2022-2023学年九年级数学上学期期末专题10 阿氏圆与相似的融合

这是一份2022-2023学年九年级数学上学期期末专题10 阿氏圆与相似的融合，共28页。
专题10 阿氏圆与相似的融合
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

阿氏圆：
阿氏圆钥匙：构造母子相似三角形
模型建立：PA+k∙PB的最小值。

第一步：确动点的运动轨迹（圆），
以点0为圆心、r为半径画圆；
（若圆已经画出则可省略这一步）
第二步：连接动点至圆心0
（将系数不为1的线段的固定端点
与圆心相连接），即连接OP,OB。
第三步：计算这两条线段长度的比k;
第五步：在0B上取点C,使得OC= k∙OP ; OCOP=OPOB=k, ∠O= ∠O，
可得△ POC ∽ △ BOP
可得： OCOP=PCPB=k, PC=k ∙PB
第六步：则PA+k∙PB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。

［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成1k，再构造△相似进行计算.］

典例
如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是　17　．

思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出PTPB=APAB=12，推出PT=12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．

∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
∴PAAT=ABPA，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴PTPB=APAB=12，
∴PT=12PB，
∴12PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT=AT2+AC2=17，
∴12PB+PC≥17，
∴12PB+PC的最小值为17．
故答案为17．
实战训练
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+22PC的最小值是　 　．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（　　）

A．7 B．52 C．4+10 D．213
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为 　 　．

4．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是　 　．

5．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 　 　．

6．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为 　 　．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2−32x﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB＝∠ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出12CP+BP的最小值．

8．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CDCP=CPCB=12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PDBP=12，∴PD=12BP，∴AP+12BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为　 　．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP+BP的最小值为　 　．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值．

9．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+12，yQ）在抛物线上，当2AM+2QM的最小值为3324时，求b的值．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=−12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．

二．典例
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13PA+PB的最小值为 　 　．

12．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　 　．


1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+22PC的最小值是　5　．

试题分析：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH=12AC=2，接着证明△BPD∽△BCP得到PD=22PC，所以PA+22PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA+22PC的最小值．
答案详解：解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，
∴AC=2BA＝22，
∴BH=12AC=2，
∴BP=2，
∵PBBC=22，BDBP=12=22，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴PDPC=PBBC=22，
∴PD=22PC，
∴PA+22PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD=22+12=5，
∴PA+PD的最小值为5，
即PA+22PC的最小值为5．
所以答案是5．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（　　）

A．7 B．52 C．4+10 D．213
试题分析：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP=13PA，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．

∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴PCCA=CMCP，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴PMPA=PCAC=13，
∴PM=13PA，
∴13AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM=12+72=52，
∴13AP+BP≥52，
∴13AP+BP的最小值为52．
所以选：B．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为 　1452　．

试题分析：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PF=14PB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．
答案详解：解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．

∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，
∴PC=12DE＝2，
∵CFCP=14，CPCB=14，
∴CFCP=CPCB，
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴PFPB=CFCP=14，
∴PF=14PB，
∴PA+14PB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF=CF2+AC2=(12)2+62=1452，
∴PA+14PB≥1452，
∴PA+14PB的最小值为1452，
所以答案是1452．
4．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是　17　．

试题分析：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出PTPB=APAB=12，推出PT=12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
答案详解：解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．

∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
∴PAAT=ABPA，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴PTPB=APAB=12，
∴PT=12PB，
∴12PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT=AT2+AC2=17，
∴12PB+PC≥17，
∴12PB+PC的最小值为17．
所以答案是17．
5．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 　421　．

试题分析：由2AB+AC＝2（AB+12AC）得12AC=AE，再将AB+AE转化成一条线段BP，可证出∠P是定角，从而点P在△PBC的外接圆上运动，当BP为直径时，BP最大解决问题．
答案详解：解：∵2AB+AC＝2（AB+12AC），
∴求2AB+AC的最大值就是求2（AB+12AC）的最大值，
过C作CE⊥AB于E，延长EA到P，使得AP＝AE，
∵∠BAC＝60°，
∴EA=12AC=AP，
∴AB+12AC=AB+AP，
∵EC=3AE，PE＝2AE，
由勾股定理得：PC=7AE，
∴sinP=CECP=3AE7AE=217，
∴∠P为定值，
∵BC＝6是定值，
∴点P在△CBP的外接圆上，

∵AB+AP＝BP，
∴当BP为直径时，AB+AP最大，即BP'，
∴sinP'＝sinP=BCBP'=217，
解得BP'＝221，
∴AB+AP＝221，
∴2AB+AC＝2（AB+AP）＝421，
所以答案是：421．
6．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为 　237　．

试题分析：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．利用相似三角形的性质证明PG=12PC，再根据PD−12PC＝PD﹣PG≤DG，求出DG，可得结论．
答案详解：解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．

∵PB＝4，BG＝2，BC＝8，
∴PB2＝BG•BC，
∴PBBG=BCPB，
∵∠PBG＝∠CBP，
∴△PBG∽△CBP，
∴PGPC=PBBC=12，
∴PG=12PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝8，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
在Rt△CDH中，CH＝CD•cos60°＝4，DH＝CD•sin60°＝43，
∴GH＝CG+CH＝6+4＝10，
∴DG=GH2+DH2=102+(43)2=237，
∵PD−12PC＝PD﹣PG≤DG，
∴PD−12PC≤237，
∴PD−12PC的最大值为237．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2−32x﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB＝∠ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出12CP+BP的最小值．

试题分析：（1）分别令x＝0和y＝0解方程可得结论；
（2）分两种情况：①当点D在x轴的上方时，根据等角对等边可得CE＝BE，设OE＝a，根据勾股定理列方程可得a的值，确定CE的解析式，联立直线CE和抛物线的解析式列方程解出可得点D的坐标；②当点D在x轴的下方时，根据内错角相等可得CD与x轴平行，C和D是对称点，可得点D的坐标；
（3）如图3，根据12PC+BP＝PM+PB，确定当B、P、M三点共线时，12CP+BP的值最小，根据勾股定理可得BM的长，可得结论．
答案详解：解：（1）当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，14x2−32x﹣4＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4）；
（2）分两种情况：
①当点D在x轴上方时，如图1，CD交x轴于点E，

∵∠DCB＝∠ABC，
∴CE＝BE，
设OE＝a，则BE＝8﹣a，
Rt△OCE中，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，
解得：a＝3，
∴E（3，0），
∵C（0，4），
设CE的解析式为：y＝kx+b，
则3k+b=0b=−4，解得：k=43b=−4，
∴CE的解析式为：y=43x﹣4，
∵14x2−32x﹣4=43x﹣4，
解得：x1＝0，x2=343，
∴D（343，1009）；
②当点D在x轴的下方时，如图2，

∵∠DCB＝∠ABC，
∴CD∥x轴，
∴C和D关于抛物线的对称轴对称，
∴D（6，﹣4）；
综上，点D的坐标为（343，1009）或（6，﹣4）；
（3）如图3，连接OP，PM，在y轴截取OM，使OMOP=OPOC=12，

∵∠POM＝∠POC，
∴△POM∽△COP，
∴PMPC=12，
∴PM=12PC，
∴12PC+BP＝PM+PB，
当B、P、M三点共线时，12CP+BP的值最小，
在Rt△BOM中，BM=OB2+OM2=82+12=65，
即12CP+BP的最小值是65．
8．问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CDCP=CPCB=12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PDBP=12，∴PD=12BP，∴AP+12BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为　37　．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP+BP的最小值为　2337　．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值．

试题分析：（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD=37；
（2）连接CP，在CA上取点D，使CD=23，则有CDCP=CPCA=13，可证△PCD∽△ACP，得到PD=13AP，即：13AP+BP＝BP+PD，从而13AP+BP的最小值为BD；
（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．
答案详解：解：（1）如图1，

连接AD，
∵AP+12BP＝AP+PD，要使AP+12BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+12BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD=AC2+CD2=37，
AP+12BP的最小值为37，所以答案是：37；

（2）如图2，

连接CP，在CA上取点D，使CD=23，
∴CDCP=CPCA=13，
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴PDAP=13，
∴PD=13AP，
∴13AP+BP＝BP+PD，
∴同（1）的方法得出13AP+BP的最小值为BD=BC2+CD2=2337．
所以答案是：2337；

（3）如图3，

延长OA到点E，使CE＝6，
∴OE＝OC+CE＝12，
连接PE、OP，
∵OA＝3，
∴OAOP=OPOE=12，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴APEP=12，
∴EP＝2PA，
∴2PA+PB＝EP+PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE=OB2+OE2=13．
9．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+12，yQ）在抛物线上，当2AM+2QM的最小值为3324时，求b的值．
试题分析：（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）将点D（b，yD）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x=b2的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；
（Ⅲ）将点Q（b+12，yQ）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为−b2−34，可知点Q（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为2AM+2QM=3324，所以2[（b2−14）﹣（﹣1）]+22[（b+12）﹣（b2−14）]=3324，解方程即可．
答案详解：解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
即c＝﹣b﹣1，
当b＝2时，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，
∵点D（b，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yD＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，
由b＞0，得b＞b2＞0，﹣b﹣1＜0，
∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x=b2的右侧，
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），
∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，
∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴AD=2AE，
由已知AM＝AD，m＝5，
∴5﹣（﹣1）=2（b+1），
∴b＝32−1；

（Ⅲ）∵点Q（b+12，yQ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yQ＝（b+12）2﹣b（b+12）﹣b﹣1=−b2−34，
可知点Q（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵2AM+2QM＝2（22AM+QM），
∴可取点N（0，1），
如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，
由∠GAM＝45°，得22AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），
在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
∴QH＝MH，QM=2MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（−b2−34）＝（b+12）﹣m，
解得，m=b2−14，
∵2AM+2QM=3324，
∴2[（b2−14）﹣（﹣1）]+22[（b+12）﹣（b2−14）]=3324，
∴b＝4．


10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=−12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=12AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．
答案详解：解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴−16−4b+c=−4c=4，
∴b=−2c=4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，
∴n=4−4k+n=−4，
∴k=2n=4，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
设E（m，2m+4），
∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG＝OB＝4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，
∴m＝﹣2
∴G（﹣2，4）．

（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，
∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y=−12x﹣6，
∴F（a，−12a﹣6），
设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y=−12x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴EF与AH互相平分，
∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4−12a﹣6），
∴a＝﹣2，P＝﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH=5，AE＝25，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P，
∴PE=52，
连接PC交⊙E于M，连接EM，
∴EM＝EH=5，
∴PEME=525=12，
∵MEAE=525=12，
∴PEME=MEAE=12，∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴PMAM=MEAE=12，
∴PM=12AM，
∴12AM+CM的最小值＝PC，
设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，
∵PE=52，
∴5（p+2）2=54，
∴p=−52或p=−32（由于E（﹣2，0），所以舍去），
∴P（−52，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC=(−52)2+(−1+6)2=552，
即：12AM+CM的最小值为 552．


二．典例
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13PA+PB的最小值为 　17　．

试题分析：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ=13AP，当B、Q、P三点共线时，13PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．
答案详解：解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，
∵AC＝9，CP＝3，
∴CPAC=13，
∵CP＝3，CQ＝1，
∴CQCP=13，
∴△ACP∽△PCQ，
∴PQ=13AP，
∴13PA+PB＝PQ+PB≥BQ，
∴当B、Q、P三点共线时，13PA+PB的值最小，
在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，
∴QB=17，
∴13PA+PB的最小值17，
所以答案是：17．

12．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　85　．

试题分析：在y轴上取点H（0，9），连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP＝3AP，则3PA+PB＝PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解．
答案详解：解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，

∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），
∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，
∵OAOP=13=39=OPOH，∠AOP＝∠POH，
∴△AOP∽△POH，
∴APHP=OPOH=13，
∴HP＝3AP，
∴3PA+PB＝PH+PB，
∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，
∴BH=OB2+OH2=4+81=85，
所以答案是：85．