2021-2022学年四川省成都嘉祥外国语学校九年级上学期期中数学试题(解析版)

这是一份2021-2022学年四川省成都嘉祥外国语学校九年级上学期期中数学试题(解析版)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图所示的三棱柱的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：从正面看易得三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内，
故选：B．

2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（　　）
A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cosA＝
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义解答即可．
【详解】解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，

所以sinA，cosA=，tanA=，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答．
3. 下列给出的各个点中，在双曲线上的点为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线得到，只要具备就能判断此点在图象上，反之就不在图象上，代入判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法错误，不符合题意；
C、，选项说法正确，符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了对反比例函数上点的坐标特征的理解和掌握，解题的关键是能根据点的坐标特征进行判断．
4. 在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球2个，白球3个，搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是红球的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率．
【详解】解：∵共有5个球，其中红球有2个，
∴P（摸到红球）＝，
故选A．
【点睛】此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握概率的意义是解题关键．
5. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（　　）

A. 4 B. 6 C. 7 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB：BC＝2：3，EF＝9，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，理解基本定理，准确找到对应线段是解题关键．
6. 《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A. 82+x2＝（x﹣4）2 B. 82+（x+4）2＝x2
C. 82+（x﹣4）2＝x2 D. x2+82＝（x+4）2
【答案】C
【解析】
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x-4）2+82=x2，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（ ）

A. 30° B. 79° C. 22° D. 81°
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方形的性质证明△ADE≌△CDE，得到∠DAE＝∠DCE，根据三角形外角性质即可解答．
【详解】∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明两个三角形全等是关键．
8. 将抛物线的图象先向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（4，-3），
又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y=2（x-4）2-3．
故选：D．
【点睛】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．熟记平移规则也是解题的关键．
9. 如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，EC交对角线BD于点F，则（　　　）

A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，证得△DEF∽△BCF，由点E是AD的中点，得到，由此得到．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∵点E是AD的中点，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记平行四边形的性质证得△DEF∽△BCF是解题的关键．
10. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，即可判断①；根据当x=-1时，y大于0即可判断②；根据抛物线对称轴为直线x=1即可得到代入中得，即可判断③；由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
②当时，，
∴，故②正确
把代入中得，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题上）
11. 已知2是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是 ___．
【答案】0
【解析】
【分析】把代入方程即可得答案．
【详解】解：∵2是关于x的方程的一个实数根，
∴把代入方程得，
解得：．
故答案为：0．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 如图，在正方形网格中，三角形 ABC 的三个顶点都在网格中的格点上，则 tan∠B的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】如图（见解析），先利用平移的性质画出平行四边形，再利用勾股定理可得，然后根据菱形的判定与性质可得，最后在中，利用正切三角函数的定义即可得．
【详解】解：将点先向下平移1个单位，再向左平移3个单位可得到点，将点按同样的方法进行平移，可得到点，连接，与交于点，如图所示：

则四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
则在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的平移、菱形的判定与性质、正切三角函数等知识点，结合网格特点，构造菱形是解题关键．
13. 如果抛物线经过原点，且它的对称轴是直线，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知抛物线与轴的一个交点为，根据二次函数对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标．
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴抛物线与轴的一个交点坐标是，
∵它的对称轴是直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图像为轴对称图形是解本题的关键．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为2，则BC的长为 ___．

【答案】##
【解析】
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD=DH=2，进而求解．
【详解】解：过点D作DH⊥AB，则DH=2，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，

则CD=DH=2，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B=45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD=HD=2，
则BC=CD+BD=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共6小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15 （1）计算：20210﹣|﹣|+（﹣）﹣1+4sin45°．
（2）解方程：x2﹣9＝2（x﹣3）．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据整数指数幂运算法则，二次根式的性质，特殊角的三角函数值化简各项，再合并求解即可；
（2）利用因式分解的方法求解即可．
【详解】解：（1）原式


（2）

或
∴，．
【点睛】本题考查含特殊角三角函数值的实数混合运算，以及解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，掌握实数运算法则，以及解一元二次方程的方法是解题关键．
16. 先化简，再求值：，其中：a2+2a﹣＝0．
【答案】，
【解析】
【分析】应用异分母分式加减法法则先算括号里面的，再算除法，最后代入求值即可．
详解】解：原式




，
，
．
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的基本性质，熟练掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
17. 2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题．

（1）参加这次调查的学生总人数为 　 　人；
（2）扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 　 　、　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40；（2）；；（3）见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）综合条形统计图和扇形统计图中A类信息直接求解即可；
（2）先结合（1）的结论，求出C类人数，从而用每一类人数除以总人数得到每一类的占比，然后分别乘360°，即可得到对应的圆心角度数；
（3）结合（2）的结论，直接作图即可；
（4）根据题意先画出树状图，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由A类人数和占比可得，参与调查的总人数为（人），
故答案为：40；
（2）由（1）可得，C类人数为：（人），
∴B类对应圆心角度数为：；
C类对应圆心角度数为：；
故答案为：；；
（3）由（2）知，C类人数为18人，补全条形统计图如图所示：

（4）由题意，列树状图如下：

共有12种情况，其中，恰为1男1女的有8种情况，
∴抽到恰为1男1女的概率．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图信息综合，以及列树状图或表格求概率，理解并准确分析统计图中的个数据信息，掌握列树状图或表格的方法求解概率是解题关键．
18. 随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长为，航母前端点到水平甲板的距离为，舰岛顶端到的距离是，经测量，，．（参考数据：，，，，，）

（1）若设，用含的代数式表示与的长度．
（2）请计算舰岛的高度（结果精确到）．
【答案】（1），；（2）约为39．
【解析】
【分析】作于，设，
（1）分别在、中，由正切定义解题；
（2）在矩形中，分别解出，，，最后根据线段的和差解题．
【详解】解：作于，则四边形是矩形，
（1）设，
中，
，
中，
；
（2）设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
答：舰岛的高度约为39米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求不等式mx+n＞的解集；
（3）连接MC，AO在x轴上，是否存在点P使S△PAO＝SMBOC，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=2x+2；（2）-21；（3）存在，P（1,0）或（-1,0）
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标得到反比例函数解析式，得到点A的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）mx+n＞即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方，利用图象解答即可；
（3）求出点C的坐标得到SMBOC的值，再利用三角形的面积公式计算得出OP的长，由此得到答案．
【详解】解：（1）∵BM⊥x轴，
∴∠BMO=90°，
∴，
∵BM＝OM，OB＝2，
∴，
∴BM＝OM=2，
∴B（-2，-2）
将点B的坐标代入反比例函数中，得k=4，
∴反比例函数解析式为，
将x=4代入，得y=1，
∴A（1，4），
将点A、B的坐标代入一次函数y＝mx+n中，得，
解得，
∴一次函数的解析式为y=2x+2；
（2）由图象知，当-21时，
（3）存在．过点A作AD⊥x轴于D，
∵一次函数y=2x+2与y轴交点为C（0,2），
∴OC=2，
∴SMBOC=，
∴ S△PAO＝SMBOC=2，
∴.
∴OP=1，
∴P（1,0）或（-1,0）．

【点睛】此题考查一次函数与反比例函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，利用图形面积求点坐标，利用图象求不等式的解集，熟练掌握两部分的知识是解题的关键．
20. 正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．
（1）如图1，求证AE⊥BF；
（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；
（3）在（2）的条件下，若tan∠AEB＝3，S△CHN＝，求AB的长

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6
【解析】
【分析】（1）首先可推出△ABE≌△BCF，即可得到∠BAE=∠CBF，再结合余角的性质证明即可；
（2）作PB⊥BN交NA延长线于P点，结合（1）的结论和角平分线的定义推出∠GAN=45°，从得到∠ANG=45°，以及△PBN为等腰直角三角形，然后根据“手拉手”模型证明△PBA≌△NBC，即可证明结论；
（3）首先根据正切函数值设BE=x，则AB=3x，CE=2x，然后延长CB至Q点，使得BQ=DH，连接AQ，ME，MH，通过全等三角形的判定与性质推出QE=HE，然后设DH=y，在Rt△EHC中，利用勾股定理解出y与x之间的关系，进而推出△CNH为直角三角形，并结合其面积求解即可．
【详解】（1）证：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠ABG+∠CBF=∠ABE=90°，
∴∠ABG+∠BAE=90°，
∴在△ABG中，∠AGB=180°-(∠ABG+∠BAE)=90°，
∴AE⊥BF；
（2）证：如图所示，作PB⊥BN交NA延长线于P点，
由（1）知，AG⊥BN于G点，
∴∠AGB=∠AGM=90°，
∵AG=AG，BG=MG，
∴△ABG≌AMG(SAS)，
∴∠BAG=∠MAG，
∵AN平分∠DAM，
∴∠MAN=∠DAN，
∴∠BAG+∠DAN=∠MAG+∠MAN=∠GAN=∠BAD=45°，
∴在Rt△AGN中，∠ANG=45°，
∵PB⊥BN，
∴∠PBN=90°，
在Rt△PBN中，∠P=45°，
∴△PBN为等腰直角三角形，BP=BN，PN=BN，
∵∠PBN=∠ABC=90°，
∴∠PBA=∠NBC，
∵BP=BN，BA=BC，
∴△PBA≌△NBC(SAS)，
∴PA=NC，
∵PN=PA+AN，PN=BN，
∴AN+NC=BN；

（3）解：∵tan∠AEB==3，
∴设BE=x，则AB=3x，CE=2x，
如图所示，延长CB至Q点，使得BQ=DH，连接AQ，ME，MH，
由（1）可知，△ABE≌△AME，则∠ABE=∠AME=90°，
由（2）可知，△ADH≌△AMH，则∠D=∠AMH=90°，
∴∠EMH=180°，E、M、H三点共线，
∵AD=AB，∠D=∠ABQ=90°，DH=BQ，
∴△ADH≌△ABQ，
∴AH=AQ，∠DAH=∠BAQ，
由（2）可知，∠BAQ+∠BAE=∠DAH+∠BAE=∠EAH=45°，
∴∠EAH=∠EAQ=45°，
∵AQ=AH，AB=AB，
∴△EAQ≌△EAH，
∴QE=HE，
设DH=y，则EH=EM+MH=BE+DH=x+y，CH=3x-y，
在Rt△EHC中，CE2+CH2=EH2，
即：(x+y)2=(2x)2+(3x-y)2，
解得：y=x，
∴DH=CH=x，
∵由（2）可知，∠BNC=∠P=45°，∠BNA=45°，
∴∠CNH=∠D=90°，
∴∠DAH=∠NCH，
∴tan∠NCH=tan∠DAH，
∴，
即：，
∴NH=CN，
∵CH=x，
∴在Rt△CNH中，HN=x，CN=2HN=x，
∵S△CHN＝，
∴CN·HN=，
即：·x·x=，
解得：x=2或-2（不合题意，舍去），
∴AB=3x=6．

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等，理解正方形的基本性质，掌握全等三角形判定的常用方法以及辅助线构造，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21. 已知x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的实数根为α、β，且α+β＝α•β，则m的值为___．
【答案】2
【解析】
【分析】先由一元二次方程根与系数的关系可得：再列方程解方程可得的值，再进行检验，从而可得答案.
【详解】解： x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的实数根为α、β，

α+β＝α•β，

整理得：
解得：
当时，原方程为：
符合题意，
当时，原方程为：
原方程无解，
所以不符合题意，舍去，
所以
故答案为：2
【点睛】本题考查的是一元二次方程根分判别式，根与系数的关系，掌握“若是方程的两根，则”是解题的关键.
22. 有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数满足的条件先求出a的取值范围，然后再由一元二次方程有解，确定a，b满足的范围，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式求解概率，涉及到二次函数的性质，一元二次方程的定义和根的判别式，理解二次函数的基本性质，掌握一元二次方程的根的判别式以及概率公式是解题关键．
23. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝___．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先列出点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，然后表示出，，从而代入得到关于的分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例线段的拓展应用，理解题中的新定义，准确根据线段比例列出相应方程并求解是解题关键．
24. 如图，点A在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，直线AC交y轴于点D，连接OC，以OA，OC为邻边作▱OABC，连接OB交AC于点E，若，△BDE的面积是10，则k的值为 ___．

【答案】
【解析】
【分析】设BC与y轴交于F点，设E点坐标为（a，b），根据平行四边形的性质推出B点和C点坐标，再根据线段比例关系推出面积比例关系，以及平行四边形内各部分三角形的面积，最终得出ab的值，即可根据反比例函数图象上点坐标的特征求解即可．
【详解】解：如图，设BC与y轴交于F点，设E点坐标为（a，b），
∵四边形OABC为平行四边形，对角线OB与AC于点E，
∴B点坐标为（2a，2b），AE=CE，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
由平行四边形的性质可知：
，，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴C点坐标为（，2b），
∵E（a，b）为AC的中点，
∴A点坐标为（，0），
∵，
∴，解得：，
∵点C反比函数图象上，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查反比例函数与四边形综合，理解平行四边形的基本性质，掌握反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键．
25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为BC上的一点且BE＝2，P为AD上的一动点，过点P作PQ⊥PE，且∠PEQ＝60°，则AQ+EQ的最小值为 ___．

【答案】2
【解析】
【分析】过点E作EF⊥AD于F，作∠FEM=60°交AD的延长线于M，连接EM，EQ，QM，证明∠FMQ=60°，推出点Q在过点M且垂直于EM的直线上运动，作点A关于直线QM的对称点N，连接EN，MN，过点E作EG⊥NM交NM的延长线于点G，此时AQ+EQ=NE的值最小．
【详解】解：如图：过点E作EF⊥AD于F，作∠FEM=60°交AD的延长线于M，连接EM，EQ，QM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，∠B=∠A=90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB=EF=4，BE=AF=2，
∵∠FEM=60°，∠EFD=90°，
∴∠EMF=30°，
∴EM=8，
∴FM=，EM=2EF，
∵∠PEQ＝60°，PQ⊥PE，
∴∠PQE=30°，
∴EQ=2PE，
∵，∠PEQ＝∠FEM=60°，
∴∠PEF=∠QEM，
∴△PEF∽△QEM，
∴∠PFE=∠QME=90°，
∵∠EMF=30°，
∴∠FMQ=60°，
∴点Q在过点M且垂直于EM的直线上运动，
作点A关于直线QM的对称点N，连接EN，MN，过点E作EG⊥NM交NM的延长线于点G，
∵AM=MN=AF+FM=6,∠AMQ=∠NMQ=60°,
∴∠AMN=120°
∴∠AMG=180°-120°=60°,
∵∠EMF=30°，∴∠EMG=30°，
∴EG=EM=4，MG=，
∵AM=MN，
∴NG=MG+MN=MG+AM=10，
RtΔEGN中，
EN=．
∵AQ+EQ=NQ+EQ≥EN，
∴当且仅当E、Q、N三点共线时，AQ+EQ的最小值为2，
故答案为：2．

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质及最值问题，掌握它们的性质是解决此题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分)
26. 新冠疫情全球爆发，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为9元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）成一次函数关系，且10≤x≤16．当每包售价为12元时，日均销售量是40包，当每包售价为10元时，日均销售量是56包．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）要使日均利润达到最大．每包售价应定为多少元？
（3）若进价提高了a元，要使日均利润达到最大，则每包售价应定为14元，求a的值．
【答案】（1）；（2）13元；（3）2
【解析】
【分析】（1）设关于的函数表达式为：，利用待定系数法求解即可；
（2）设日均利润为，根据日均利润=销售量乘每包利润，可得关于x的表达式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据进价提高了a元列出关于x的表达式，根据每包售价应定为14元，得到，求出a值即可．
【详解】解：（1）设关于的函数表达式为：，
由题意得，解得，
∴关于的函数表达式为：．
（2）设日均利润为，由题意：

，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，成立，
∴当时，日均利润达到最大，
∴售价为13元时，日均利润达到最大．
（3）由题意，

，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴由题意，，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出日均利润与每包售价的关系式．
27. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点．
（1）如图1，当PC⊥BD时，求tan∠POD；
（2）如图2，连接CP交对角线BD于点E，作线段CP的中垂线MN分别交线段DC，DB，CP，AB于点N，G，F，M，当DP＝DE时，求；
（3）如图2，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，若△PDF为直角三角形，求DP的长．

【答案】(1) ；（2） ；（3）或1
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出BD=10，根据矩形的性质得OD=5，利用等积关系求出CE=，再利用勾股定理求出，得出，最后证明，可求出PE的长即可得出结论；
（2）证明BE=BC=8，得DP=DE=2，再依据相似三角形的性质得，再由线段垂直平分线得EF=FC，从而可得结论；
（3）分情况讨论：当∠时，过点O作于H，由相似三角形的性质与折叠的性质结合可求出PD的长；当∠时，由勾股定理和矩形的性质证明△得求出OF的长，再证明△得可求得PD的长
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，AD//BC

由勾股定理得，
∴
∵
∴
∴
在Rt△CDE中，
∴
∴
∵AD//BC
∴
∴ 即
∴
∴
（2）∵DP=DE
∴
∵AD//BC
∴
又
∴
∴
∴
在Rt△CDP中，
∴
∵PD//BC
∴
∴，即
∴，
∵MN垂直平分CP
∴
∴
∴
（3）如图1，当∠时，过点O作于H，

∵四边形ABCD是矩形
∴，∠，
∴
∴
∴
∵以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴∠
又
∴∠
∴
∴
当∠时，


∵
∴
∵四边形ABCD是矩形
∴
∴∠
∵将折叠，点A的对应点为点F，线段PE与OD相交于点F
∴，∠
又∠
∴△
∴，即
∴
∴
∵∠，∠
∴△
∴，即
∴
综上，或1
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，翻折变换以及相似三角形的判定与性质，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键
28. 抛物线y＝ax2＋bx﹣2与x轴交于点A和B（﹣1，0），与y轴交于点C，直线y＝﹣x＋m过A，C两点，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P在直线AC的上方，当S△PAC＝3时，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上的一点，tan∠ACM＝时，求点M的坐标．

【答案】（1）；（2）P点的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，1）；（3）（，）或（，）
【解析】
【分析】（1）利用x＝0求出C点坐标，然后将点C代入直线解析式求出解析式，就可以得到A点坐标，再将点A和B代入y＝ax2＋bx﹣2，即可求解析式；
（2）过P点做PH⊥x轴交AC与点H，设点P的坐标为(，)，点H的坐标为(，)，则得到PH的值，利用三角形面积公式建立方程求P点坐标；
（3）如图分两种情况求解，设EF＝2x，则AE＝4x，CE＝5x，可得x，然后根据勾股定理可得AF，根据直线与抛物线求M点坐标．
【详解】解：（1）令，则，
∴C（0，），
∵直线过C点，
∴把点C（0，）代入，则，
∴，
∵直线与x轴交于点A，
∴令，得，
∴A（，），
∴将点A（，）和B（，）代入y＝ax2＋bx﹣2，
得，
∴，
∴；
（2）如图过过P点做PH⊥x轴交AC与点H，

∴设点P的坐标为(，)，点H的坐标为(，)，
∴PH＝＝
∵△PAC的面积＝＝＝
∴解得：，，
∴P点的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，1）；
（3）①当点M在直线AC上方时，如图，
设直线CM交x轴于点F，过点F作FE⊥AC于点E，

∵在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，
∴由勾股定理可得AC＝2，
∴在Rt△AOC中tan∠CAO＝，
∵tan∠MCA＝，
∴设：EF＝2x，则AE＝4x，CE＝5x，
∴AC＝AE＋EC＝9x＝2，解得：x＝，
∴在Rt△AEF中，有勾股定理可得，
∴AF＝，则点F（，0），
∴则直线CF（M）的表达式为：，
∵直线CF与抛物线交于点M，
∴＝，
∴解得：，（舍去）
∴M（，）；
②当点M在直线AC下方时，如图

延长FE到，使得EF＝，连接并延长交抛物线与点，
∵FE⊥AC，
∴△CEF≌，
∴∠ECF＝
∴tan，
过点E作EN⊥y轴交y轴与点N，EG⊥x轴交x轴与点G，
∵△AEG∽△ACO，
∴，
∴，
∴EG＝，
同理可得EN＝，
∴E（，），
∵E为的中点，
∴，）
∴直线C)的解析式为
∵直线C与抛物线交于点，
∴＝
∴解得：，（舍去）
∴M（，），
综上所述M的坐标为（，）或（，）
【点睛】本题考查的是二次函数求解析式，函数中的面积问题和函数与锐角三角函数结合，利用三角形面积公式，建立方程和借助数形结合思想是解决本题的关键．