：32π．
18．已知AB＝23，C是平面内一个动点，60°≤∠ACB≤120°，则满足条件的点所在区域的面积是 8π3+43 ．
试题分析：作线段AB的中垂线MN，在NM上截取NC＝1，以点C为圆心，CA长度为半径作圆C，先得出AN＝BN=3，AC＝2，继而得出∠ACB＝120°，根据圆周角定理得出∠AC′B=12∠ACB＝60°，从而得出点C在扇形AC′B内，满足60°≤∠ACB≤120°，再根据扇形的面积公式求解得出此时的面积，再根据S弓形AC＝S扇形APC﹣S△APC求出弓形的面积，继而得出在AB上方满足条件的点所在区域的面积，求出同理得出点C在AB下方时的面积，从而得出答案．
答案详解：解：如图，作线段AB的中垂线MN，在NM上截取NC＝1，以点C为圆心，CA长度为半径作圆C，
∴AN＝BN=12AB=3，
∴AC=CN2+AN2=12+(3)2=2，
则∠CAN＝∠CBN＝30°，
∴∠ACB＝120°，
在⊙C中，∠AC′B=12∠ACB＝60°，
∴点C在扇形AC′B内，满足60°≤∠ACB≤120°，
S扇形AC′B=240⋅π⋅22360=8π3，
设点A、C、B所在圆P的半径AP＝CP＝x，
则PN＝x﹣1，
由AP2＝AN2+PN2可得x2＝（x﹣1）2+（3）2，
解得x＝2，
∴△APC是等边三角形，
则S弓形AC＝S扇形APC﹣S△APC
=60⋅π⋅22360−34×22
=2π3−3，
∴在AB上方满足条件的点所在区域的面积为8π3−2（2π3−3）=4π3+23，
同理，当点C在线段AB下方时，满足60°≤∠ACB≤120°的点所在区域的面积也为4π3+23；
所以满足条件的点所在区域的面积是8π3+43，
所以答案是：8π3+43．
七．翻折变换（折叠问题）
19．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为 3 ．
试题分析：由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB=3PB，即可求解．
答案详解：解：由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
又∵∠AQP＝90°，
∴QR=12AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，AB=3PB，
∴PB＝QR，
∴ABQR=3，
所以答案是：3．
专题11填空压轴题分类练（七大考点）
实战训练
一．规律类
1．如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，做正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，做正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依次规律，则A2021B2021＝ ．
2．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2018的纵坐标为 ．
二．最值类
3．如图，已知点A（6，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB、AC相交于点D．当OD＝AD＝5时，这两个二次函数的最大值之和等于 ．
4．如图，A、B是二次函数y=19x2+bx图象上的两点，直线AB平行于x轴，点A的坐标为（﹣3，4）．在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C，连接BC，则BC的最小值为 ．
5．如图，已知半圆O的直径为2，AP与半圆O相切于点A，长度为1的线段CD在半圆上滑动，E是射线AP上一动点，则BC+DE的最小值 ．
6．如图，在边长为23的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
7．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 ．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 ．
10．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
三．函数知识的灵活运用。
11．抛物线y＝a（x﹣2）（x−2a）（a是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a等于 ．
12．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（1≤a＜43），当3≤x≤4时，对应的y的整数值有 个．
四．函数图像与系数的关系。
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③3b+2c＞0；
④am2+bm≤a﹣b（m为实数）．
其中正确结论是 （只填序号）．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ．
五．相似与三角函数的融合。
15．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F．若点F是CD的中点，则tan∠BAP＝ ．
16．如图，在矩形ABCD中，线段DF平分∠ADC交BC边于点F，点E为BC边上一动点，连接AE，若在点E移动的过程中，点B关于AE所在直线的对称点有且只有一次落在线段DF上，则BC：AB＝ ．
六．动点（线）轨迹
17．如图，抛物线y=13x2−23x−83的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点．当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是 ．
18．已知AB＝23，C是平面内一个动点，60°≤∠ACB≤120°，则满足条件的点所在区域的面积是 ．
七．翻折变换（折叠问题）
19．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为 ．
一．规律类
1．如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，做正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，做正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依次规律，则A2021B2021＝ （3）2021 ．
试题分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到A1B1=3AB1=3，AA1＝2AB1＝2，再利用四边形A1B1C1B2为正方形得到A1B2＝A1B1=3，接着计算出A2B2＝（3）2，然后根据3的指数变化规律得到A2018A2019的长度．
答案详解：解：∵四边形ABCB1为正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A1B1=3AB1=3，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1=3，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝30°，
∴A2B2=3A1B2=3×3=（3）2，
……
∴A2021B2021＝（3）2021，
所以答案是：（3）2021．
2．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2018的纵坐标为 （3）2017 ．
试题分析：先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题．
答案详解：解：∵∠A1A2O＝30°，点A1的坐标为（1，0），
∴点A2的坐标为（0，3）．
∵A2A3⊥A1A2，
∴点A3的坐标为（﹣3，0）．
同理可得：A4（0，﹣33），A5（9，0），A6（0，93），…，
即A1（1，0），A2[0，（3）1]，A3[﹣（3）2，0]．A4[0，﹣（3）3]，A5[（3）4，0]…，
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，
∵2018÷4＝504…2，
∴A2018在y轴的正半轴上，纵坐标为（3）2017．
所以答案是（3）2017．
二．最值类
3．如图，已知点A（6，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB、AC相交于点D．当OD＝AD＝5时，这两个二次函数的最大值之和等于 4 ．
试题分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝5，DE＝4．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出BFDE=OFOE=CMDE=AMAE，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
答案详解：解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝5，DE⊥OA，
∴OE＝EA=12OA＝3，
由勾股定理得：DE＝4．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴BFDE=OFOE，CMDE=AMAE，
∵AM＝PM=12（OA﹣OP）=12（6﹣2x）＝3﹣x，
即BF4=x3，CM4=3−x3，
解得：BF=43x，CM＝4−43x，
∴BF+CM＝4．
所以答案是4．
4．如图，A、B是二次函数y=19x2+bx图象上的两点，直线AB平行于x轴，点A的坐标为（﹣3，4）．在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C，连接BC，则BC的最小值为 410−5 ．
试题分析：利用待定系数法求出点B的坐标，求出OA，OB，根据BC≥OB﹣OC，可得结论．
答案详解：解：如图，连接OB．
∵A（﹣3，4）在y=19x2+bx上，4＝1﹣3b，
∴b＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y=19x2﹣x，
当y＝4时，19x2﹣x＝4，解得x＝12或﹣3，
∴B（12，4），
∵点A关于直线OP的对称点C，
∴OC＝OA=32+42=5，
∵OB=122+42=410，
∴BC≥OB﹣OC，
∴BC≥410−5，
∴BC的最小值为410−5．
所以答案是：410−5．
5．如图，已知半圆O的直径为2，AP与半圆O相切于点A，长度为1的线段CD在半圆上滑动，E是射线AP上一动点，则BC+DE的最小值 32 ．
试题分析：连接OD，OC，作线段OB的垂直平分线交OB于H，交⊙O于G，连接OG，GB，过点G作GT⊥AP于T．利用全等三角形的性质证明DG＝BC，推出DE+BC＝DE+DG≥GT，求出GH的长可得结论．
答案详解：解：连接OD，OC，作线段OB的垂直平分线交OB于H，交⊙O于G，连接OG，GB，过点G作GT⊥AP于T．
∵GH垂直平分线段OB，
∴GO＝GB，
∵OG＝OB，
∴OG＝OB＝GB，
∴△GOB是等边三角形，
∴CD＝OD＝OC＝1，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠GOB，
∴∠DOG＝∠COB，
∵OD＝OC，OG＝OB，
∴△DOG≌△COB（SAS），
∴BC＝DG，
∴DE+BC＝DE+DG≥GT，
∵∠TAH＝∠GTA＝∠AHG＝90°，
∴四边形AHGT是矩形，
∴GT＝AH＝OA+OH＝1+12=32，
∴DE+BC≥32，
∴DE+BC的最小值为32．
所以答案是：32．
6．如图，在边长为23的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 2 ．
试题分析：首先由已知条件证明△ABD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠APE＝60°，通过构造圆，找到线段CP的最小值时，点P的所在的位置，进而求解．
答案详解：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵AE＝CD
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠APE＝60°，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上运动，如图，
连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，
根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF=12AB=3，
∴OA=12ABsin30°=2，
∴OC＝2OA＝4，
当点P与N重合时，CP的值最小，
最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，
所以答案是：2．
7．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 4145 ．
试题分析：先判断出OP⊥AE时，∠MPN最大，判断出△ABE≌△GCE，求出CG＝4，再用勾股定理求出AE＝5，再判断出△ABE∽△GPO，求出OP，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
答案详解：解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，
连接OP，OM，
∵PM，PN是⊙O的切线，
∴∠OPM=12∠MPN，
要∠MPN最大，则∠OPM最大，
∵PM是⊙O的切线，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△PMO中，OM＝OD=12CD＝2，
∴sin∠OPM=OMOP=2OP，
∴要∠OPM最大，则OP最短，
即OP⊥AE，
如图2，延长DC交直线AE于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠ECG，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，
∵点E是BC的中点，
∴BE=12BC＝3，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AB＝4，
∵CD是⊙O的直径，
∴OC=12CD＝2，
∴OG＝OC+CE＝6，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∵∠OPG＝90°＝∠B，∠G＝∠BAE，
∴△ABE∽△GPO，
∴OPBE=OGAE，
∴OP3=65，
∴OP=185，
在Rt△PMO中，PM=OP2−OM2=(185)2−22=4145，
所以答案是：4145．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 2 ．
试题分析：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，计算点C（2，3），确定当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2．
答案详解：解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，
∴△ABQ≌△ACP，
∴AB＝AC，BQ＝PC，∠PAQ＝∠BAC，
∵△ABC是等边三角形
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴C（2，3），即点C是定点，
∴当PC最小时，BQ最小，
∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2，
∴线段QB长度的最小值为2．
所以答案是：2．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 5 ．
试题分析：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ＝PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝TH=12AT＝5．
答案详解：解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵AT＝TB，
∴BC＝BT，
∵BP＝BQ，∠CBT＝∠PBQ，
∴∠TBP＝∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ＝PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝TH=12AT＝5，
∴CQ的最小值为5．
所以答案是：5．
10．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 18 ．
试题分析：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
答案详解：解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
所以答案是：18．
三．函数知识的灵活运用。
11．抛物线y＝a（x﹣2）（x−2a）（a是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a等于 ﹣1 ．
试题分析：把解析式化成一般式，利用顶点公式得到顶点的纵坐标为：4a⋅4−[−2(a+1)]24a=−(a−1)2a，即可求得a＝﹣1．
答案详解：解：∵y＝a（x﹣2）（x−2a）＝（x﹣2）（ax﹣2）＝ax2﹣2（a+1）x+4，
∴顶点的纵坐标为：4a⋅4−[−2(a+1)]24a=−(a−1)2a，
∴a＝﹣1，
所以答案是﹣1．
12．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（1≤a＜43），当3≤x≤4时，对应的y的整数值有 4 个．
试题分析：由二次函数的性质根据题意得到﹣3a﹣5≤y＜﹣5，因为1≤a＜43，即可得到y的值为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5共4个．
答案详解：解：∵y＝ax2﹣4ax﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∵1≤a＜43，
∴开口向上，
∵2＜3≤x≤4，
∴对应的y：﹣3a﹣5≤y≤﹣5，
∵1≤a＜43，
∴y的值为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，
所以答案是4．
四．函数图像与系数的关系。
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③3b+2c＞0；
④am2+bm≤a﹣b（m为实数）．
其中正确结论是 ①②④ （只填序号）．
试题分析：①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，−b2a＜0，b＜0，所以abc＞0；
②对称轴−b2a=−1，得2a＝b，即2a﹣b＝0；
③对称轴−b2a=−1，得2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＞0判断；
⑤根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，得出对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，判断结论．
答案详解：解：∵开口向下，∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x=−b2a=−1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a=12b，
∴12b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故③错误；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故④正确．
所以答案是：①②④．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ﹣1＜x＜2 ．
试题分析：将ax2﹣kx+c＜b化为ax2+c＜kx+b，根据图象求解．
答案详解：解：由图象可得在A，B之间的图象抛物线在直线下方，点A横坐标为﹣1，点B横坐标为2，
∴﹣1＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，即ax2﹣kx+c＜b，
所以答案是：﹣1＜x＜2．
五．相似与三角函数的融合。
15．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F．若点F是CD的中点，则tan∠BAP＝ 13 ．
试题分析：如图，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．设AB＝AD＝a，DE＝b．在Rt△EPT中，根据EP2＝ET2+PT2，可得b=23a，TC推出BP=13a，可得结论．
答案详解：解：如图，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．设AB＝AD＝a，DE＝b．
∵DE∥CP，
∴∠DEF＝∠CPF，
∵DF＝CF，∠DFE＝∠CFP，
∴△DFE≌△FCP（AAS），
∴DE＝PC＝b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDE＝∠DCT＝90°，
∵∠T＝90°，
∴四边形DCTE是矩形，
∴ET＝CD＝a，CT＝DE＝b，
∵EG垂直平分线段AP，
∴EA＝EP＝a+b，
在Rt△EPT中，EP2＝ET2+PT2，
∴（a+b）2＝a2+（2b）2，
∴b=23a，
∴PC＝DE=23a，
∴PB＝BC﹣PC=13a，
在Rt△ABP中，tan∠BAP=BPAB=13，
所以答案是：13．
16．如图，在矩形ABCD中，线段DF平分∠ADC交BC边于点F，点E为BC边上一动点，连接AE，若在点E移动的过程中，点B关于AE所在直线的对称点有且只有一次落在线段DF上，则BC：AB＝ 2：1 ．
试题分析：先找到点BB关于AE所在直线的对称点H，由直角三角形的性质可求解．
答案详解：解：如图，以点A为圆心，AB为半径的圆与DF相切于点H，则点H为点B关于AE所在直线的对称点，
∴AB＝AH，AH⊥DF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF＝45°，
∴∠ADF＝∠DAH＝45°，
∴AH＝DH，
∴AD=2AH=2AB，
∴BC：AB=2：1，
所以答案是：2：1．
六．动点（线）轨迹
17．如图，抛物线y=13x2−23x−83的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点．当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是 32π ．
试题分析：由二次函数关系式得出A，B，E的坐标，得出E在⊙M上，从而得出MN⊥PE，得到N的运动路径即可．
答案详解：解：连接ME、MP，
∵y=13x2−23x−83，
∴A（﹣2，0），B（4，0），E（1，﹣3），
∴MA＝MB＝ME＝3，
∴E在⊙M上，
∵N为PE的中点，ME＝MP，
∴MN⊥PE，
∴N在以ME为直径的半圆上运动，
∴点N的运动路径为：12×2π×32=32π．
所以答案是：32π．
18．已知AB＝23，C是平面内一个动点，60°≤∠ACB≤120°，则满足条件的点所在区域的面积是 8π3+43 ．
试题分析：作线段AB的中垂线MN，在NM上截取NC＝1，以点C为圆心，CA长度为半径作圆C，先得出AN＝BN=3，AC＝2，继而得出∠ACB＝120°，根据圆周角定理得出∠AC′B=12∠ACB＝60°，从而得出点C在扇形AC′B内，满足60°≤∠ACB≤120°，再根据扇形的面积公式求解得出此时的面积，再根据S弓形AC＝S扇形APC﹣S△APC求出弓形的面积，继而得出在AB上方满足条件的点所在区域的面积，求出同理得出点C在AB下方时的面积，从而得出答案．
答案详解：解：如图，作线段AB的中垂线MN，在NM上截取NC＝1，以点C为圆心，CA长度为半径作圆C，
∴AN＝BN=12AB=3，
∴AC=CN2+AN2=12+(3)2=2，
则∠CAN＝∠CBN＝30°，
∴∠ACB＝120°，
在⊙C中，∠AC′B=12∠ACB＝60°，
∴点C在扇形AC′B内，满足60°≤∠ACB≤120°，
S扇形AC′B=240⋅π⋅22360=8π3，
设点A、C、B所在圆P的半径AP＝CP＝x，
则PN＝x﹣1，
由AP2＝AN2+PN2可得x2＝（x﹣1）2+（3）2，
解得x＝2，
∴△APC是等边三角形，
则S弓形AC＝S扇形APC﹣S△APC
=60⋅π⋅22360−34×22
=2π3−3，
∴在AB上方满足条件的点所在区域的面积为8π3−2（2π3−3）=4π3+23，
同理，当点C在线段AB下方时，满足60°≤∠ACB≤120°的点所在区域的面积也为4π3+23；
所以满足条件的点所在区域的面积是8π3+43，
所以答案是：8π3+43．
七．翻折变换（折叠问题）
19．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为 3 ．
试题分析：由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB=3PB，即可求解．
答案详解：解：由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
又∵∠AQP＝90°，
∴QR=12AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，AB=3PB，
∴PB＝QR，
∴ABQR=3，
所以答案是：3．
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